可测函数的定义及其简单性质

第三章 可测函数
第一节 可测函数的定义及其简单性质
新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）
yi
Ei {x : yi1 f (x) yi}
yi-1
yi1 i yi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
n
(L)
[ a ,b ]
f
( x)dx
lim
0
i 1
i mEi
问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测度)?
仍为E上的可测函数。
a-g(x) r f(x)
证明：只要证 a
R, E[
f ga]
E[ f
可测，
a g ]
任取x E[ f ag],则f (x) a g(x)
从而r Q,使f (x) r a g(x)
即x
(
rQ
E[
f
r ]
E[
g
ar
]
)
任取x E[ f ag],则f (x) a g(x)
a g ]
任取x E[ f ag],则f (x) a g(x)
从而r Q,使f (x) r a g(x)
即x
(
rQ
E[
f
r ]
E[
g
ar
]
)
⑵可测函数类关于四则运算封闭
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,
则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)
即:若f(x)是E上的可测函数, E1 E, E1 可测， 则f(x)限制在E1上也是可测函数；
反之，若
E
n 1
En
,
f(x)限制在En上是可测函数，
则f(x)在E上也是可测函数。
E1[ f a] E[ f a] E1
E[ f a] E n1 n[ f a]
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性 即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测
xo
x
n
1
n
从而f `(x)是一列连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f `(x)是可测函数.
利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.
例 设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发 散点全体是可测集.
证明：发散点全体为
E[lim n
fn
lim
n
fn ]
收敛点全体为
E[lim n
fn
lim
n
fn ]
使得fn在E E e上一致收敛于f 0, 可测子集e E, me , 0, N 0,n N ,x E e,有 | fn (x) f (x) |
⑸依测度收敛: 记作 fn f于E
0,
有
lim
n
mE[|
f
n
f
|
]
0
0, 0, N 0,n N ,有mE[| fn f | ]
从而E[ f ag ]
(
rQ
E[
f
r
]
E[gar] )
证明中利用了
Q是可数集和
反之
rQ(E[
f
r ]
E[ gar ] )
E[
f
也成立
a g ]
R中的稠密集 两个性质
从而E[
f ag]
(
rQ
E[
f r]
E[gar] )可测
类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 E[ f g ] 为可测集。
(rQE[f ]E[gar] )可测
类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 E[ f g ] 为可测集。
任取x E[ f ag],则f (x) a g(x)
从而r Q, 使f (x) r a g(x)
即x
rQ
(
E[
f
r ]
E[ g ar ] )
a-g(x) r f(x)
((ai
,
bi
)))
g 可测
f 连续
第三章 可测函数
第二节 可测函数的收敛性
⒈函数列的几种收敛定义
⑴点点收敛: 记作 fn f于E
x E, 0,N x 0,n N x,有 | fn (x) f (x) |
⑵一致收敛:
0,N 0,n N ,x E,有 | fn (x) f (x) |
证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及
E E [ f a ]
n1 [ f a 1 ]
n
E E [ f a]
n1 [ f a 1 ]
n
E[ f a ]
( n 1
E[ a
f
) a n ]
E[
f
]
E[ a f b] E[ f a ] E[ f b]
对前面等式的说明
即 0, 0,使得f (O(x0 , ) ) O( f (x0 ), )
f(x) 在 x0 [a,b] 处连续(对闭区间端点则用左或右连续)
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
对 f (x) a, x 0, 使得f (O(x,x ) E) O( f (x), ) (a,)
a I a x1 x2
⒊可测函数的等价描述
⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则
f(x)在E上可测 ( 即(1) a R, E[ f a]可测)
(2)
a
R,
E[
f
可测
a]
(3)
a
R,
E[
f
可测
a]
(4)
a
R,
E[
f
a
可测
]
(5) a,b R, a b, E[a f b]可测(充分性要求 | f (x) | )
若m (E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立, 记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）
证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g]，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测 ， 另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ， 进一步g(x)在E=E1 ∪E2上也可测 。
⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。
若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。
(x) sup{fn (x)} (x) inf{ fn (x)}
lim sup
n
fn
(x)
inf n
sup{
mn
fm
(x)}
lim inf n
f
n
(
x)
s
upinf {
n mn
f
m
(
x)}
E[a] E n1 [ fn a]
若 0, 0, 使得f (O(x0 , ) E) O( f (x0 ), )
对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，f (x)在x0 (a,b)处连续
若 lim xx0
f
(x)
f
(x0 )
() ( ) ( )
即 0, 0,当| x x0 | 时，有| f (x) f (x0 ) | 即 0, 0,当x O(x0 , )时，有f (x) O( f (x0 ), )
对0
1,
有
lim
n
mE[|
f
n
f
|
]
lim m(n， )
n
所以{fn(x)}在R+上不依测度收敛于1，另外{fn}不几乎一致收敛于1
O(x,x ) )
E
G
E
