2021年北京中关村中学高一数学理联考试卷含解析

2021年北京中关村中学高一数学理联考试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 如图，一个底面水平放置的倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水，水深为

h. 若在容器内放入一个半径为1 的铁球后，水面所在的平面恰好经过铁球的球心O（水没有溢出），

则h的值为（）

A. B. C. D.

参考答案：

B

【分析】

作OD⊥AC，垂足为D，则球的半径r＝OD＝1，此时OA＝2r＝2，底面半径R＝2×tan30°，可得半球和水的体积和，从而得水的体积，将水的体积用h表示出来，进而求出h．

【详解】作OD⊥AC，垂足为D，则球的半径r＝OD＝1，此时OA＝2r＝2，底面半径R＝2×tan30°＝

，当锥体内水的高度为h时，底面半径为h×tan30°＝h，

设加入小球后水面以下的体积为V′，原来水的体积为V，球的体积为V球．

所以水的体积为：，

解得：．

故选：B．【点睛】本题考查锥体和球的体积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．

2. 已知函数f（x）=x2+1，那么f（a+1）的值为（）

A．a2+a+2 B．a2+1 C．a2+2a+2 D．a2+2a+1

参考答案：

C

【考点】函数的值．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由已知得f（a+1）=（a+1）2+1，由此能求出结果．

【解答】解：∵函数f（x）=x2+1，

∴f（a+1）=（a+1）2+1=a2+2a+2．

故选：C．

【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

3. 已知，则化简的结果为：

A． B. C． D. 以上都不对

参考答案：

B

略

4. 如果偶函数在区间上是增函数且最小值是，则在上是

（A）增函数，最大值为（B）增函数，最小值是

（C）减函数，最大值为（D）减函数，最小值是

D

5. 在下列四个正方体中，能得出异面直线AB⊥CD的是( )

参考答案：

A

6. Cos750°=（）

A．﹣B．C．﹣D．

参考答案：

D

【考点】诱导公式的作用．

【分析】利用诱导公式即可求得答案．

【解答】解：∵cos=cos（2×360°+30°）=cos30°=．

故选D．

7. 若cos（﹣α）=，则sin2α=（）

A．B．C．﹣D．﹣

参考答案：

D

【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．

【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，

∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，

法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，

∴（1+sin2α）=，

∴sin2α=2×﹣1=﹣，

故选：D．

8. 函数的图象的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的3倍，再将图象向右平移

3个单位长度，所得图象的函数解析式为

A. B.

C. D.

参考答案：

D

9. 用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为

（）

A. B. C. D.

参考答案：

C

10. （5分）若f（x）=，则f（x）的最大值，最小值分别为（）

A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．8，8

参考答案：

A

考点：函数的最值及其几何意义．

分析：分段求出f（x）的最大值，最小值，再确定分段函数的最大值，最小值．

解答：由题意，x∈[1，2]，f（x）=2x+6，函数为增函数，∴f（x）的最大值，最小值分别为10，8；

x∈[﹣1，1]，f（x）=x+7，函数为增函数，∴f（x）的最大值，最小值分别为8，6；

∴f（x）的最大值，最小值分别为10，6

故选A．

点评：本题重点考查分段函数的最值，解题的关键是分段求函数的最值，再确定分段函数的最大值与最小值

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 解方程：3×4x﹣2x﹣2=0．

参考答案：

【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．

【专题】综合题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．

【分析】原方程因式分解得：（3×2x+2）（2x﹣1）=0，进一步得到3×2x+2＞0，所以2x﹣1=0，求解x即可得答案．

【解答】解：原方程3×4x﹣2x﹣2=0可化为：3×（2x）2﹣2x﹣2=0，

因式分解得：（3×2x+2）（2x﹣1）=0，

∵2x＞0，∴3×2x+2＞0．

∴2x﹣1=0，

解得：x=0．

∴原方程的解为：x=0．

【点评】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，本题的关键是会因式分解，是基础题．12. 函数的定义域为

.

参考答案：

13. 若方程log2x=7－x的根x0∈(n,n+1)，则整数n= 。

参考答案：

4

略

14. 已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则

sin2φ．

参考答案：

【考点】两角和与差的正弦函数．

【专题】三角函数的求值．

【分析】利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可．

【解答】解：y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=sin（πx+φ﹣α），其中sinα=，

cosα=．

∵函数的图象关于直线x=1对称，

∴π+φ﹣α=+kπ，

即φ=α﹣+kπ，

则sin2φ=sin2（α﹣+kπ）=sin（2α﹣π+2kπ）=sin（2α﹣π）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣2××=，

故答案为：