《数学建模》期末考试试卷四与参考答案

《数学建模》期末考试试卷 班级 姓名 学号
一、（15分）某厂利用甲、乙、丙三种原料生产A 、B 、C 、D 、E 五种产品，单位产品（万件）对原材料的消耗（吨）、原材料的限量（吨）以及单位
问五种产品各生产多少才能使总利润达到最大？ （1）建立线性规划问题数学模型。

（2）写出用LINGO 软件求解的程序。

二、（15分）用单纯形方法求如下线性规划问题的最优解。

123
123123123
max 614134248
..2460,,0S x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪
++≤⎨⎪≥⎩
三、（15分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，消耗两种主要原材料A 与B 。

每单位产品生产过程中需要消耗两种资源A 与B 的数量、可供使用的原材料数量以及单位产品利润如下表：
设生产甲、乙、丙产品的数量分别为123,,x x x 单位，可以建立线性规划问题的数学模型：
123
123123123max 4003005006030504500
..3040503000,,0
S x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪
++≤⎨⎪≥⎩
利用LINGO10.0软件进行求解，得求解结果如下：
Objective value: 35000.00 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost
X1 50.00000 0.000000 X2 0.000000 66.66667 X3 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 35000.00 1.000000 2 0.000000 3.333333 3 0.000000 6.666667
（1）指出问题的最优解并给出原应用问题的答案；
（2）写出该线性规划问题的对偶线性规划问题，并指出对偶问题的最优解；
（3）灵敏度分析结果如下：
Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease
X1 400.0000 200.0000 100.0000
X2 300.0000 66.66667 INFINITY
X3 500.0000 166.6667 66.66667
Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
2 4500.000 1500.000 1500.000
3 3000.000 1500.000 750.0000
对灵敏度分析结果进行分析
四、（10分）一个公司要分派4个推销员去4个地区推销某种产品，4个推销员在各个地区推销这种产品的预期利润（万元）如下表。

若每个推销员只能去一个地区，每一个地区只需要一个推销员，应如何分派这4个推销员才能使
五、（15分）（1）叙述层次分析法的步骤；
（2）给定4阶正互反判别矩阵
15133
1511713
3717
1311 A
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎝⎭
用和法求其最大特征值及其所对应的特征向量，并对其进行一致性检验，已知4阶矩阵的随机致性指标RI=0.90。

六、（15分）模糊综合评价：某项工程招标，希望由具备以下条件（指标）的单位承包：1A —技术力量较强；2A —机械化程度较高；3A —预计工程质量较好；4A —施工期较短；5A —所需资金较少。

现有(1,2,3,4)j B j 家公司招标，经专家评审得到下表。

并且表中已经计算出各项指标的标准差和平均值。

（1）分别求出指标1A 、2A 、3A 、4A 、5A 对应的变异系数（填入下表），并归一化得出这5个条件的权重系数（填入下表）；
（2）用变异系数法分别对4个公司1B 、2B 、3B 、4B 作出综合评价，并按照评价结果对各个公司从高到低排出顺序。

七、（15分）求解模糊线性规划：
123123~
123~
123~
123max 12633220
22224..54248,,0
Z x x x x x x x x x =s t x x x x x x =++++≥⎧⎪
++⎪⎨
++≤⎪⎪
≥⎩ 对应的约束条件伸缩指标分别取1234,3,2d d d === 其求解步骤为： 先求解问题（Ⅰ）：
得问题（Ⅰ）的解：1238,0,4x x ===x ；最优值：0108Z = 其次求解问题（Ⅱ）：
得问题（Ⅱ）解：123295
,0,66
x x x ===；最优值：1118.5Z = 最后求解问题（Ⅲ）：
《数学建模》期末考试试卷参考答案
一、设计划生产生产A 、B 、C 、D 、E 五种产品分别为12345,,,,x x x x x 单位，则可建立线性规划问题数学模型：
12345
123
51
3451234512345max 18251319212103224..222221,,,,0
=+++++++≤⎧⎪+++≤⎪⎨++++≤⎪⎪≥⎩S x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x
Lingo 程序：
Max=18*x1+25*x2+13*x3+19*x4+21*x5; X1+2*x2+x3+x5<10; X1+x3+3*x4+2*x5<24;
X1+2*x2+2*x3+2*x4+2*x5<21; 二解：引入松弛变量，化成标准形 123
1234
123512345
max 614134248..2460,,,,0=+++++=⎧⎪
+++=⎨⎪≥⎩S x x x x x x x s t x x x x x x x x x
最优解：12336,0,6,max 294x x x S ==== 三、（1）指出问题的最优解并给出原应用问题的答案； 问题的最优解：12350,0,30,max 35000===x =x x S
生产甲产品50单位，丙产品30单位，不生产乙产品。

