2020年中考数学人教版专题复习教案设计：综合复习之圆的综合应用

如图所示，1）若∠AOB ＝∠COD ，则 AB ＝CD ，AB = CD ；2）若 AB ＝CD （或 AB = CD ）， （ （
2020 年中考数学人教版专题复习：综合复习之圆的综合应用
一、考点突破
考点
圆的有关概念和性质；
点和圆、直线和圆、圆和圆的位 题型 分值
置关系及其判定；
圆的综合
应用 圆的切线的判定和性质；
弧长、扇形面积的计算，圆锥的
侧面展开图；
填空题、选择题和解答题为 主，也有阅读理解题，条件
开放、结论开放探索题等新 的题型。

6～12 分
圆与相似三角形、三角函数的综 合运用。

二、重难点提示
重点：掌握圆的基本性质、与圆有关的位置关系，圆中的计算问题。

难点：切线的性质和判定，圆与四边形、三角形的综合问题。

考点精讲
一、圆的基本性质
1. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的 弧所对的圆心角相等。

C
O
A
E B
D
⋂ ⋂ ⋂ ⋂
则∠AOB ＝∠COD 。

A
B
O C
D
3.同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角。

【核心归纳】
圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

垂径定理是圆的轴对称性的体现，弧、弦、圆心角之间的关系定理是圆的中心对称性质的体现。

二、与圆有关的位置关系
1.点与圆位置关系：（1）点在圆内⇔d＜r；（2）点在圆上⇔d＝r；（3）点在圆外⇔d
＞r。

r r r
O
d P O
d
P O
d
P
2.直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交⇔d＜r；（2）直线与圆相切⇔d＝r；（3）直线与圆相离⇔d＞r。

O
r
O
r
O
r d d d
3.圆与圆的位置关系：（1）两圆内含（R＞r）⇔d＜R－r；（2）两圆内切（R＞r）⇔d
＝R－r；（3）两圆相交⇔R－r＜d＜R＋r；（4）两圆外切⇔d＝R＋r；（5）两圆外离⇔d
＞R＋r。

R R R R R
r r r r r
O
1O
2
O
1
O
2
O
1
O
2
O
1
O
2
O
1
O
2
是 S 扇形＝
；扇形面积的另一个计算公式：S 扇形＝ lr 。

【核心归纳】
1. 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，经过圆心且垂直于切线的直线必经过切 点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

2. 切线的判定：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的 连线平分两条切线的夹角。

4. 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上；相交两圆的连心线垂直且平分公共弦。

O 1 O 2
O 1 O 2 O 1 O 2
三、圆中的弧长和面积计算
1. 正多边形和圆
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

正多边形的每一个中
心角的度数是 360︒。

n 2. n °的圆心角所对的弧长 l 的计算公式：l ＝
n π R
180。

圆心角是 n °的扇形面积的计算公式
n π r 2 1 360 2
3. 圆锥的侧面展开图是以母线长为半径的扇形，圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长等于
圆锥底面的周长，圆锥的表面积等于圆锥的侧面积加上圆锥的底面积。

P
A
O
【规律总结】
1. 正多边形的问题通常转化为等腰三角形和直角三角形的问题加以解决。

如图所示，可 构造两类直角三角形，△Rt A 1OC 和 △Rt A 1OB 1。

＝ △＋ △＝ △＋ ， △＝
R
O
r C
B 3
A 3
B 2
A 1
A 2
B 1
2. 在同圆或等圆中，如果两个扇形的圆心角相等，那么它们的面积也相等。

易错点：圆锥侧面展开图扇形的 半径与底面圆的半径一定不相等，它与底面圆的直径 有可能相等。

如图所示，在△Rt AOP 中，AP 是其侧面展开图扇形的半径，AO 是其底面圆的 半径，根据直角三角形三边关系，这二者不可能相等。

当∠APO ＝30°时，这个圆锥侧面展 开图扇形的半径 AP 等于它底面圆的直径 2AO 。

P
A
O
典例精析
例题 1 在 Rt△ABC △中， C 90°，以 BC 为直径的△O 交 AB 于 E △，OD BC △交 O 于 D ，DE 交 BC 于 F ，点 P 为 CB 延长线上的一点，PE 延长交 AC 于 G ，PE ＝PF 。

小华得出 3 个结论： ①GE ＝GC ；②AG ＝GE △；③OG BE 。

其中正确的是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
思路分析：首先连接 OE 、CE ，由 OE ＝OD ，PE ＝PF ，易得 OED PEF ODE PFE 又由 OD△BC ，可得 OE△PE ，继而证得 PE △为 O 的切线；又由 BC 是直径，可得 CE△AB ，由切 线长定理可得 GC ＝GE ，根据等角的余角相等，可得 A AEG ，即 AG ＝GE ；易证得 OG △是 ABC 的中位线，则可得 OG BE △。

