概率论习题课

例1：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人 最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如 果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为 80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通 过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。 解：
P( A2 | A1 )
设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 = 1 − 0.8 = 0.2 A={ 这人通过考核 }， A = A1 ∪ A1 A2 ∪ A1 A2 A3
1 − P( A2 | A1 )
P( A) = P( A1) + P( A1 A2 ) + P( A1 A2 A3 )
= P( A1) + P( A1 ) ⋅ P( A2 | A1 ) + P( A1 ) ⋅ P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )
亦可：
= 0.60＋0.4 × 0.8 + 0.4 × 0.2 × 0.9 = 0.992
= ∏ θ xi
= θ ∏ xi i =1 i =1 n n lnθ + θ − 1 lnL (θ ) = ∑ ln xi 2 i =1 n dlnL (θ ) n 1 令 = ⋅ + 1 ∑ ln xi = 0 dθ 2 θ 2 θ i =1
n
θ −1
n 2
n
θ −1
(
)
即：
解：
查表
(1) P ( X > 175) = 1 − φ (
175 − 169.7 ) = 1 − φ (1.293) 4.1
== 1 − 0.9015 = 0.0985
(2) 设5人中有Y人身高大于175cm，则Y ∼ b(5, p ), 其中p = 0.0985
P(Y ≥ 1) = 1 − P(Y = 0) = 1 − (1 − p )5 = 0.4045
解：设在n重贝努里试验中，事件A出现的次数为X， 则X ∼ b ( n, 0.75 ) , E ( X ) = np = 0.75n, D ( X ) = npq = 0.1875n, 又 f n ( A) = X n 而P 0.74 < X < 0.76 = P { X − 0.75n < 0.01n} n ≥ 1 − 0.1875n = 1 − 1875 ≥ 0.90 2 n ( 0.01n )
0
= ∫ 4 x(1 − 2 x)dx =
1 2 0
1 1 1 − = 2 3 6
例7：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在 其中任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到 红球的只数。求X，Y的联合分布率.
解：X, Y的联合分布率为
X Y 0 1 2
0
1
2 0 0
1/15 4/15 2/15 3/15 4/15 1/15 0
P( A) = 1 − P( A) = 1 − P( A1 A2 A3 ) = 1 − P( A1 ) P ( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
= 1 − 0.4 × 0.2 × 0.1 = 0.992
例2：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%， 若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差， 则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。 解：设A={甲出差}，B={乙出差}
{
}
⇒ n ≥ 18750
例10：设总体 X 的密度为： θ x θ −1 0 ≤ x ≤ 1 θ > 0为未知参数， f ( x) = 其他 0 ⋯ ( X 1 , X 2， , X n ) 为取自X 的样本，求θ的矩估计。
解：E ( X ) = ∫
+∞ −∞
xf ( x ) dx = ∫
例8：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 Z = X +Y 的概率密度。
解：由卷积公式：
fZ (z) = ∫ fX (x) fY (z − x)dx = 21 ∫−∞ e π
−∞
−z 4
2
+∞
+∞
−x 2
2
e
−
( z − x )2 2
dx
z 1 e 1 e − 4 +∞ e −t 2dt = dx ==== ∫−∞ e ∫−∞ 2π 2π 2 z2 −z − = 1 e 4 π = 1 e 4 即 Z ~ N ( 0, 2 ) 2π 2 π
1
0
θ x dx =
θ
令E ( X ) = X ⇒
θ +1
θ
ˆ = X ⇒θ =
( )
X 1− X
θ +1
2
θ
例11：求例10中θ的极大似然估计量。
解：似然函数L (θ ) = ∏ f ( xi ,θ )
i =1 n
X 的密度为： θx f ( x) = 0
θ −1
0 ≤ x ≤1 其他
泊松分布
p (λ )
P( X = k ) = λ k e−λ k ! k = 0,1,...,
1 (b − a ), a < x < b f ( x) = 其它 0,
λ
a+b 2
λ
(b-a)2 12
均匀分布U(a,b)
指数分布
e( λ )
2
λ e − λ x , x > 0 f ( x) = 其它 0,
已知 P( A) = 0.80, P(B | A) = 0.20, P(B | A) = 0.90
(1)
P(B) = P( AB ∪ AB)
= P ( AB ) + P ( AB )
= P( A ) P( B | A ) + P( A)P( B | A )
= 0.8×0.2 + 0.2×0.9 = 34 %
n = − ln x ∑ i
n
θ
i =1
θ的极大似然估计量为：θˆ =
n2 n ∑ lnX i i =1
2
P {T > 18} = e −8λ = P {T > 8} ( 2 ) P {T ≥ 18 | T > 10} = P {T > 10}
X (cm) ∼ N (169.7, 4.12 ) 例5：设某地区男子身高 (1) 从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于 175cm的概率；(2) 若从中随机找5个男子测身高,问至 少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身 高大于175cm的概率为多少？
0 x1 ∫0 3 dt 11 = ∫ dt 0 3 11 x 2 ∫ dt + ∫ dt 0 3 3 9 1
x≤0 0 x 3 0 < x ≤1 = 1 3 1< x ≤ 3 (2 x − 3) / 9 3 < x ≤ 6 x>6 1
− 1 f ( x) = e 2πσ −∞ < x < ∞ ( x − µ )2 2σ 2
1λ
正态分布 N ( µ , σ )
µ
1λ
2
σ2
例9：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A 出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式估 计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不 小于0.90。
(3 )
2 使 P ( X < k ) = = F ( k ) ⇒ k = 4.5 3
例4：某大型设备在任何长度为t的区间内发生故障的次数N ( t ) 服从参数为λ t 的Poisson分布，记设备无故障运行的时间为T .
(1) ( 2)
求T的概率分布函数； 已知设备无故障运行10个小时，求再无故障运行 8个小时的概率。
∫
∫
+∞
−∞
+∞
f ( x, y )dxdy = 1
f ( x, y )dxdy = ∫
1 0 0
0
y
x
得： = ∫ 1
1
−∞
−∞
∫
kxydxdy
k 3 k = ∫ y dy = ⇒k =8 0 2 8 1 1 1− x ( 2 ) P( X + Y ≤ 1) = ∫02 dx ∫x 8 xydy = ∫ 2 4 x[(1 − x)2 − x 2 ]dx
表1 几种常见分布的均值与方差
分布 0－1分布
分布率或 密度函数
P ( X = k ) = p k (1 − p )1− k k = 0,1
数学期望 p np
方差 p(1-p) np(1-p)
k k 1−k 二项分布b(n,p) P( X = k ) = Cn p (1 − p)
k = 0,1,..., n
( 2) P(A| B) =
P(AB) P(AB) 16 8 = = = P(B) P(AB) &)求常数c的值； (3) 要使 P ( X < k ) = 解：
0 < x <1 c f ( x) = 2 9 3 < x < 6 0 其他
(2) 写出X的概率分布函数；
2 ， 求k的值。 3
1
(1 )
(2 )
1=
∫
+∞ −∞
f ( t ) dt
F ( x ) = P { X < x}
1 2 2 6 = c ∫ dt + ∫ dt = + c ⇒ c = 0 3 3 9 3
x≤0 0 < x ≤1 1< x ≤ 3 3< x≤6 x>6
+∞
− ( x − z )2 2
t = x− z 2
2
一般：设X,Y相互独立， X ~ ( µ1 , σ 12 ), Y ~ N ( µ2 , σ 2 2 )