可使利润达到最大，最大利润为35000元，即3.5万元。

（2）写出该线性规划问题的对偶线性规划问题，并指出对偶问题的最优解； 对偶线性规划问题为： 1212121212min 4500300060304003040300..5050500,0
=++≥⎧⎪
+≥⎪⎨
+≥⎪⎪≥⎩W y y y y y y s t y y y y
对偶问题的最优解：
121020
,;min 3500033
=
==y y W （3）由目标函数系数的灵敏度分析，可得：
甲产品的单位利润在[400-100,400+200]=300元——600元，产品的结构不会改变； 乙产品的单位利润不超过300+200/3=366.67元，产品的结构不会改变，即乙产品不生产；当乙产品的单位利润超过366.67元，乙产品就值得生产。

丙产品的单位利润在[500-200/3,500+500/3]=433.33元——666.67元，产品的结构不会改变。

由约束条件右端常数项的灵敏度分析，可得：
原料A 的供应量在[4500-1500,4500+1500]=3000——6000公斤，该原料的影子价格10/3=3.3333元不改变；
原料B 的供应量在[3000-750,3000+1500]=2250——4500公斤，该原料的影子价格20/3=6.67元不改变。

四、将效益矩阵变成效率矩阵，并变换效率矩阵。

max{c }20ij M ==
510105*********)100532311122-⎛⎫ ⎪-
⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭ij 9c （ 0
54510331005301
91033⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪
⎪--⎝
⎭
**
*0512-1101020167-11⎛⎫
⎪∅∅ ⎪ ⎪→∅ ⎪∅ ⎪ ⎪
+⎝⎭
****0412********⎛⎫∅ ⎪∅∅ ⎪→ ⎪∅ ⎪ ⎪∅⎝⎭ 最优解：1
0000
010()00010
10
0⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
ij x 甲—A ，乙—C ，丙—D ，丁—B 地区推销，可是利润最大，最大利润为58万元。

最优解不惟一。

五、（1）层次分析法的步骤；
1.建立递阶层次结构，递阶层次结构分为目标层（只有一个）、准则层（多个准则，并且可以有准则层、子准则层）和方案层（多方案）；
2.两两比较构造比较判别矩阵（正互反矩阵）；
3.在单准则下的排序（求正互反矩阵的最大特征值和对应的特征向量，并对特征向量规一化就是排序权重向量）及一致性检验（正互反矩阵的一致性指标CI ，一致性比例CR<0.1才能通过一致性检验）；
4.总的排序选优（根据矩阵的乘法逐层计算总排序，并且进行总排序的一致性检验）。

（2）解：计算过程 列归一化4.5333 16 1.619 11.3333
1 1
1
1
0.047641
==-CI
0.0476
0.05290.10.9
=
==<CI CR RI 该判断矩阵满足一致性检验。

六、（15分）解：（1）
（2）权重乘以对应指标值
对公司的综合评价从高到低排出顺序：3B 、2B 、4B 、1B 。

七、解：先求解模型（1）123
1231
23123123max 12633220
22224..54248,,0
=++++≥⎧⎪++⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩Z x x x x x x x x x =s t x x x x x x
再求解模型（2）123
123123
1231
23123max 12633216
22227
..2222154250
,,0=++++≥⎧⎪++≤⎪⎪
++≥⎨⎪++≤⎪⎪≥⎩S x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x 10118.510810.5=-=-=d Z Z
最后求解模型（3）1231231
23123123
123max 126310.510832416
222327
..222321542250
,,0
=++-≥⎧⎪
++-≥⎪⎪+++≤⎪⎨++-≥⎪⎪+++≤⎪≥⎪⎩g x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x λ
λλλλλ。