2020年河南省郑州市高考(理科)数学二模试卷 含解析

2020年高考数学二模试卷（理科）
一、选择题.
1．已知集合A ＝{x |a +1≤x ≤3a ﹣5}，B ＝{x |3＜x ＜22}，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，9] B ．（﹣∞，9）
C ．[2，9]
D ．（2，9）
2．已知复数z =2+i i
2（其中i 是虚数单位，满足i 2
＝﹣1）则z 的共轭复数是（ ） A ．1﹣2i
B ．1+2i
C ．﹣2+i
D ．﹣1+2i
3．郑州市2019年各月的平均气温（°C ）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（ ）
A ．20
B ．21
C ．20.5
D ．23
4．圆（x +2）2+（y ﹣12）2＝4关于直线x ﹣y +8＝0对称的圆的方程为（ ） A ．（x +3）2+（y +2）2＝4 B ．（x +4）2+（y ﹣6）2＝4 C ．（x ﹣4）2+（y ﹣6）2＝4
D ．（x +6）2+（y +4）2＝4
5．在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（ ） A ．30米
B ．20米
C ．15√2米
D ．15米
6．若α∈（π2
，π），则2cos2α＝sin （π4
−α），则sin2α的值为（ ） A ．1
8
B ．−7
8
C ．1
D ．7
8
7．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（ ）
A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）8．为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等•劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积，s
为△OKL的面积．将Gini=a
S，称为基尼系数对于下列说法：
①Gini越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有f(x)
x
＞1；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），则Gini=1
4；
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），则Gini=1
2．其中不正确的是（）
A．①④B．②③C．①③④D．①②④9．2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意
次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（）
A．96B．84C．120D．360
10．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n为数列{a n}的
前n项和，则2S n+16
a n+3
的最小值为（）
A．4B．3C．2√3−2D．2
11．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）
A．√6πB．2πC．6πD．24π
12．过双曲线x2
a2
−
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=−
b
a
x的垂线，垂足为A，
交双曲线左支于B点，若FB→=2FA→，则该双曲线的离心率为（）A．√3B．2C．√5D．√7二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13．二项式（x+2
x）
6展开的所有项的系数和为，展开式中的常数项是．
14．已知函数f（x）=−π
2x，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]且x≠0时，方程f
（x）＝g（x）根的个数是．
15．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°．AD＝l，BC＝2，M是AB边上的动点，则|MC→+MD→|的最小值为．
16．设函数y={−x3+x2，x＜e
lnx
m，x≥e
的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点
的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范围是．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共60分
17．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，S 7＝77，且满足a 112＝a 1•a 61． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足
1b n+1
−
1b n
=a n (n ∈N ∗)，且b 1=1
3
，求数列{b n }的前n 项和T n ．
18．由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．
（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？
（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．
附：K 2
=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
；其中n ＝a +b +c +d 独立性检验临界表： P （K 2＞k 0）
0.100 0.050 0.010 K
2.706
3.841
6.635
19．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将△ACD 折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．
（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ； （2）当
AB AD
=2时，求二面角D ﹣AC ﹣B 的余弦值．
20．在平面直角坐标系xOy 内，动点A 到定点F （3，0）的距离与A 到定直线x ＝4距离之比为
√32
． （Ⅰ）求动点A 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设点M ，N 是轨迹C 上两个动点直线OM ，ON 与轨迹C 的另一交点分别为P ，Q ，且直线OM ，ON 的斜率之积等于−14
