第一讲：向量的内积、长度和正交性

主讲人：同济大学殷俊锋
向量的内积、长度和正交性是线性代数中基本的概念，不仅包含内积、范数等概念，还包括正交向量组、正交规范基、正交矩阵等基本概念，以及将一组线性无关向量组转化为正交规范基的施密特正交化过程。

这些概念对于今后学习矩阵的特征值，以及线性空间等具有非常重要的作用.
一、知识要点
1、内积、正交
定义:给定n 维列向量，定义x 与y 的内积.
•内积的性质有交换性、正定性、保持线性运算•施瓦茨不等式•当，则称向量x 与y 是正交的.2
(,)(,)(,)
≤x y x x y y (,)0=x y 1212(,,,),(,,,)==T T n n x x x x y y y y 1122(,)=+++n n x y x y x y x y
2、向量的长度（或范数)
定义令称为n 维向量x 的长度（或范数).
2
2212(,),n x x x x x x ==+++x •向量长度的性质有非负性、齐次性和三角不等式•n 维非零向量x 与y 的夹角
•当，则称向量x 为单位向量.
1=x (),arccos θ=x y x y
3、正交向量组、正交基
定义正交向量组是一组两两正交的非零向量.
定理设n 维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关。

定义设n 维向量是向量空间V 的一个基，如果是两两正交，且都是单位向量，则称是V 的一个规范正交基.
12,,,r a a a 12,,,r a a a 12,,,r e e e 12,,,r e e e 12,,,r e e e
4、施密特正交化过程
设n 维向量是向量空间V 的一个基，则可按照如下步骤将其化为V 的一个规范正交基.
步骤：
1，正交化令
11
βα=()()
2122111,,αββαβββ=-12,,,r a a a
()()()()
313233121122,,,,αβαββαββββ
ββ=--()()()()()()
121121112211,,,,,,αβαβαββαβββββββββ----=----r r r r r r r r r 121212
, , , ,r r r e e e ββββββ===则是V 的一个规范正交基
.2：单位化，令12,,,r e e e
5、正交矩阵
定义设A是一个n阶方阵，如果A T A=E，则称A是正交矩阵，简称正交阵.
n 阶方阵A 是正交矩阵
A-1=A T;
A 的列向量是两两正交的单位向量，即A 的列向量组是R n的标准正交基；
A 的行向量是两两正交的单位向量.
定义设P是一个正交阵，则线性变换y=Px称为正交变换.
6、正交矩阵的性质
（1）若A为正交矩阵，则A-1=A T 也为正交阵，且|A|=1或-1；（2）若A和B是正交阵，则AB也是正交阵；
（3）正交变换x=Py（P是正交矩阵）保持向量的长度不变.
二、教学要求
1、理解向量正交、正交基的概念，正交矩阵的概念和性质
2、掌握施密特正交化过程的步骤
三、例题精讲
例1、设
14
0,2,.
23
λλ
-
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
===+
⎪ ⎪
⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭
与正交，且，求和a b c a b a c c
解：由正交性
因此()()()()() ,,,,,
λλλ
=+=+=
a b a a c a a a c a a
所以
()
()
,10
2
,5
λ
-
===-
a b
a a
412
2(2)02
321λ
--
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=-=--=
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
--
⎝⎭⎝⎭⎝⎭c b a
例2、试用施密特正交化过程把向量组正交化.
()123111,,124139⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭a a a 解：先作正交化()()()()()()111222111132333121122,
111,6210,,331113111,,1482410,,,32391113=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭
b a b a b a b b b b a b a b a b b b b b b
再把它们单位化，
111222333111,31110,21112.61⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭
b e b b e b b e b
例3、判断矩阵是否为正交阵，并说明理由111231112211132⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
A 解：由于正交矩阵列向量为单位向量且相互正交，而
111111,11249
13⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭a a 因此，该矩阵不是正交矩阵.
例4、设为维向量，，令，证明是对称的正交阵.
x 证明：首先证明对称性，
()()222,=-=-=-=T T T T T T
H E xx E xx E xx H n 1=T x x 2=-T H E xx H ()()()()
()2222444444.
=--=--=-+=-+=-+=T T T T T T T
T T T T T
T T H H E xx E xx E xx E xx E xx xx xx E xx x x x x E xx xx E 再证明正交性
例5、设都是正交阵，证明也是正交阵.,A B 证明：由题意()===T T T T AB AB B A AB B B E AB ,
,==T T
A A E
B B E AB 所以因此，也是正交矩阵.
谢谢！。