初三数学习题和答案

初三数学试卷及答案
一. 选择题（共12小题，第1、2小题每题3分，3~12小题每题4分，共46分） 在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。

请把正确结论的代号写在题后的括号内。

1. 点A （1，3）关于原点的对称点A ’的坐标为（ ） A. （3，1）
B. （1，-3）
C. （-1，3）
D. （-1，-3）
2. 函数y x =
-2中，自变量x 的取值范围为（ ）
A. x <2
B. x £2
C. x >2
D. x ³2 3. 如图所示，已知点A 在反比例函数的图象上，那么该反比例函数的解析式为（ ） A. y x =-9 B. y x =-9 C. 
y x =-1
D. y x =-
4. 方程x x 2
510++=的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根
D. 无法确定根的情况
5. 以下命题正确的是（ ） A. 圆的切线一定垂直于半径
B. 圆的内接平行四边形一定是正方形
C. 直角三角形的外心一定也是它的内心
D. 任意一个三角形的内心一定在这个三角形内
6. 一种药品经过两次降价，由每盒60元调至52元，若设平均每次降价的百分率为x ，则可列出关于x 的方程为（ ） A. 601252()-=x
B. 601522
()-=x C. 601522()+=x
D. 52160()+=2
x
7. 已知抛物线y x =
--13
43
2
()的部分图象如图所示，那么图象再次与x 轴相交时的坐
标为（ ）
A. （5，0）
B. （6，0）
C. （7，0）
D. （8，0）
8. 圆O 的半径为4cm ，圆P 的半径为1cm ，若圆P 与圆O 相切，则O 、P 两点的距离（ ）
A. 等于3cm 
B. 等于5cm 
C. 等于3cm 或5cm 
D. 介于3cm 与5cm 之间 9. 如图所示，直线MN 与△ABC 的外接圆相切于点A ，AC 平分ÐM A B ，如果AN=6，NB=4，那么弦AC 的长为（ ） A. 4
B. 5
C. 6
D. 9 
10. 圆O 1的半径为5，
圆O 2的半径为1，若O O 128
=，则这两圆的外公切线的长为（ ） A. 4 B. 42 C. 43
D. 6 11. 如图所示，在正方形网格中，角α、β、γ的大小关系是（ ） A. a b g >> B. a b g => C. a b g <=
D. a b g ==
12. 一次函数y ax a =++2的图象在-££21x 的一段都在x 轴的上方，那么a 的取值范围一定是（ ）
A. -<<10a
B. -<<<<3004a a 或
C. -<<12a
D. -<<<<1002a a 或
二. 填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）
13. 小明用计算器求得t a n
.225°的值约为0.4142，那么c o t .675°的值应为____________。

14. 方程x x 2
640-+=的两个实数根分别为
x x x x 121222、，那么+的值为
___________。

15. 如图所示，AB 和CD 为圆O 的两条直径，弦C E A B //，
EC Ç
的度数为40°，则ÐB O D 的度数为____________。

16. 据报载，2004年美国正、副总统的四位竞选人是历届角逐美国总统宝座最富有的一群候选人，2003年他们的家庭年收入与普通居民家庭年收入对比表如图所示，那么家庭年收入最高的竞选人是_________，他的家庭年收入比普通居民家庭年收入高出_________万美元。

17. 将二次函数y x x =-+2452
化成y a x h k =-+()2
的形式为_____________。

18. 如图所示，沿AC 方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B 取Ð==ABD BD 150600°，米，Ð=D 60°，当开挖点E 离D________米时，恰好使A 、C 、E 成一条直线。

三. （共3个小题，其中19、20小题各5分，21小题6分，共16分）
19. 用换元法解方程x x
x x 22222
3
-+
-=
20. 已知：如图所示，等腰三角形ABC 中，底边BC=12，sin B =
4
5，求出底边上的高
AD 的长。

A
B D C
21. （1）解方程组y x x y =++=ì
íî112
2
（2）已知：如图所示，圆O 的圆心为原点，半径为1，请在图中画出一次函数y x =+1的图象，并写出它与圆O 的交点坐标（无需过程）；
y 
1 
x O 1 
（3）你能发现（1）中方程组的解与（2）中交点坐标之间的关系吗？请写出你的发现，
不用说明理由。

四. （本题满分6分）
22. 已知：如图所示，△ABC 的AB 边上一点D 满足AB=3AD ，点P 在△ABC 的外接圆
上，Ð=ÐD A DP
P C 。

（1）求证：P A A D A B 2=·； （2）求P B
P D 的值。

五. （本题满分6分）
23. 已知：如图1所示，圆O的半径为1，线段AB为圆O的直径，P为圆O上一点，记ÐP O B为α（α为锐角），P C A B
^于C，当α=60°、45°时，图2、图3中PC、OC、tanÐP A B的值分别见下表。