，问四边形MNPQ 的面积S 是否为定值？请说明理由．
21．已知函数f(x)=
lnx a ，g(x)=x+1
x
(x ＞0)． （Ⅰ）当a ＝1时，求曲线y =
f(x)
x
在x ＝1处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数F （x ）=f(x)−1g(x)在（0，十∞）上的单调性．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a sin θ （a ＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为{x =3t +1
y =4t +3（t 为参数）．
（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且|AB|≥√3a ．求实数a 的取值范围？ [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣a |x ﹣l |． （Ⅰ）当a ＝﹣2时，解不等式f （x ）＞5； （Ⅱ）若（x ）≤a |x +3|，求a 的最小值．
参考答案
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A ＝{x |a +1≤x ≤3a ﹣5}，B ＝{x |3＜x ＜22}，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，9]
B ．（﹣∞，9）
C ．[2，9]
D ．（2，9）
【分析】根据A ∩B ＝A 可得出A ⊆B ，从而可讨论A 是否为空集：A ＝∅时，a +1＞3a ﹣5；A ≠∅时，{a +1≤3a −5
a +1＞33a −5＜22，解出a 的范围即可．
解：∵A ∩B ＝A ，
∴A ⊆B ，且A ＝{x |a +1≤x ≤3a ﹣5}，B ＝{x |3＜x ＜22}， ∴①A ＝∅时，a +1＞3a ﹣5，解得a ＜3； ②A ≠∅时，{a ≥3
a +1＞33a −5＜22，解得3≤a ＜9，
∴综上得，实数a 的取值范围是（﹣∞，9）． 故选：B ． 2．已知复数z =2+i i
2（其中i 是虚数单位，满足i 2
＝﹣1）则z 的共轭复数是（ ） A ．1﹣2i
B ．1+2i
C ．﹣2+i
D ．﹣1+2i
【分析】利用复数的运算法则化简z ，再根据共轭复数的定义即可得出． 解：复数z =2+i
i
2=−2﹣i ，则z 的共轭复数是﹣2+i ． 故选：C ．
3．郑州市2019年各月的平均气温（°C ）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（ ）
A ．20
B ．21
C ．20.5
D ．23
【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可． 解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：
1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34， 所以中位数是1
2×（20+21）＝20.5．
故选：C ．
4．圆（x +2）2+（y ﹣12）2＝4关于直线x ﹣y +8＝0对称的圆的方程为（ ） A ．（x +3）2+（y +2）2＝4 B ．（x +4）2+（y ﹣6）2＝4 C ．（x ﹣4）2+（y ﹣6）2＝4
D ．（x +6）2+（y +4）2＝4
【分析】一个圆关于直线对称的圆是圆心坐标关于直线对称，半径相等，求出已知圆的圆心坐标及半径，设所求的圆的圆心，可得两个圆心的中垂线为已知直线，进而求出所求的圆心坐标，进而求出圆的方程．
解：由圆（x +2）2+（y ﹣12）2＝4可得圆心坐标（﹣2，12），半径为2，
由题意可得关于直线x ﹣y +8＝0对称的圆的圆心与（﹣2，12）关于直线对称，半径为2，
设所求的圆心为（a ，b ）则{a−22−b+12
2+8=0b−12a+2
=−1解得：a ＝4，b ＝6， 故圆的方程为：（x ﹣4）2+（y ﹣6）2＝4， 故选：C ．
5．在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（ ） A ．30米
B ．20米
C ．15√2米
D ．15米
【分析】如图所示，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD ＝90°．△OAB 为等边三角形，可得OA ＝30，利用等腰直角三角形的性质即可得出．
解：如图所示，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD ＝90°．
△OAB 为等边三角形，∴OA ＝30， ∵OP ⊥平面ABCDEF ， ∴∠OAP ＝45°， ∴OP ＝OA ＝30．
要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30m ．
故选：A ．
6．若α∈（π2
，π），则2cos2α＝sin （π
4
−α），则sin2α的值为（ ）
A ．1
8
B ．−78
C ．1
D ．7
8
【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cos α﹣sin α，或 cos α+sin α的值，由此求得sin2α的值．
解：法1：∵α∈（π2
，π），且2cos2α＝sin （π
4
−α），
∴2（cos 2α﹣sin 2α）=√
22
（sin α﹣cos α），
∴cos α+sin α=−√
24，或 cos α﹣sin α＝0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．
∵cos α+sin α=−√24
，则有1+sin2α=18，sin2α=−7
8
；
故选：B ．
法2：∵α∈（π
2，π），
∴2α∈（π，2π）， ∴sin2α＜0， 综合选项，故选：B ．
7．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（ ）
A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．
解：根据结果，
3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，
解之得2＜x≤4，
故选：B．
8．为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等•劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积，s