故E[ f a] G E为可测集
⑷ R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。
证明：不妨设f单调增，对任意a∈R
令Ia inf{ x | f (x) a}
由f单调增知下面的集合为可测集
E { [ f a]
E [ I a ,) 当I a {x| f ( x)a} E ( I a ,) 当I a {x| f ( x)a}
n
n
下确界： inf S
(1)是数集S的下界，即 x S, x
(2)是数集S的最大下界， 即 0, x S,使得x
例： R1上的可微函数f(x)的导函数f `(x)是可测函数
gn(x)
证明：由于 f '(x) lim
f (x x) f (x) lim
f
(x
1 n
)
f
(x)
从而r Q, 使f (x) r a g(x)
即x
rQ
(
E[
f
r ]
E[ g ar ] )
a-g(x) r f(x)
从而E[ f ag ]
(
rQ
E[
f
r
]
E[gar] )
证明中利用了
Q是可数集和
反之
rQ(E[
f
r ]
E[ gar ] )
E[
f
也成立
a g ]
R中的稠密集 两个性质
从而E[
f ag]
E[a] E n1 [ fn a]
推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数 （连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。
对上式的说明：
(x) inf{ fn (x)}
E[a] E n1 [ fn a]
(
[
a-1/n a
比较：E[ f a ] E n1 [ f a 1 ] E n1 [ f a 1 ]
即O( x,x ) E E[ f a]
令G O xE[ f a] ( x,x )
f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a
则G为开集，当然为可测集，且
()
另外G
E
( xE[ f a ]
O(x,x ) )
E
(O xE[ f a]
( x,x )
E)
x０
E[
f
a]
反所之以E[
f
a]
( xE[ f a ]
依测度收敛
0,
有 lim n
mE[|
fn
f
|
]
0
0, 0, N 0, n N , 有mE[| fn f | ]
⒉几种收敛的区别 （1）处处收敛但不依测度收敛
fn(x) {10
x(0,n] x(n,)
n 1,2,
在R+上处处收敛于
f(x)=1
,
n
说明：当n越大，取1的点越多，故{fn(x)}在R+上处处收敛于1
E E [ f a]
n1
[
f
a
1 n
]
[a,)
(a
n1
1 n
,)
(
n1
E[
f
a
1 n
]
)
(
[a
n1
1 n
,)
)
(
[
a-1/n a
(
[
a
a+1/n
(a,)
[a
n1
1 n
,)
(
(a
n1
1 n
,)
)
E E [ f a]
n1
[
f
a
1 n
]
(
n1
E[
f
a
1 n
]
)
⒋可测函数的性质
⑴可测函数关于子集、并集的性质
1可测函数定义
定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取
)，
若 a R, E[ f a] 可测，则称f(x)是E上的可测函数
例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为0的集合为零集；零集的子 集，有限并，可数并仍为零集
(2)简单函数是可测函数
可测函数
a
R,
E[
f
可测
a]
n
若
E
注：从定义可看出，
几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零 测度集外）
依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要 点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷 而趋于零，而不论点集的位置状态如何
不依测度收敛
0,
使得mE[|
fn
f
|
不收敛于
]
0
0, 0, N 0, n N , 使得mE[| fn f | ]
i 1
Ei
(
Ei 可测且两两不交），f(x)在
每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简单函数；
n
f (x) ci Ei (x) i 1
(x) 1 xEi
Ei
0 xEEi
注：Dirichlet函数是简单函数
0
1
（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数
设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在x0 E 处连续
注：近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制
近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制
1 0.8
0.6 fn(x)=xn
0.4 0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 0.8
fn(x)=xn
0.6 0.4 0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1-δ
例：函数列
fn(x)=xn , n=1,2,… 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-δ,1),在留下的集合 上一致收敛
注：用到了可测函数关于子集、并集的性质
⑵可测函数类关于四则运算封闭
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,
则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)
仍为E上的可测函数。
a-g(x) r f(x)
证明：只要证 a
R, E[
f ga]
E[ f
可测，
在再利用lim n
f n和 lim n
f
是可测函数即可
n
注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.
⒌可测函数与简单函数的关系
M
M
m
m
| n ( x)
f
(x)
|
M m 2n1
M
m
n
0
n 2n 次等分
可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限
例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则 f( g(x))是可测函数。
⑶几乎处处收敛: 记作 fn f a.e.于E (almost everywhere）
E[ fn f ] 0
即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛
⑷几乎一致收敛:记作 fn f a.u.于E (almost uniformly)
即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛
0, 可测子集e E, me ,
证明：要证f( g(x))是可测函数，只要证对任意a， E[f g>a]={x| f( g(x))>a}可测即可,
{x| f( g(x))>a}= (f g)-1((a,+∞)) = g-1(f-1((a,+∞)))
f-1((a,+∞)) = i (ai ,bi )
g
1
(i (ai
,
bi
))