2021-2022学年辽宁省鞍山市台安县九年级(上)素质评价数学试卷-附答案详解

2021-2022学年辽宁省鞍山市台安县九年级（上）素质评
价数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.函数y=−1
5x2−2
5
x−51
5
的最大值是()
A. −1
5B. 51
5
C. −5
D. −51
5
2.将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是−6，常
数项是1的方程是()
A. 3x2+1=6x
B. 3x2−1=6x
C. 3x2+6x=1
D. 3x2−6x=1
3.用配方法解方程x2−6x+5=0，配方的结果是()
A. (x−3)2=1
B. (x−3)2=−1
C. (x+3)2=4
D. (x−3)2=4
4.将抛物线y=2x2−4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后抛物
线的函数表达式为()
A. y=2(x+2)2+1
B. y=2(x−4)2+1
C. y=2(x+2)2−3
D. y=2(x−4)2−3
5.已知关于x的一元二次方程x2−mnx+m+n=0，其中m，n在数轴上的对应点如
图所示，则这个方程的根的情况是()
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
6.定义运算：m☆n=mn2−mn−1.例如：4☆2=4×22−4×2−1=
7.若关于x的
方程5☆x=6−4x，则代数式3−2x+10x2的值为()
A. −11
B. 10
C. 11
D. 17
7.已知抛物线y=−x2−2x−3过A(−2,y1)，B(−3,y2)，C(2,y3)三点，则y1、y2、y3
大小关系是()
A. y1>y2>y3
B. y2>y1>y3
C. y1>y3>y2
D. y3>y2>y1
8.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−3,0)，
其对称轴为直线x=−1，有下列结论：①abc<0；②a+b+
c<0；③2a−b=0；④4ac−b2>0.其中正确结论的个数是()个．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.一条抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，请写出一个符合条件的抛物线的解
析式______.(只需写一个)
10.若关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个实数根，则k的取值范围是______．
11.已知x1，x2是一元二次方程2x2−3x−4=0的两根，则2
x1+2
x2
=______．
12.二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y部分对应值如表：
x……−3−20135……
y……70−8−9−57……
则此二次函数图象的顶点坐标是______．
13.如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中
有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比2：3，如
果要使彩条所占面积是图案面积的9
25
，则每个横彩
条的宽度是______cm．
14.已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴为x=−1，与x轴的一个交点为(2,0)，
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=p(p>0)有整数根，则p的值有______个．15.如图，抛物线y=ax2−x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，已知A(−1,0)，
B(1,1)，则a的取值范围是______．
16.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，
给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是
2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较
近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最
低点距地面的距离为______ 米．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17.解方程：
(1)2x2+3x=3．
(2)x(x−3)+x=3．
四、解答题（本大题共9小题，共94.0分）
18.设一元二次方程x2+ax−2=0．
(1)若该方程的一个解是x=2，求a的值；
(2)求证：一元二次方程x2+ax−2=0有两个不相等的实数解．
19.如图，二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C，
点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已
知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的
点A(−1,0)及点B．
(1)求二次函数的表达式及点B的坐标．
(2)根据图象，写出满足(x+2)2+m≥kx+b的x的取值范围．
20.已知关于x的一元二次方程x2−2(m−1)x+m2=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22=8−3x1x2，求m的值．
21.为提高教学质量，市教育局准备采购若干套投影设备升级各学校教学硬件，经考察，
某公司有A、B两种型号的投影设备可供选择．
(1)该公司2021年年初每套A型投影设备的售价为2.5万元，经过连续两次降价，年
底每套售价为1.6万元，求每套A型投影设备平均下降率n；
(2)2021年年底市教育局经过招标，决定采购并安装该公司A，B两种型号的投影设
备共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型投影设备售价为1.6万元，每套B型投影设备售价为1.5(1−n)万元，则A型投影设备最多可购买多少套？
22.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2−4ax+3(a≠0)，经过点(1,0)．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)抛物线上有一点P到x轴的距离为1，求点P坐标．
23.某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与
每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系：
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售
价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
24.已知二次函数y=x2−2mx+m−1(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴有2个公共
点；
(2)如图，若该函数与x轴的一交点是原点，求另一交点A
的坐标及顶点C的坐标；
(3)在(2)的条件下，y轴上是否存在一点P，使得PA+PC
最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=16cm.点P
从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始
沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同
时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设
运动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？
(2)当t为何值时，PQ的长度等于8√2cm？
(3)若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点
B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，△PCQ的面积等于32cm2？