＝△＝△，△＝△，△，＝△＝△，△＋＝
△
＝
△
＝△
＝△
＝△
＝△
，△＋＝△＋＝△＝△，＝
△
＝
（
答案：连接OE、CE△，OE OD，PE＝PF△，OED ODE PEF PFE OD BC△ODE △
＋OFD90°，OFD PFE OED PEF90°，即OE PE△，点E△在O△
上，GE△为O的切线；点C△在O△
上，OC GC，△GC△为O的切线，GC GE，故①正确；
△BC是直径，BEC90°△，AEC90°△，ACB90°△，AC△是O的切线，EG CG△，△GCE △
＝GEC GCE A90°△，GEC AEG90°，A AEG AG EG，故②正确；
OC OB，AG＝CG△，OG△是ABC的中位线，OG AB△
，故③正确；故选D。

技巧点拨：本题考查了切线的判定与性质、切线长定理、圆周角定理、三角形中位线的
性质以及等腰三角形的性质。

本题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用。

例题2如图，在矩形ABCD中，E是CD边上的点，且BE＝BA，以点A为圆心、AD长
为半径作△A交AB于点M，过点B作△A的切线BF，切点为F。

（1）请判断直线BE与△A的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB＝10，BC＝5，求图中阴影部分的面积。

思路分析：1）直线BE△与A的位置关系是相切，连接AE，过A作AH BE△
，过E作EG AB△，再证明AH＝AD即可；（2）连接AF，则图中阴影部分的面积＝直角三角形ABF的面积－扇
形MAF的面积。

答案：（1）直线BE△与A的位置关系是相切，理由如下：连接A E，过A作AH BE△
，过
E作EG AB△，△S ABE＝
1
＝
＝
△
＝＝＝＝
=
B
1
BE•AH＝AB•EG，AB＝BE△，AH EG△，四边形ADEG是矩形，△AD
22
＝EG△，AH AD△，BE是圆的切线；
（2）连接AF△，BF△是A的切线，BFA90°△，BC5△，AF5△，AB10△，∠ABF＝30°，∠BAF＝60°，BF＝AB2-AF2＝53△，图中阴影部分的面积＝直角三角形ABF的
160⋅π⨯52753-25π
面积－扇形MAF的面积＝×5×53－。

23606
技巧点拨：本题考查了矩形的性质、切线的判定和性质、三角形和扇形面积公式的运用，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线。

例题3如图，在平面直角坐标系中，△P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A、两点，连接AP并延长分别交△P、x轴于点D、点E，连接DC并延长交y轴于点F。

若点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，－1）。

（1）求证：DC＝FC；
（2）判断△P与x轴的位置关系，并说明理由；
（3）求直线AD的解析式。

思路分析：1.证明两条线段相等最常用的方法是证明它们所在的两个三角形全等，也可以利用等面积法进行证明；
解得k＝4
2.证明圆的切线，分两种情况：有“切点”，连半径，证垂直；无“切点”，作垂线，证半径。

即：①已知直线过圆上一点，通常连接圆心和这点，证明半径垂直于直线，
②不知道直线是否过圆上一点，通过过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于圆的半径；
3.确定一次函数的表达式，一般先确定函数的图象经过的两个点的坐标，用待定系数法求解。

答案：（1）证明：如图，过点D作DH⊥x轴于点H，则∠CHD＝∠COF＝90°，
∵点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，－1），∴DH＝OF，
∵在△FOC与△DHC中，∠FCO＝∠DCH，∠FOC＝∠DHC＝90°，OF＝HD，
∴△FOC≌△DHC（AAS），∴DC＝FC；
（2）答：⊙P与x轴相切，理由如下：
如图，连接CP，∵AP＝PD，DC＝CF，∴CP∥AF，∴∠PCE＝∠AOC＝90°，即PC⊥x轴。

又PC是半径，∴⊙P与x轴相切；
（3）解：由（2）可知，CP是△DFA的中位线，∴AF＝2CP。

∵AD＝2CP，∴AD＝AF。

连接BD。

∵AD是⊙P的直径，∴∠ABD＝90°，∴BD＝OH＝6，OB＝DH＝FO＝1，设AD的长为△x，则在直角ABD中，由勾股定理，得x2＝62＋（x－2）2，解得x＝10，∴点A的坐标为（0，－9）。

设直线AD的解析式为：y＝kx＋b（k≠0），则b＝−9，6k＋b＝−1，
4
，b＝−9，∴直线AD的解析式为：y＝x－9。

33
提分宝典
【知识脉络】
外心三角形三边中
【综合拓展】
三角形的内心和外心
经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。

与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个圆的圆心叫做三角形的内心。

名称确定方法图形性质
（1）OA＝OB＝OC；
垂线的交点（2）外心不一定在三角形
的内部。

内心三角形三条角
平分线的交点
（1）到三边的距离相等；
（2）OA、OB、OC分别平
分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
（3）内心在三角形内部。