为△OKL的面积．将Gini=a
S，称为基尼系数对于下列说法：
①Gini越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有f(x)
x
＞1；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），则Gini=1
4；
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），则Gini=1
2．其中不正确的是（）
A ．①④
B ．②③
C ．①③④
D ．①②④
【分析】可由当Gini =a
S ，则a 越小，不平等区域越小，越公平，进行判断①， f （x ）＜x ，则对∀x ∈（0，1），均有f(x)x
＜1，可由判断②，
先积分求a ，再求Gini ，判断③④
解：①：由题意知A 为不平等区域，a 表示其面积，s 为△OKL 的面积．当Gini =a
S ，则a 越小，不平等区域越小，越公平，①对， ②：由图可知f （x ）＜x ，则对∀x ∈（0，1），均有
f(x)x
＜1，②错；
③：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y ＝x 2（x ∈[0，1]），a =∫ 1
0(x −x 2)dx =(1
2
x 2−
13x 3)|01=1
6
，Gini =1
612=13，③错， ④：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y ＝x 3（x ∈[0，1]），a =∫ 1
0(x −x 3)dx =(1
2
x 2−
14x 4)|01=14
，Gini =1
4
12=12，④对， 故选：B ．
9．2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ） A ．96
B ．84
C ．120
D ．360
【分析】根据题意，由排除法分析：先计算将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行的排法数目，排除其中“0”在首位和数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前中重复的情况数目，分析可得答案．
解：根据题意，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，“10”是一个整体，有A 55＝120种情况，
其中数字“0”在首位的情况有：A 44＝24种情况，
数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前的排法有：A 44＝24种， 则可以产生：120﹣24﹣24+12＝84种， 故选：B ．
10．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n +16a n +3
的最小值为（ ） A ．4
B ．3
C ．2√3−2
D ．2
【分析】a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1＝1，可得：a 32＝a 1a 13，即（1+2d ）2＝1+12d ，d ≠0，解得d ．可得a n ，S n ．代入2S n +16a n +3
利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的
最小值．
解：∵a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1＝1， ∴a 32＝a 1a 13，
∴（1+2d ）2＝1+12d ，d ≠0， 解得d ＝2．
∴a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1． S n ＝n +n(n−1)2
×2＝n 2．
∴
2S n +16a n +3
=
2n 2+162n+2
=
(n+1)2−2(n+1)+9
n+1
=n +1+9
n+1−2≥2√(n +1)×
9n+1
−2＝4， 当且仅当n +1=9
n+1时取等号，此时n ＝2，且2S n +16a n +3
取到最小值4， 故选：A ．
11．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．√6π
B ．2π
C ．6π
D ．24π
【分析】由题意，PB 为球的直径，求出PB ，可得球的半径，即可求出球的表面积． 解：如图所示，该几何体为四棱锥P ﹣ABCD ．底面ABCD 为矩形，
其中PD ⊥底面ABCD ． AB ＝1，AD ＝2，PD ＝1．
则该阳马的外接球的直径为PB =√1+1+4=√6．
∴该阳马的外接球的表面积为：4π×(√
62
)2=6π．
故选：C ．
12．过双曲线
x 2a 2
−
y 2b 2
=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作直线y =−b
a x 的垂线，垂足为A ，
交双曲线左支于B 点，若FB →
=2FA →
，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√3
B ．2
C ．√5
D ．√7
【分析】根据题意直线AB 的方程为y =a
b （x ﹣
c ）代入双曲线渐近线方程，求出A 的坐标，进而求得B 的表达式，代入双曲线方程整理求得a 和c 的关系式，进而求得离心率．
解：设F （c ，0），则直线AB 的方程为y =a
b （x ﹣
c ）代入双曲线渐近线方程y =−b a
x
得A （
a 2c
，−
ab
c
）， 由FB →=2FA →，可得B （−c 2+2a 23c
，−2ab
3c ），
把B 点坐标代入双曲线方程x 2a 2
−
y 2b 2
=1，
即
(c 2+2a 2)29c 2a 2
−
4a 29c 2
=1，整理可得c =√5a ，
即离心率e =c
a =√5． 故选：C ．
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13．二项式（x +2
x
）6展开的所有项的系数和为 729 ，展开式中的常数项是 160 ． 【分析】令x ＝1得所有项的系数和，然后求出通项公式，结合常数项的条件进行求解即可．
解：令x＝1得所有项的系数和为（1+2）6＝36＝729，
通项公式T k+1＝C6k x6﹣k•（2
x
）k＝C6k•2k•x6﹣2k，k＝0，1， (6)
令6﹣2k＝0得k＝3，
即常数项为T4＝C63•23＝20×8＝160，
故答案为：729，160
14．已知函数f（x）=−π