请根据图4、图1将表中空白处填写完整。

图1 图2 
图3 图4 
αP C的值O C的值tanÐPA B的值
α=60°
3
2
1
2
tan tan
Ð==
P A B30
3
3
°
α=45°
2
2
2
2
tan tan.
Ð==-
P A B22521
°
α=30°______ ______ tan tan
Ð==
P A B15°
α______ ______ tan tan
Ð==
P A B
六. （本题满分6分）
24. 物理实验过程：如图1所示，用小锤以初始速度v0击打弹性金属片，不考虑空气阻力时，小球做平抛运动。

用频闪照相的方法观测到小球在下落过程中的几个位置（如图2所示），
用平滑曲线把这些位置连起来，就得到平抛运动的轨迹（如图3所示）
小锤
弹性金属片
O 20 40 60 
x （米） 5 20 
45 
y （米）
图1 图2 图3 
数学问题：在图3中，以小球击出的水平方向为x 轴正方向，竖直向下方向为y 轴正方
向，小球击出点为原点建立直角坐标系，得到小球的位置坐标（x ，y ），（x>0，y>0）由物理知识可得到x （米），y （米）与时间t （秒）的关系如下：
x v t y gt ==02
1122()
()
已知实验观测到3个时刻小球的位置坐标如下表：
t （秒） 1 2 3 … x （米） 20 40 60 … y （米） 5 
20 
45 
…
（1）确定v 0和g 的值；
（2）写出在图3的坐标系中，y 与x 之间的函数关系式；
（3）问：当小球在竖直方向下落80米时，它在水平方向前进了多少米？
七. （本题满分7分）
25. 如图所示，Ð=A C B 30°，D 为CB 上一点，C D =3，O D B C ^于D ，交CA 于O ，以O 为圆心，OD 为半径的圆分别交CA 于点E 、F ，P 为线段CF 上一点（点P 不与点C 、E 重合），过P 作PQ AC ^于P ，交CB 于Q ，设CP=x ，四边形DEPQ 的面积为y 。

（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）若四边形DEPQ 的面积是△CDE 面积的5倍，判断此时△DPQ 的形状，并说明理由。

八. （本题满分7分）
26. 如图所示，直线y x =-+
333
与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线BC 交x
轴于D ，交△ABO 的外接圆圆M 于C ，已知Ð=ÐC O D O B C 。

（1）求证：M C O A ^； （2）求直线BC 的解析式。

九. （本题满分8分）
27. 已知抛物线y x m x m =++++22211()与x 轴的两个交点分别为A （x 1，0）、B （x 2，0），点A 在点B 左侧，抛物线与y 轴的交点为C 。

（1）用含m 的代数式表示OA+OB-OC 的值；
（2）若OC=OA=2OB ，求出此时抛物线的解析式。

【试题答案】
北京市西城区2005年抽样测试
初三数学评分参考
一. 选择题（共12小题，第1、2小题每题3分，3~12小题每题4分，共46分） 1. D 
2. B
3. A
4. A 
5. D 
6. B
7. C
8. C 
9. B 10. C 
11. B 
12. D 
二. 填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 0.4142 14. 28 15. 110°
16. 克里，545.26 
17. y x =-+2132
()
18. 300 
三. （共3个小题，其中19、20小题各5分，21小题6分，共16分）
19. 解：设
x x y
2
2-=，则原方程化为
y y +=2
3 1分
整理，得y y 2
320-+= 解得：y y
1212==，
2分
当y =1时，
x x
22
1
-=
整理，得x x 2
20--= 解得：x x
1212=-=，
3分
当y =2时，
x x
22
2
-=
整理，得x x 2
220--= 解得
x x 341313=
+=-
，
4分
经检验，x x x x 1234121313=-==+=-，，，是原方程的解。

∴原方程的解为x x x x
12
34121313=-==+=-，，，
5分
20. 解：∵等腰三角形ABC 中，AD BC D BC ^=于，12
\=====\===\==\=\==B D D C B C
R t A B D B A D A B A D k A B k B D k B D k k A D k 2
6
14
5
24533362
448
5分中，分
设，，则分
分分 D sin
21. 解：（1）y x x y =++
=ìíî111
222()()
把（1）代入（2），整理，
得x x 2
0+=
1分
解得x x
1210=-=，
把x 11=-代入（1），得y 10=
把x y 22
011
==代入（），得
所以原方程组的解是x y x y 11
22100
1=-=ìí
î==ìíî， 3分
（2）见下图
4
分
答：交点坐标为（-1，0）、（0，1）
5分
（3）答：（1）中方程组的解就是（2）中交点的坐标。

