第05讲 平行四边形专题+佳颖

第五讲 平行四边形专题
专题讲解
专题
1 平行四边形的性质
例1 （1）如图，□ABCD 周长为36cm ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，DE=4cm ，DF=5cm ，则S
□ABCD= 。

C
A
（2）□ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，AE=2cm ，BF=1cm ，∠EDF=60°，则S □ABCD = 。

（3）如图，过□ABCD 内一点P 作AD ，AB 边的平行线EF ，GH ，若S 四边形PHCF =5，S 四边形PGAE =3，则S △PBD = 。

H G
D
B
点拨平行四边形的面积：
（1）计算公式：S=底×高；
（2）等底等高的平行四边形面积相等，等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半；
（3）经过对角线交点的任意直线将平行四边形分成面积相等的两个部分。

解析：
归纳总结：
①型特征：
②方法与技巧：
练1.1 如图，在□ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（）
A.3
B.6
C.12
D.24
D
B
练1.2 国家文明卫生城市—武汉，风光秀丽，花木葱茏，某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花。

如果AB∥EF∥DC，BC ∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（）。

A.红花，绿花种植面积一定相等
B.紫花，橙花种植面积一定相等
C.红花，蓝花种植面积一定相等
D.蓝花，黄花种植面积一定相等
B
练1.3 如图，张、王、李、赵四家的承包田都是形状面积完全相同的矩形，四家用不同的方式修路（图中阴影部分），以便施肥、喷药之用，但各家修的路有一个共同点，即A1B1=A2B2=A3B3=A4B4，且路的两侧都是平行的，那么路的占地面积（）。

A.张家最少
B.赵家最少
C.
张、王、李、赵四家一家比一家少 D.四家相等
B1
A1A2B2
张王
B3
A3
练1.4 如图是一个平行四边形土地ABCD，后来在其边缘挖了一个小平行四边形水塘DFGH，现准备将其分成两块，并使其满足：两块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，便于灌溉，请你在图中画出分界线（保留作图痕迹）。

B
练1.5 如图，已知P为□ABCD内一点，且S△PAB=5，S△PAD=2，则S△PAC等于（） A.2 B.3 C.4 D.5
A
例2 如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，EF∥AC，交BC于点F，试判断线段BE和FC的大小关系。

B C
点拨平行四边形的性质：
（1）边：两组对边分别平行且相等；
（2）角：对角相等、邻角互补；
（3）对角线：对角线互相平分。

归纳总结：
①题型特征：
②方法与技巧：
练1.7 如图所示：已知在□ABCD中，BE=DF，求证：∠DAE=∠BCF。

C A
练1.8 □ABCD中，直线FH与AB，CD相交，过A，D，C，B，向FH作垂线，垂足为G，F，E，H，求证：AG-DF=CE-BH。

C
A
练1.9 分别发□ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边坐等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF。

（1）如图，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF，请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；
F E
G
C
（2）如图，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF ，EF ，（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由。

C
D
专题2 平行四边形的判定
例3 （1）如图，□ABCD 中，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，连接AN ，DN ，BM ，CM ，且AN ，BM 交于点P ，CM ，DN 交于点Q ，四边形MGNP 是平均四边形吗？为什么？
B
（2）如图，在□ABCD 中AB ，BC ，CD ，DA 上，分别取点K ，L ，M ，N ，使AK=CM ，BL=DN ，则四边形KLMN 为平行四边形吗？说明理由。

A
（3）如图，□ABCD 中，E ，F 分别在BA ，DC 的延长线上，且AE=12AB ，CF=1
2
CD ，试证明AECF 为平行四边形。

B
（4）如图，在□ABCD 中，∠ABC 的平分线交CD 于点E ，∠ADC 的平分线交AB 于点F ，试证明四边形DFBE 为平行四边形。

E
C
A
F
（5）如图，在□ABCD 中，点E ，F 是对角线AC 上两点，且AE=CF ，求证：∠EBF=∠FDE 。

B
点拨 平行四边形的5个判定方法：
（1） 边：① 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2） 角：④ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （3） 对角线：⑤ 对角线相互平分的四边形是平行四边形。

解析
归纳总结：
①题型特征：
②方法与技巧：
练2.1 如图，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，∠EFB=60°，DC=EF。

（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
A
E
C
（2）若BF=EF，求证：AE=AD
练2.2 如图，以三角形ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD，△BCE，△ACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形？如果是，请证明之，如果不是，请说明理由。