2x，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]且x≠0时，方程f
（x）＝g（x）根的个数是8．
【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g （4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．
解：g′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x；
令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．
∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；
且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g（4π）＝4π
故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，
结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；
又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，
∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故f（x）＝g（x）有8个零点．
故答案为：8．
15．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°．AD＝l，BC＝2，M是AB边上的动点，则|MC→+MD→|的最小值为3．
【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，求出向量MC→+MD→的模长表达式，再求最小值．
解：建立平面直角坐标系，如图所示，
设A（0，a），M（0，b），且0≤b≤a；
则C（2，0），D（1，a）；
所以MC→=（2，﹣b），MD→=（1，a﹣b）；
所以MC→+MD→=（3，a﹣2b），
所以(MC→+MD→)2=9+（a﹣2b）2，
当且仅当a﹣2b＝0，即a＝2b时，
|MC→+MD→|取得最小值为√9=3．
故答案为：3．
16．设函数y={−x3+x2，x＜e
lnx
m，x≥e
的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点
的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范围是[e+1，+∞）．
【分析】曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）＝（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到m的范围．
解：假设曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．
不妨设P （t ，f （t ））（t ＞0），则Q （﹣t ，t 3+t 2）， ∵△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形， ∴OP →
⋅OQ →
=0，即﹣t 2+f （t ）（t 3+t 2）＝0 ①．
若方程①有解，存在满足题设要求的两点P 、Q ；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点P 、Q ．
若0＜t ＜e ，则f （t ）＝﹣t 3+t 2代入①式得：﹣t 2+（﹣t 3+t 2）（t 3+t 2）＝0， 即t 4﹣t 2+1＝0，而此方程无解，因此t ≥e ，此时f （t ）=1
m
lnt ， 代入①式得：﹣t 2+（1
m lnt ）（t 3+t 2）＝0，
即m ＝（t +1）lnt ②，令h （x ）＝（x +1）lnx （x ≥e ）， 则h ′（x ）＝lnx +1+1
x ＞0，∴h （x ）在[e ，+∞）上单调递增，
∵t ≥e ，∴h （t ）≥h （e ）＝e +1，∴h （t ）的取值范围是[e +1，+∞）． ∴对于m ≥e +1，方程②总有解，即方程①总有解． 故答案为：[e +1，+∞）．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分
17．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，S 7＝77，且满足a 112＝a 1•a 61． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足
1b n+1−
1b n
=a n (n ∈N ∗)，且b 1=1
3
，求数列{b n }的前n 项和T n ．
【分析】本题第（Ⅰ）题先设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），然后根据题干可列出关于首项a 1与公差d 的方程组，解出a 1与d 的值，即可计算出数列{a n }的通项公式； 第（Ⅱ）题由题干
1b n+1
−
1b n
=a n 可得
1
b n
−
1b n−1
=a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)．根据递推
公式的特点可用累加法计算出数列{1b n
}的通项公式，接着计算出数列{b n }的通项公式，然
后运用裂项相消法计算前n 项和T n ．
解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则 {7a 1+21d =77，a 1(a 1+60d)=(a 1+10d)2，
解得{a 1=5
d =2．
∴a n ＝5+2•（n ﹣1）＝2n +3，n ∈N*． （Ⅱ）依题意，由1b n+1
−
1b n
=a n ，可得
1b n
−
1b n−1=a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)． 则当n ≥2时，1b n =(1b n
−1b n−1
)+(
1
b n−1
−1b n−2
)+⋯+(
1b 2
−
1b 1
)+
1b 1
=a n−1+
a n−2+⋯+a 1+
1b 1
＝（n ﹣1）（n ﹣2+5）+3 ＝n （n +2）．
当n ＝1时，b 1=1
3，即1
b 1=3也满足上式，
∴
1b n
=n （n +2），
∴b n =1
n(n+2)=1
2（1
n
−
1
n+2
），n ∈N*．
T n ＝b 1+b 2+b 3+b 4+…+b n ﹣1+b n
=1
2（1−1
3）+12（1
2−1