6分
注：教师讲评此题时，可简单解释： ①设点P x y ()，，则
O P x y =+22
，所以x y 22
1+=表示的图形是以圆心为原点，半径为1的圆；
②类比“两条直线的交点坐标就是它们的解析式组成方程组的解”，发现：“直线与圆的交点坐标就是它们的解析式组成方程组的解”。

不做证明要求。

四. （本题满分6分）
22. （1）证： Ð=ÐÐ=ÐAPB C A D P C ，
\Ð=ÐÐ=Ð\~\==A P B A D P
B A P P A D A P B A D P P A
D A B A P A P B
D P 又分
D D 2
\=P A A D A B
2
4·分
（2）解： P A A D A B A B A D 2
3==·，
\=\=
P A A D
P A A D
2
2335分
\==P B P D P A A D 36分
五. （本题满分6分）
23. 解：
a PC 的值
OC 的值
tan ÐP A B 的值
a =30°
12
32
tan tan Ð==-
PAB 1523°
a
sin a
cos a
tan tan
sin cos Ð==
+P A B a
a a
2
1
注：a =30°时，P C O C =
=
12
3
2、共1分，其余各空每空1分。

六. （本题满分6分）
24. 解：（1） t x ==120时，，
\===\=v t y g
020
11510
2分时，分 说明：若选用t =2或t =3计算同样给分。

（2） x t y t
==2052
①
②
由①得
t x =
20
③
把③代入②，得y x =
2
80
4分
（3）当y =80时，x y
==´=80808080
5分 答：当小球在竖直方向下落80米时，它在水平方向前进了80米。

6分
七. （本题满分7分）
25. （1） R t C O D O C D C D D 中，°，Ð==
303
\=×=´
======-=^=×=Ð==O D C D C O O E O D O F C E C O O E D G C A G D G C D R t C P Q P C Q C P x
tan sin 30333
1211303
230°，，作于，则°中，°， D
\=×=P Q C P x tan 3033°
①当点P 在线段CE 上时， ∵点P 不与点C 、E 重合，
\<<0C P C E
y S S S C E D G C P P Q x x D E P Q C D E C P Q
==-=´´-´´=´´-××四边形D D 1
2121
2132
1233 =-+<<3
63
4012x x ()
2分
②当点P 在线段EF 上时
∵点P 不与点E 重合
\<£C E C P C F
y S S S C P P Q C E D G x x D E P Q C P Q C D E
==-=
´´-´´=
××-´´四边形D D 121212331
2132 =-<£3634132x x ()
4分 \=-
+<<=-<£y x x y x x 3634013
6341322()()或
（2） S
S S D E P Q C D E C D E 四边形=>5D D
\点P 在线段EF 上，
S x D E P Q 四边形=-363
42 5分
\-=´36345342x 整理，得x 29=，解得x =±3（舍负）
x =3在13<£x 的范围内，
\=x 3
此时点P 与点F 重合，PQ 与圆O 相切
6分
O D C B D D O C B O D
Q D Q P
C Q P
D P Q ^\\=Ð=\于，在圆上
切圆于°
为等边三角形分607
D
注：（1）“点P 在线段CE 上”和“点P 在线段EF 上”的两种情况独立给分，不考虑顺序；
（2）第（2）问未说明“点P 在线段EF 上”的合理性的，扣去1分。

八. （本题满分7分）
26. （1）证： Ð=ÐÐ=ÐCOD OBC COD ABC ，
\Ð=Ð\Ç=Ç\^O B C A B C
O C C A M C M M C O A 分
为圆的半径，
分23
（2）解： A B （，），（，）3003 \==\Ð==O A O B O A B O A
O B 33
3，cot
\Ð=O A B 30° 4分
\Ð=Ð==×=´=O B C A B C O D O B 30303331°，°tan ∴D （1，0） 5分
设直线BC 的解析式为y kx b =+
由B D ()()0310，、，可得b k b =+=ìí
î30，
解得k b =-=ìíïîï3
3
∴直线BC 的解析式为y x =-+33 7分
九. （本题满分8分）
27. 
解：（1）D =->>4303
4m m ， 1分
x x m
1221+=-+()①
x x
m 122
10×=+>② 2分
而当m >3
4时，x x
120+<
∴x
x
12、均为负数，点A 与B 在x 轴负半轴上 3分
∵点C 的坐标为（0，m 21+），m 2
10+>
∴点C 在y 轴正半轴上。

4分
\=-=-=+
O A x O B x O C m 122
1，， \+-=---+=+-+=-+O A O B O C x x m m m m m
12222
12112()() 5分
m m 2213213-+-，。