指数与指数幂的运算 课件

(1)a＋a－1；
解
将
a
1 2
＋a
1 2
＝3
两边平方，得
a＋a－1＋2＝9，即
a＋a－1＝7.
(2)a2＋a－2； 解 对(1)中的式子平方，得a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47.
3
3
a2 a 2
(3)
1
a2
1
a 2
.
解
3
a2
1
a2
3
a 2
1
a 2
1
(a 2
1
a2
)
(a +
a 1
+
1
a2
1
1
1
原式＝(1－a)(1－a)－1(－a) 4 ＝(－a) 4 .
1
错误原因 因题中有(－a) 2 ，所以－a≥0，即 a≤0，
1
则[(a－1)－2] 2 ≠(a－1)－1，错解中忽略了这一条件.
解析答案
m
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a n＝
n
am
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1).
1
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a
m n
m
＝a n
(a＞0，m，n∈N*，且n
＞1).
0
没有意义
(3)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂
.
答案
思考
(1)分数指数幂
a
m n
能否理解为mn 个
a
相乘？
答案
n
(3)0的任何次方根都是0，记作
0＝0
.
(4)负数没有偶次方根.
3.根式的定义
式子n a叫做根式，这里 n 叫做 根指数 ，a 叫做被开方数.
4.两个等式
(1)(n a)n＝a(n∈N*).
an为奇数，且n∈N*， (2)n an＝|a|＝a－aa≥a0<0， n为偶数，且n∈N*.
答案
知识点二 分数指数幂
1 2
＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝18403.
9
3
(2)化简：
a2
a3 ÷
3 a－7·3 a13(a＞0).
解
19
原式＝[a3 2
1( 3 )
a3 2
]
1( 7 )
[a2 3
a
1 13 23
]Βιβλιοθήκη Baidu
＝
9 3 7 13
a6 6 6 6
＝a0＝1.
反思与感悟
解析答案
题型四 条件求值
1
1
例 4 已知 a 2 ＋a 2 ＝3，求下列各式的值.
免上述情况规定了 a>0.
答案
知识点三 有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q). 知识点四 无理数指数幂 无理数 指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的 运算性质对于无理数指数幂同样适用.
指数与指数幂的运算
知识点一 根式的定义 1.n次方根的定义 一般地，如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2.n次方根的性质 (1)当n是 奇数 时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负 数.这时，a的n次方根用符号 n a 表示. (2)当n是 偶数 时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时， 正数a的正的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号 －n a 表示.正 的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±n a(a＞0) .
a2
)
1
1
a2 a 2
＝a＋a－1＋1＝8.
反思与感悟
解析答案
易错点 因忽略对指数的讨论及被开方数的条件致误
11
例 5 化简：(1－a)[(a－1)－2·(－a) 2 ] 2 .
1
1
错解 原式＝(1－a)(a－1)－1·(－a) 4 ＝－(－a) 4 .
1
正解 因为(－a) 2 存在，所以－a≥0，故 a－1<0，
反思与感悟
解析答案
题型二 根式与分数指数幂的互化
例2 将下列根式化成分数指数幂形式.
(1)3 a·4 a；
11
7
解 3 a·4 a＝a 3 ·a 4 ＝a 12 .
111
7
(2) a a a； 解 原式＝a 2 ·a 4 ·a 8 ＝a 8 .
23
13
(3)3 a2· a3； 解 原式＝a 3 ·a 2 ＝a 6 .
答案
返回
题型一 根式的运算
例1 求下列各式的值.
3
(1)
－23；
解 3 －23＝－2.
4
(2)
－32；
解 4 －32＝4 32＝ 3.
8
(3)
3－π8；
解 8 3－π8＝|3－π|＝π－3.
解析答案
(4) x2－2x＋1－ x2＋6x＋9，x∈(－3,3). 解 原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|， 当－3＜x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2. 当1＜x＜3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4. 因此，原式＝－ －24x，－12＜，x＜ －33.＜x≤1，
(4)(3 a)2· ab3.
解
1
13
73
原式＝(a 3 )2·a 2 ·b 2 ＝a 6 b 2 .
反思与感悟
解析答案
题型三 分数指数幂的运算
例3
(1)计算：0.064
1 3
－－780＋[(－2)3]
4 3
＋16－0.75＋|－0.01|
1 2
；
解
原式＝(0.43)
1 3
－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)
答
不能.
a
m n
不可以理解为mn 个
a
相乘，事实上，它是根式的一种新写法.
m
(2)在分数指数幂与根式的互化公式 a n ＝n am中，为什么必须规定 a>0?
m
答 ①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即n am＝ a n ＝0，无研究价值.
m
3
②若 a<0， a n ＝n am不一定成立，如(－2) 2 ＝ 2 －23无意义，故为了避