特殊平行四边形知识归纳和题型精讲

特殊平行四边形知识归纳

和常见题型精讲

矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫

长方形或正方形).矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；

矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)

性质1: 矩形的四个角都是直角．性质2: 矩形的对角线相等且互相平分．

如图，在矩形ABCD 中，可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

矩形的判定方法．方法

1：对角钱相等的平行四边形是矩形．方法2：有三个角是直

角的四边形是矩形．方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．方法4： 对角线相等且互相平分的四边形是矩形．

例1已知：如图 ，矩形 ABCD ，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长．

例2 已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AE=BC ． 求证：CE ＝EF ．

例3．如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF =EC ，DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．

例4、

中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ．

(1)求证：；

(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形，并说明理由．

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形的性质

性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定

方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．方法2:四边都相等的四边形是菱形．

例1 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ． 求证：∠AFD=∠CBE ．

F

E D C B

A

例2已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ． 求证：四边形AFCE 是菱形．

例3、如图，在 ABCD 中，

O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交

于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.

例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2

∠BAE 。求证：AM=BE 。

例5． 如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ．求线段BE 的长．

例6、如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F 。请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想

例7、如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE ≌△BCF ；

A

B

C

D

E

F

O

1

2

B

M A

D

C

E

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

①有一组邻边相等的平行四边形（菱形）

②有一个角是直角的平行四边形（矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

正方形定义：有一组邻边相等

．．．．．叫做正方形．正方形是中心

．．．．．．．的平行四边形

．．．．．．并且有一个角是直角

对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：

边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

正方形的判定方法：1)有一个角是直角的菱形是正方形；2)有一组邻边相等的矩形是正方形．例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是

OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：OE=OF．

例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

DN⊥l

求证：四边形PQMN是正方形．

图 5E

D

C

B

A 例3、如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=P

B .

（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ； （2）设AP =x , △PBE 的面积为y .

① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.

例4：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ， DB 平分∠ADC ，过点A 作AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，且∠C ＝2∠E ．

（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形． （2）若∠BDC ＝30°，AD ＝5，求CD 的长．

课后训练

1、如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是____厘米.

2、菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，4cm AB =．那么，菱形ABCD 的面积是 ，对角线BD 的长是 ．

3、已知菱形ABCD 的面积是2

12cm ，对角线4AC =cm ，则菱形的边长是 cm ； 4、如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．

5、已知：如图，菱形ABCD 的对角线交于O 点，菱形的周长为40cm,BD=0.75AC,求菱形ABCD 的面积。

A

B

C

P

D

E