4）+12（1
3−1
5）+12（1
4−1
6）+⋯+1
2（1
n−1−1
n+1）+12（1
n −1
n+2） =1
2（1−1
3+1
2−1
4+1
3−1
5+1
4−1
6+⋯+1
n−1−1
n+1+1
n −1
n+2） =1
2（1+1
2−1
n+1−1
n+2） =3n 2+5n 4(n+1)(n+2)．
18．由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．
（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？
（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期
望．
附：K 2
=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
；其中n ＝a +b +c +d 独立性检验临界表： P （K 2＞k 0）
0.100 0.050 0.010 K
2.706
3.841
6.635
【分析】（I ）作出2×2列联表，求出k 2≈1.83＜2.706，从而没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．
（Ⅱ） 用A 表示“至少有1人在青春组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在青春组的概率．
（III ）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为
1230
=25
，从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是2
5
，ξ服从二
项分布B(4，25
)．由此能求出ξ的分布列、数学期望． 解：（I ）作出2×2列联表：
青春组 风华组 合计 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合计
12
18
30
由列联表数据代入公式得K 2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
≈1.83， 因为1.83＜2.706，
故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关． （Ⅱ） 用A 表示“至少有1人在青春组”， 则至少有1人在青春组的概率为p(A)=1−
C 32
C 5
2=7
10．
（III ）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为
1230
=2
5
，
那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是25
，
又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是ξ服从二项分布B(4，2
5
)．
ξ的取值为0，1，2，3，4．且P(ξ=k)=C 4k (25)k (1−2
5)
4−k ，k =0，1，2，3，4． 所以得ξ的分布列为：
ξ 0
1
2
3
4
P
81625
216625
216625
96625
16625
数学期望Eξ=4×2
5=8
5
．
19．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将△ACD 折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．
（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ； （2）当
AB AD
=2时，求二面角D ﹣AC ﹣B 的余弦值．
【分析】（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连结DE 推导出DE ⊥BC ，AB ⊥BC ，从而BC ⊥平面ABD ，进而BC ⊥AD ，又AD ⊥CD ，从而AD ⊥平面BCD ，由此能证明平面ACD ⊥平面BCD ．
（2）过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连结ME ，则DE ⊥AC ，AC ⊥平面DME ，EM ⊥AC ，从而∠DMC 是二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角，由此能求出二面角D ﹣AC ﹣B 的余弦值．
【解答】证明：（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连结DE ， 则DE ⊥平面ABC ，∴DE ⊥BC ， ∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB ⊥BC ，
∴BC ⊥平面ABD ，∴BC ⊥AD ， 又AD ⊥CD ，∴AD ⊥平面BCD ，
而AD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BCD ．
解：（2）在矩形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连结ME ， ∵DE ⊥平面ABC ，∴DE ⊥AC ，
又DM ∩DE ＝D ，∴AC ⊥平面DME ，∴EM ⊥AC ， ∴∠DMC 是二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角， 设AD ＝a ，则AB ＝2a ，
在△ADC 中，由题意得AM =√55a ，DM =2√
55
a ，
在△AEM 中，
EM AM
=tan∠BAC =1
2
，
解得EM =√
510
a ，
∴cos ∠DME =
EM DM =1
4
． ∴二面角D ﹣AC ﹣B 的余弦值为14
．
20．在平面直角坐标系xOy 内，动点A 到定点F （3，0）的距离与A 到定直线x ＝4距离之比为√3
2．
（Ⅰ）求动点A 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设点M ，N 是轨迹C 上两个动点直线OM ，ON 与轨迹C 的另一交点分别为P ，Q ，且直线OM ，ON 的斜率之积等于−1
4
，问四边形MNPQ 的面积S 是否为定值？请说明理由．
【分析】（I ）先设A 的坐标，然后根据题意列出方程，进行化简即可求解A 的轨迹方程；
（II ）由已知结合直线的斜率公式进行化简，然后结合三角形的面积公式及已知椭圆的性质可求．
【解答】解（I ）设A （x ，y ），由题意，√(x−3)2+y 2
|x−4|
=
√32
， 化简得x 2+4y 2＝12，
