随机事件及其概率

随机事件及其概率
随机事件
随机事件的概念
随机试验E
试验可以在相同的条件下重复进⾏（重复性）；
试验的可能结果不⽌⼀个，并且⼀切可能的结果都已知（多样性）；
在每次试验前，不能确定哪⼀个结果会出现（随机性）。

样本空间S
随机试验E的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间
随机事件
随机试验E的样本空间S的⼦集称为E的随机事件
随机事件的关系
包含关系：B⊂A（B发⽣必导致A发⽣）
相等关系：B⊂A且A⊂B，则A=B
事件的和：A∪B（事件A发⽣或B发⽣，即A和B中⾄少有⼀发⽣）
事件的积：A∩B=AB（事件A发⽣且事件B发⽣）
事件的差：A-B（事件A发⽣且事件B不发⽣）
互不相容（互斥关系）：A∩B=Ø（事件A和事件B不可能同时发⽣）
互逆关系（对⽴关系）：若A∪B=S且A∩B=Ø，记为A=或B=
运算规律
交换律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A；
结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
分配率：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
对偶律：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)（如果A、B互斥，则P(AB)=0）
P(A-B)=P(A)-P(AB)（若B⊂A，则P(AB)=P(B)）
P(A)=1-P()；P(A)=P(A)+P(AB)
古典概率模型
1. 试验的样本空间只含有有限个样本点，即基本事件数有限；
2. 在每⼀次试验中，每个基本事件发⽣的可能性都相同。

3. 古典概率P(A) = A中的基本事件 / S中包含的基本事件
排列A n m：从n个⼈中，有顺序地抽出m个⼈的抽法数；A n m=n(n-1)...(n-m+1)
组合C n m：从n个⼈中，不计顺序地抽出m个⼈的抽法数；C n m=n!/m!(n-m)!
条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
条件概率
在事件A发⽣的条件下，事件B发⽣的条件概率：P(B|A)=P(AB)/P(A)；P(B|A)=1-P(|A)
乘法公式：若P(A)>0,则有P(AB)=P(A)P(B|A)
假如事件A与B相互独⽴，则P(AB)=P(A)P(B)
全概率公式
全概率就是表⽰达到某个⽬的，有多种⽅式（或者造成某种结果，有多种原因），问达到⽬的的概率是多少（造成这种结果的概率是多少）？
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+...+P(B n)P(A|B n)
贝叶斯公式
当已知结果，问导致这个结果的第i原因的可能性是多少？执果索因！
事件独⽴性和贝努利试验
事件独⽴性
事件B的发⽣与否，并没有影响到事件A发⽣的概率
P(A|B)=P(A)，即P(AB)=P(A)P(B)
贝努利试验
在同样的条件下重复地、相互独⽴地进⾏的⼀种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发⽣或者不发⽣。

我们假设该项试验独⽴重复地进⾏了n次，那么就称这⼀系列重复独⽴的随机试验为n重贝努利试验。

（P(A)=p，事件A恰好发⽣k次的概率）
事件的独⽴和事件互斥两个概念的区别
1.互不相容考虑的是事件能否同时发⽣。

A和B互斥：A发⽣B就不可能发⽣，B发⽣A就不可能发⽣，也就是说A和B不能同时发⽣。

2.事件的独⽴性考虑的是两个事件的关联性，⼀个事件的发⽣能否影响另⼀个事件。

A和B独⽴：A发⽣和B发⽣没有关系，A发⽣不会影响B 发⽣，但A和B也可能同时发⽣。