《三角形全等的判定 “角边角”、“角角边”》课件(3套)

\ DAOC DBOD (ASA)
2. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，
AB∥DE，∠A＝∠D．
求证：BE=CF．
AD
BE
CF
(2) (1)
小明踢球时不慎把一块 三角形玻璃打碎为两块,他是 否可以只带其中的一块碎片 到商店去,就能配一块于原来 一样的三角形玻璃呢?
如果可以,带哪块去合适 呢?为什么?
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），
D′ C′
∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证）， ∠ABD=∠A'B'D'（已证），
全等三角形对应边上 的高也相等.
画法：1、画A/B/＝AB； 2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A ， ∠EB/A/ =∠B， A/ D，B/E交于点C/。
△A/B/C/就是所要画的三角形。
C
E
D
C’
A
B
通过实验你发现了什么规律？A’
B’
探究反映的规律是：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全 等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）。
第十二章 全等三角形
12.2三角形全等的判定
第3课时 “角边角”、“角角边”
学习目标
情境引入
1．探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”
和“AAS”．
2．会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”
证明两个三角形全等．
导入新课
情境引入
如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块, 他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配 一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪 块去合适? 你能说明其中理由吗?
A
D
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知）B，
C
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．
例2 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,
∠B=∠C,求证：AD=AE.
分析：证明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.
D
E
O
∴△ACD≌△ABE（ASA）
B
C
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）
又∵AB=AC（已知）
∴BD=CE
1.如图,O是AB的中点，∠A= ∠B， △AOC与 △BOD全等吗?为什么？
两角和夹边 对应相等
C
A
O
B
解：在 DAOC和DBOD 中
D
A B (已知)
AO BO (中点的定义) AOC BOD (对顶角相等)
几何语言：
在△ABC和△A′ B′ C′中， B
C
∠A=∠A′ （已知），
A′
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
B′
C′
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
典例精析
例1 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC， 求证：△ABC≌△DCB．
证明：在△ABC和△DCB中，
在△ABE和△A’CD中
AE=A’D（已知 ） ∠A=∠A’ （已知 ） ∠B=∠C（已知 ） B
ED C
∴ △ABE≌△A’CD（AAS）
例: 如图,O是AB的中点，∠C= ∠D， △AOC
与△BOD全等吗?为什么？
C
两角和对边
对应相等
A
O
B
解：在 DAOC和DBOD 中
D
∠C= ∠D (已知)
A
A
B
C
B
C
探究5
先任意画出一个△ABC，再画一个 △A/B/C/，使A/B/=AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等)。把画好的 △A/B/C/剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
C
A
B
已知：任意 △ ABC，画一个△ A/B/C/， 使A/B/＝AB， ∠A/ =∠A， ∠B/ =∠B ：
A
不全等，因为BC虽然是
公共边，但不是对应边.
C
B
D
4.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一
个条件
，才能使△ABC≌△DEF
（写出一个即可）. AB=DE可以吗？×
B
A AB∥DE
C F
∠B=∠E （ASA） 或∠A=∠D （AAS）
D
或 AC=DF （SAS）
E
5.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 求证：
AB=AD.
A
证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
12
∴ ∠ B=∠D=90 °.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2 （已知），
∠ B=∠D（已证），
AC=AC （公共边）， B
D
∴ △ABC≌△ADC（AAS)，
∴AB=AD.
C
学以致用：如图,小明不慎将一块三角形模具打碎 为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去, 就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可 以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?
∴△∠ACB＝C∠≌F△. DEF（ASA ）.
例4 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°， AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直 线m，垂足分别为点D、E.求证： (1)△BDA≌△AEC；
证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∴ △ABC ≌△ADC （AAS） ∴ AB＝AD.
∵AB⊥AC，
∠ADB=∠CEA=90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°， ∠ABD＝∠CAE,
∠ABD＝∠CAE.
AB＝AC，
在△BDA和△AEC中， ∴△BDA≌△AEC(AAS).
(2)DE＝BD＋CE.
证明：∵△BDA≌△AEC, ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
用数学符号表示:
A
A'
在△ABE和△A’CD中
∠A=∠A’ （已知 ） AB=A’C（已知 ） ∠B=∠C（已知 ） ∴ △ABE≌△A’CD（ASA）
B
ED C
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全 等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）。
如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD:
B
∠A=∠B,（已知）
答：带1去，因为有两角且
夹边相等的两个三角形全等. 1 23
能力提升：已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、
A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝
A′D′ ，并用一句话说出你的发现.
A
A′
B
DC B
D′ C′
′
A
A′
B
DC
B
解：因为△ABC ≌△A′B′C′ ， ′
思考： 这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？
你能将它转化为1中的条件吗？
60°
75°
归纳总结
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角角边”或“AAS”.