所以，动点A 的轨迹C 的方程为
x 212
+
y 23
=1，
（Ⅱ）解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由斜率之积，得y 1y 2x 1x 2
=−1
4
，
|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2，因为点M ，N 在椭圆C 上，
所以y 12
=3−x 12
4，y 22=3−x 22
4
． 所以(x 1x 2)2=16(y 1y 2)2=（3−x 124
）（3−x 22
4
），
化简得x 12+x 22
=12．
直线AB 的方程为（y 2﹣y 1）x ﹣（x 2﹣x 1）y +x 2y 1﹣x 1y 2＝0， 原点O 到直线MN 的距离为d =1221√(x
2−x 1)2
+(y 2−y 1)
2．
所以，△MON 的面积S △AOB =
12⋅|AB|⋅d =1
2|x 1y 2
−x 2y 1|， 根据椭圆的对称性，四边形MNPQ 的面积S ＝2|x 1y 2﹣x 2y 1|，
所以，S 2=4(x 1y 2−x 2y 1)2=4(x 12y 22−2x 1x 2y 1y 2+x 22y 12
)，
＝4[x 12(3−x 224
)+x 22(3−x 12
4
)−+12
(x 1x 2)2]，
=12(x 12+x 22)=144，所以S ＝12．
所以，四边形MNPQ 的面积为定值12． 21．已知函数f(x)=
lnx a ，g(x)=x+1
x
(x ＞0)． （Ⅰ）当a ＝1时，求曲线y =
f(x)
x
在x ＝1处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数F （x ）=f(x)−1
g(x)在（0，十∞）上的单调性．
【分析】（I ）把a ＝1代入后对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程．
（II ）先对F （x ）求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性．
解：（Ⅰ）当a ＝1时，曲线y =f(x)⋅g(x)=
xlnx x+1．y′=(1+lnx)(x+1)−xlnx (x+1)2=lnx+x+1
(x+1)
2． x ＝1时，切线的斜率为12
，又切线过点（1，0）
所以切线方程为x ﹣2y ﹣1＝0，
（Ⅱ）f′(x)=1ax ，(1g(x))′=1(x+1)2，F′(x)=f′(x)−(1g(x))′=1ax −1(x+1)2=(x+1)2−ax
ax(x+1)2，
当a ＜0时，F '（x ）＜0，函数F （x ）在（0，+∞）上单调递减；
当a ＞0时，令k(x)=1a x 2+(2a −1)x +1a ，△=1−4a ，
当△≤0时，即0＜a ≤4，k （x ）≥0，此时F '（x ）≥0，函数F （x ）在（0，+∞）上单调递增；
当△＞0时，即a ＞4，方程1a x 2+(2a −1)x +1a =0有两个不等实根x 1＜x 2，
所以0＜x 1＜1＜x 2，(x 1=a−2−√a 2−4a 2，x 2=a−2+√a 2−4a 2
) 此时，函数F （x ）在（0，x 1），（x 2，+∞）上单调递增；在（x 1，x 2）上单调递减． 综上所述，当a ＜0时，F （x ）的单减区间是（0，+∞）；
当a ＞4时，F （x ）的单减区间是(a−2−√a 2−4a 2，a−2+√a 2−4a 2
)，单增区间是(0，a−2−√a 2−4a 2)，(a−2+√a 2−4a 2
，+∞) 当0＜a ≤4时，F （x ）单增区间是（0，+∞）．
一、选择题
22．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a sin θ （a ＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x 轴
的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为{x =3t +1y =4t +3
（t 为参数）． （Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；
（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且|AB|≥√3a ．求实数a 的取值范围？
【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C 的标准方程，消去参数即可求直线l 的普通方程；
（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．
解：（Ⅰ）∵ρ＝2a sin θ （a ＞0）．
∴ρ2＝2a ρsin θ，
即x 2+y 2＝2ay ，即x 2+（y ﹣a ）2＝a 2，（a ＞0）．
则圆C 的标准方程为x 2+（y ﹣a ）2＝a 2，（a ＞0）．
由{x =3t +1y =4t +3
，消去参数t 得4x ﹣3y +5＝0， 即直线l 的普通方程为4x ﹣3y +5＝0；
（Ⅱ）由圆的方程得圆心C （0，a ），半径R ＝a ，
则圆心到直线的距离d =√3+4=|5−3a|5， ∵|AB|≥√3a ． ∴2√a 2−d 2≥√3a ，
即a 2﹣d 2≥34
a 2， 则d 2≤a 24， 即d ≤a 2， 则|5−3a|
5
≤a 2， 则−a 2≤
3a−55≤a 2， 由{−a 2≤3a−553a−55≤a 2得{a ≥1011a ≤10得1011≤a ≤10． 即实数a 的取值范围是
1011≤a ≤10．
[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣a |x ﹣l |．
（Ⅰ）当a ＝﹣2时，解不等式f （x ）＞5；
（Ⅱ）若（x ）≤a |x +3|，求a 的最小值．
【分析】（Ⅰ）将a ＝2代入f （x ），表示出f （x ）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为|x+1|
|x−1|+|x+3|≤1
2，求出a 的最小值即可． 解：（Ⅰ）当a ＝﹣2时，f （x ）={1−3x ，x ＜−1
3−x ，−1≤x ≤13x −1，x ＞1
，
由f （x ）的单调性及f （−43
）＝f （2）＝5，
得f （x ）＞5的解集为{x |x ＜−43，或x ＞2}．…
（Ⅱ）由f （x ）≤a |x +3|得a ≥|x+1||x−1|+|x+3|，
由|x ﹣1|+|x +3|≥2|x +1|得|x+1||x−1|+|x+3|≤12，得a ≥12
． （当且仅当x ≥1或x ≤﹣3时等号成立） 故a 的最小值为12．。