D
F
练2.3 如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，OB=8，以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E。

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形。

E
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与A重合，折痕为FC，求OG的长。

G
O
练2.4 在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB 于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F，若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB.
请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明。

专题3 三角形中位线
例4 如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且DE=
1
2
BC。

B
点拨三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于三角形第三边长度的一平
解析：
归纳总结：
①题型特征：
②方法与技巧：
练3.1 如图所示，D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q，求证：AP=AQ。

A
B
C
练3.2 如图，已知四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，并且点E ，F ，G ，H 又在同一条直线上。

求证：EF 和GH 互相平分。

A
C
D
练3.3 如图，△ACB ，△CDE 都为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连AE ，P ，M ，N 分别为AE ，AB ，DE 的中点
（1）如图1，为D，E分别在AC，BC上，则PM，PN有何关系？
E
A
（2）如图2，将△CDE绕点C逆时针旋转一个锐角时，上述结论是否仍成立并证明。

A
C
练3.4 BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG与直线BC相交于MN。

M
N
图1 （1）试说明：()1
2
FG AB BC AC =++
（2）①如图2，BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线；
②如图3，BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，则在图2，图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请你写出你的猜想，并对其中一种情况说明理由。

B
B
图2 图3 分级检测 A 组
1.四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A.AB ∥DC ，AD ∥BC
B.AB=DC ，AD=BC
C.AO=CO ，BO=DO
D.AB ∥DC ，AD=BC （2013，泸州）
C
A
2.如图，在□ABCD中，下列结论中错误的是（）。

A.∠1=∠2
B.∠BAD=∠BCD
C.AB=CD
D.AC⊥BD
（2013，益阳）
B
3.如图，在周长为20cm的ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为。

D
B
E
4. 如图，□ABCD的周长为30，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE:AF=2：3，∠C=120°，则□ABCD的面积为。

A
E
5. 如图，已知□ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E，求证：AB=BE。

A
6. 如图，已知□ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F分别是OA，OC的中点。

（1）求证：OE=OF；
（2）求证：DE∥BF。

A
7. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF。

（1）试说明AC=EF；
E
D
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形。

8. 已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。

B
F
B级
1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，点N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于点P，求证：∠BPM=45°
B
A
N
2. 已知等腰直角△ABC ，∠BAC=90°，将△ABC 绕点C 旋转至△A ＇B ＇C ，连接BB ＇，以AB ，BB ＇为领边作□ABC ＇D ，连接A ＇D 。

B
B
图① 图② （1）求∠ADA ＇；
（2）将图①的△A ＇B ＇C 继续旋转至图②，使B ，C ，A ＇不在一条直线上，连AA ＇，判断△ADA ＇的形状。

3. 如图，在等腰△ABC 中，延长边AB 到点D ，延长边CA 到点E ，连接DE ，恰有AD=BC=CE=DE ，求∠BAC 的度数。

E
-家庭作业
1. 如图，在□ABCD中，DB=DC，∠A=65°，CE⊥BD于E，则∠BCE= 。

A
2. 如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A=115°，则∠BCE= 。

D
B
3. 如图，在□ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边与点E，则BE等于（）
A.2cm
B.4cm
C.6cm
D.8cm
B E
4.如图，在□ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是AB和CD的五等分点，点B1B2和D1D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为（）
A.2
B.
3
5
C.
5
3
D.15
C4C
A
5. 如图，在□ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，EF 过点O 分别交AB ，CD 于E ，F ，AO ，CO 的中点分别为G ，H ，求证：四边形GEHF
是平行四边形。

E A
6.已知：如图，在□ABCD 中，对角线AC 交BD 于点O ，四边形AODE 是平行四边形，求证：四边形ABOE 、四边形DCOE 都是平行四边形。

D
B
7. 如图，点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。

C B
8.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，求证：△EFG 是等腰三角形。

A B
9. 已知，如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ∥BC ，AD=24cm ，BC=30cm ，点P 自点A 向D 以1cm/s 的速度运动，到D 点即停止，点Q 自点C 向B 以2cm/s 的速度运动，到B 点即停止，直线PQ 截梯形为两个四边形，问P ，Q 同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？
B
C P Q
下次课必背
平行四边形的性质总结
平行四边形的判定方法
结合平行四边形的定义和以上四个判定定理，我们已有如下五种判定平行四边形的方法。