A
在△ABC和△A′B′C′中，
∠A=∠A′（已知），
∠B=∠B′ （已知），
B
C
A′
AC=A′C ′（已知），
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （AAS）. B ′
AO BO (中点的定义) AOC BOD (对顶角相等)
\ DAOC DBOD (AAS)
到目前为止,我们一共探索出判定三 角形全等的四种规律，它们分别是:
1、边边边 (SSS) 2、边角边 (SAS) 3、角边角 (ASA) 4、角角边 (AAS)
练一练：
1、如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，根据SAS,ASA或AAS，
(2) (1)
D
A
(2)
C
利用“角边角”可知,带第(2)块去，
可以配到一个与原来全等的三角形玻E璃。
B
探究如6 下图，在△ABC和△DEF中,∠A ＝∠D, ∠ B＝
∠E, BC＝EF, △ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条 件证明你的结论吗？
A
在△ABC和△DEF中,
∠A +∠B +∠C＝1800,
证明：
A
在△ABC和△EDC中,
∠B=∠EDC=900
BC＝DC, ∠1＝∠2,
B 1C D
F
2
∴ △ABC ≌△DEF （ASA）
∴ AB＝ED.
E
知识应用
2.如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2. 求证: AB=AD.
证明： ∵ AB⊥BC, AD⊥DC, ∴ ∠B=∠D=900,
在△ABC和△ADC中, ∠B=∠D, ∠1＝∠2, AC＝AC,
D．∠C＝∠F
2. 在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝ 67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那 么这两个B 三角形（ ） A．一定不全等 B．一定全等 C．不一定全等 D．以上都不对
3. 如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB， 判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
那么应补充一个直接条件
AC=DF或∠B=∠E或∠A=∠D
--------------------------，
（写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF.
A
A
F
E
B
C
D
E
1
2
D
B
C
2、如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？
AB=AC相等
知识应用
1. 如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以 在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出 BF的垂线DE，使A， C，E在一条直线上， 这时测得DE的长就是AB的长。为什么？
证明：在△ACD和△ABE中，
A
∠A=∠A（公共角 ），
AC=AB（已知），
D
E
∠C=∠B （已知 ），
B
C
∴ △ACD≌△ABE（ASA)，
∴AD=AE.
二 用“角角边”判定三角形全等
合作探究
问题：若三角形的两个内角分别是60°和45°， 且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?
60°
45°
C
AO=BO , ∠1=∠2, （已知） ∴△AOC≌△BOD (ASA)
12
O D
A
例题讲解
例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交 于点O，AB=AC，∠B=∠C。
求证：(1)AD=AE; (2)BD=CE。
A
证明 ：在△ADC和△AEB中
∠A=∠A（公共角） AC=AB（已知） ∠C=∠B（已知）
C′
例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝ ∠E，
BC=EF.求证：△ABC≌△DEF．
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°. ∴ ∠C＝180°－∠A－∠B. 同理 ∠F＝180°－∠D－∠E. 又 ∠A＝∠D，∠B＝ ∠E, ∴ ∠C＝∠F.
在∠△BA＝BC∠和E△DEF中， ， BC＝EF ，
C
Aห้องสมุดไป่ตู้
B
E
D
C
C′
A
B
A′
B′
作法：
（1）画A'B'=AB;
（2）在A'B'的同旁画∠DA'B '=∠A，∠EB'A '=∠B，
A'D，B'E相交于点C'.
想一想：从中你能发现什么规律？
知识要点
“角边角”判定方法
文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三 角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.A
回首往事： 1.什么样的图形是全等三角形？ 2.判断三角形全等至少要有几个条件？
答：至少要有三个条件
边边边公理： 有三边对应相等的两个三角形全等。
边角边公理： 有两边和它们夹角对应相等的两个
三角形全等。
问题：
如果已知一个三角形的两角及一边，那 么有几种可能的情况呢？
答：角边角（ASA） 角角边（AAS）
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系， 比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是 运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
当堂练习
1. △ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使
△ABC≌△DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ A ）
A．AC＝DF
B．BC＝EF
C．∠A＝∠D
∠D +∠E +∠F =1800,
C ∵ ∠A ＝∠D, ∠B＝∠E,
B
D
∴ ∠C＝∠F,
∴ ∠B＝∠E,
BC＝EF,
∠C＝∠F,
E
F ∴ △ABC ≌△DEF （ASA）
探究反映的规律是：
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角 形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。
用数学符号表示:
A
A'
AB=AB（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
课堂小结
内容
有两角及夹边对应相等的两个三 角形全等（简写成 “ASA”)
边角边 应 用 为证明线段和角相等提供了新的证法 角角边
注意
注意“角角边”、“角边 角”中两角与边的区别
12.2三角形全等的判定
第3课时 “角边角”、“角角边”
1 2 3
讲授新课
一 三角形全等的判定（“角边角”定理）
问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有
几种可能的情况呢？ A
它们能判定两个
三角形全等吗？ A
B
图一
C
“两角及夹边”
B
图二 C
“两角和其中一角的对边”
作图探究
先任意画出一个△ABC，再画一个△A ′ B ′ C ′ ， 使A ′ B ′ =AB， ∠A ′ =∠A， ∠B ′ =∠B (即使两角和它 们的夹边对应相等).把画好的△A ′ B ′ C ′剪下，放到 △ABC上，它们全等吗？