高中数学复习课件-北师大版高中数学必修5第三章《不等式》均值不等式及其应用(第一课时)

可用均值不等式法 ∵0＜x＜1 ，∴1-3x＞0
∴y=x（1-3x）=
1 3
•
3x（1-3x3）≤
1 3
(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3x
1 2
3x
)2
1 12
当且仅当 3x=1-3x
即x=1 6
时
ymax=
1 12
4
上题中只将条件改为0<x<1/8,即:
已知：0＜x
1 8
，求函数y=x（1-3x）的最大值
解： ∵0＜x≤1 ∴1-3x＞0
而 y 2x
2x y 1
x
y
1 2
2 2
2 2
即此时 ymin 3 2 2
7
本题小结： 用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的 充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求 最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“ 成立的诸条件是否相容。
8
1、设 a,b R且a+b=3,求２a＋２b的最小值_4__2。
创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立； 3、均值不等式在实际生活中应用时，也应注意取值范围和能取到
等号的前提条件。
12
今
日
1
作 题1 求函数y x 的值域
业
x
题2 若x 3,函数y x 1 ,当x为何值时， x3
函数有最大值，并求其最大值。
上述各式
等号成立的条件均是a b c
3 (1) 当a、b同号时，a/b+ b/a≥2； (2) 当a∈R+时， a+1/a≥2； (3) 当a∈R-时，a+1/a≤-2；
4 主要的用途是:求函数的最值时:若和为定值，则积 有最大值；若积为定值，则和有最小值 5 利用上述重要不等式求函数的最值时务必注意三点
北师大版高中数学 必修5第三章《不 等式》
1
某厂生产化工产品，当年产量在150吨至250吨之
间时，某年生产总成本y（万元）与年产量x(吨）之间的
关系可近似地表示为 y x2 30 x 4000 10
求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？
解：每吨平均成本为 y（万元），则
y
x
4000
30
x
2
均值不等式中取“=” 号过渡，而这两次取
即
1 x
1 y
的最小值为 4
2
“=”号的条件是不同的， 故结果错。
6
正确解答是:
已知正数x、y满足2x+y=1，求
1 1 的最小值
解:
xy
1 1 xy
2x y 2x y
x
y
3 y 2x xy
3 2
2
当且仅当 y 2x 即: y 2x 时取“=”号 xy
8
∴y=x（1-3x）=
1 3
•
3x（1-3x）≤
1 3
(3x
1 2
3x
)2
1 12
ymax
1 12
如此解答行吗？
5
1
例３、已知正数x、y满足2x+y=1，求
1
的最小值
xy
错解:1 2x y 2 2xy
错因：
xy 1 即 1 2 2 2 2 xy
过程中两次运用了
1 1 2 1 22 2 4 2 x y xy
x 10 x
x 4000 10 x
30
10
当且仅当 x 4000 ,即 x 200时,取“=”号
10 x
故年产量为２００吨时，每吨的平均成本最低
2
知 1、当a、b、cR时，a2 b2 2ab,
识
a3 b3 c3 3abc
要 2、当a、b、c R *时，a+b 2 ab
点
a b c 33 abc
达到：一正二定三能等!
6 主要用到的方法和技巧是：凑、拆,使之出 3
现和为定值或积为定值特征。
例１、已知：0＜x＜
1 3
，求函数y=x（1-3x）的最大值
分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，
利用二次函数求某一区间的最值
分析二、 挖掘隐含条件
∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜13 则1-3x＞0；
池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造
价为 3600 元.
11
１、应用均值不等式须注意以下三点：
（１）各项或各因式为正 （２）和或积为定值 （３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形，
以满足上述前提，即“一正二定三相等”
２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转 化为“和式”的放缩功能；
题3 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
13
(C)x p q 2
(D)x p q 2
10
下列函数中,最小值是4的是( C)
A y=x+ 4 B y=sinx+ 4 (0<x< )
x
sin x
C y=ex+4e-x
D y=log3x+4logx3
2、 函数 y x 1 x2的最大值为 . 1/2
3、建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果
4 2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0<x<2)的最大值是多少
４、若 x 1 ，则函数 y x2 7x 10
x 1
的最小值是__９__。
9
某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为P，
第三年的增长率为 q ，这两年的平均增长率为 x ，
则（ Ｂ ）
(A)x p q 2
(B)x p q 2