高中数学(人教版必修5)配套课件：第一章 解三角形 1-2(三)

明目标、知重点
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又∵C∈(0°，180°)，∴C＝90°，
∴b＝ c2－a2＝ 22－12＝ 3.
1 3 ∴S△ABC＝2×1× 3＝ 2 .
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知识点二 多边形的面积
对于多边形的有关几何计算问题，可以利用“割补法”将多边形转化
为三角形，利用三角形的有关性质及正弦、余弦定理解决.
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当堂检测
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1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝
4，C＝120°，则△ABC的面积为( C )
3 A. 3 2 3 B. 2 C. 3 D.2 3
解析 将c2＝a2＋b2－2abcos C与(a＋b)2－c2＝4联立，
1 解得 ab＝4，∴S△ABC＝2absin C＝ 3.
π ∵A 为△ABC 中最小内角，∴A∈(0，3)，
π π 7 π 2 ∴A＋4∈(4，12π)，∴sin(A＋4)∈( 2 ，1]，
∴sin A＋cos A∈(1， 2 ].
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3Hale Waihona Puke 4明目标、知重点解析答案
课堂小结
1.三角形面积计算的解题思路 1 对于此类问题，一般要用公式 S＝2absin C 1 1 ＝2bcsin A＝2acsin B 进行求解，可分为以下两种情况：
第一章 解三角形
§1.2 应用举例(三)
明目标、知重点
学习 目标
1.能用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题.
2.掌握三角形面积公式的简单推导和应用.
明目标、知重点
栏目 索引
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知识梳理
自主学习
(2)三角形面积公式的推广
∴b＝5.
b ∴△ABC 的外接圆直径为sin B＝5 2.
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3.设A是△ABC中最小的内角，则sin A＋cos A的取值范围是( D )
A.(－ 2， 2) C.(1， 2)
解析 π sin A＋cos A＝ 2sin(A＋4).
B.[－ 2， 2 ] D.(1， 2 ]
解析答案
解 由题意可知m· p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
∴(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4或－1(舍)，
1 1 π ∴S△ABC＝2absin C＝2· 4· sin 3＝ 3.
故△ABC 的面积为 3.
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反思与感
解析答案
跟踪训练 1
如图所示，已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB ＝ 2 ，
BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积.
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反思与感
解析答案
跟踪训练2
若△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且S＝c2－(a－
b)2，a＋b＝2，求面积S的最大值.
又∵A∈(0°，180°)，∴A＝60°或120°.
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(2) 在 △ABC 中 ， A ＝ 30° ， AB ＝ 2 ， BC ＝ 1 ， 则 △ABC 的 面 积 等 3 2 于 .
解析 a c 由正弦定理sin A＝sin C，
csin A 2· sin 30° ∴sin C＝ a ＝ ＝1， 1
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1 3 由题意可知2absin C＝ 4 ×2abcos C. π 所以 tan C＝ 3，因为 0<C<π，所以 C＝3. 解
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(2)求sin A＋sin B的最大值.
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反思与感
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跟踪训练3
已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m
＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2). (1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形； 证明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B.
a b ∴a· ＝ b · 2R 2R(2R 为△ABC 外接圆直径)，
∴a2＝b2，∴a＝b， ∴△ABC为等腰三角形.
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2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，B＝45°， S△ABC＝2，则△ABC的外接圆直径为( C )
A.4 3
解析
B.60
C.5 2
D.6 2
1 1 2 ∵S△ABC＝2ac· sin B＝2c· sin 45° ＝ 4 c＝2，
∴c＝4 2，∴b2＝a2＋c2－2accos 45° ＝25，
a＋b＋c
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答案
bsin A
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答案
1 1 1 1 则 S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＋S△BOC＝2cr＋2br＋2ar＝2(a＋b＋c)r.
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答案
60°或120°
解析 1 3 S＝2bcsin A＝2，
1 3 3 ∴2· 2· 3· sin A＝2，∴sin A＝ 2 ，
题型探究
重点突破
解
π 4 2π 因为角 A， B， C 为△ABC 的内角， 且 B＝3， cos A＝5， 所以 C＝ 3 －A，
3 sin A＝5.
于是 sin
2π C＝sin 3 －A ＝
3 ＋4 3 3 1 2 cos A＋2sin A＝ 10 .
解析答案
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(2)求△ABC的面积.
3＋4 3 3 解 由(1)知 sin A＝5，sin C＝ 10 ，
π 又因为 B＝3，b＝ 3，
bsin A 6 所以在△ABC 中，由正弦定理得 a＝ sin B ＝5.
3＋4 3 36＋9 3 1 1 6 于是△ABC 的面积 S＝2absin C＝2×5× 3× 10 ＝ 50 .
(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，
转化为求三角形的面积.
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦、余弦定理求出某两边及 夹角，再利用三角形面积公式进行求解.
明目标、知重点
2.与面积有关的三角形综合问题的解决思路.选取适当的面积公式，结 合正弦、余弦定理及三角恒等变换的知识，将问题转化为求函数的最 值或范围，进而予以解决.