26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，
B(4,0)，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物
线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．
(3)在(2)的条件下，将抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)沿射线AD平移4√2个单位，
得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
答案和解析1.【答案】C
【解析】解：∵y=−1
5x2−2
5
x−51
5
=−1
5
(x+1)2−5，
∴抛物线开口向下，顶点为(−1,−5)，
∴当x=−1时，函数有最大值，最大值为−5；
故选：C．
根据二次函数的顶点式即可求解．
本题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质、灵活运用配方法是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．
根据题意确定出所求方程即可．
【解答】
解：A.化为一般式为3x2−6x+1=0，
其二次项系数是3，一次项系数是−6，常数项是1，
B.化为一般式为3x2−6x−1=0，
其二次项系数是3，一次项系数是−6，常数项是−1，
C.化为一般式为3x2+6x−1=0，
其二次项系数是3，一次项系数是6，常数项是−1，
D.化为一般式为3x2−6x−1=0，
其二次项系数是3，一次项系数是−6，常数项是−1，
故选：A．
3.【答案】D
【解析】解：把方程x2−6x+5=0的常数项移到等号的右边，得到x2−6x=−5，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−4x+9=−5+9，
配方得(x−3)2=4．
故选：D．
把常数项5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−6的一半的平方．
本题考查了配方法，解题的关键是注意：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4.【答案】D
【解析】解：抛物线y=2x2−4x+1可化y=2(x−1)2−1，
将抛物线y=2x2−4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，
则平移后的抛物线解析式为y=2(x−1−3)2−1−2，即y=2(x−4)2−3，
故选：D．
先把抛物线y=2x2−4x+1化为顶点式的形式，再根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，即可得出平移后解析式．
此题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．也考查了配方法．
5.【答案】A
【解析】解：由数轴得m>0，n<0，m+n<0，
∴mn<0，
∴△=(mn)2−4(m+n)>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
先由数轴得出m，n与0的关系，再计算判别式的值即可判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有
如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
6.【答案】D
【解析】解：∵m☆n=mn2−mn−1，5☆x=6−4x，
∴5x2−5x−1=6−4x，
∴5x2−x=7，
∴10x2−2x=14，
∴3−2x+10x2
=3+(10x2−2x)
=3+14
=17，
故选：D．
根据m☆n=mn2−mn−1，可以将方程5☆x=6−4x化简，然后整理，再整体代入代数式3−2x+10x2即可解答本题．
本题考查有理数的混合运算、代数式求值，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
7.【答案】A
【解析】解：∵y=−x2−2x−3，
=−1，开口向下，
∴抛物线的对称轴为直线x=−−2
2×(−1)
∵抛物线y=−x2−2x−3过A(−2,y1)，B(−3,y2)，C(2,y3)三点，
∴点C(2,y3)离对称轴最远，点A(−2,y1)离对称轴最近，
∴y1>y2>y3，
故选：A．
先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性质，然后利用抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8.【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc<0，①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x=−1，点A(−3,0)，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为(1,0)，
∴a+b+c=0，②错误，不符合题意．
=−1，
∵抛物线对称轴为直线x=−b
2a
∴b=2a，
∴2a−b=0，③正确，符合题意．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴4ac−b2<0，④错误，不符合题意．
故选：B．
根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点判断①.由图象与x轴交点(1,0)判断②.根据对称轴为直线x=−1判断③.根据抛物线与x轴交点个数判断④．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
9.【答案】结论不惟一，例如y=x2+2x等
【解析】解：依题意写出抛物线的顶点式方程：y=(x+1)2−1，即y=x2+2x．故答案是：y=x2+2x．
抛物线开口向上，二次项系数为正，对称轴在y轴的左侧，选择顶点的横坐标为负数即可．
本题考查了二次函数的性质．该题是结论开放型题型，通过开口方向，对称轴的位置反
映的数量关系写二次函数解析式．
10.【答案】k ≥−1且k ≠0
【解析】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x −1=0有两个实数根，
∴△=b 2−4ac =4+4k ≥0，k ≠0，
解得：k ≥−1且k ≠0．
故答案为：k ≥−1且k ≠0．
首先利用根的判别式△=b 2−4ac =4+4k ≥0，根据一元二次方程的意义得出k ≠0，两者结合得出答案即可．
本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0,a,b,c 为常数)根的判别式．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．以及一元二次方程的定义．
11.【答案】−32
【解析】解：根据题意得x 1+x 2=32，x 1x 2=−2，
所以=
2x 2+2x 1x 1x 2 =
2(x 1+x 2)x 1x 2
=2×32−2
=−32
． 故答案为−32．
先利用根与系数的关系得到x 1+x 2=32，x 1x 2=−2，再利用通分得到原式=
2(x 1+x 2)x 1x 2，
然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a ．
12.【答案】(1,−9)
【解析】解：∵抛物线经过点(−3,7)，(5,7)，
=1，
∴抛物线的对称轴为直线x=−3+5
2
∴此二次函数图象的顶点坐标是(1,−9)，
故答案为：(1,−9)．
利用抛物线的对称性得到对称轴，进而即可根据表格数据得到顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练二次函数的对称性是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：设每个横彩条的宽度是2x cm，则每个竖彩条的宽度是3x cm，空白部分可合成长为(30−2×3x)cm，宽为(20−2×2x)cm的矩形，
)，
依题意得：(30−2×3x)(20−2×2x)=30×20×(1−9
25
整理得：(5−x)2=16，
解得：x1=1，x2=9(不合题意，舍去)，
∴2x=2×1=2．
故答案为：2．
设每个横彩条的宽度是2x cm，则每个竖彩条的宽度是3xcm，空白部分可合成长为(30−2×3x)cm，宽为(20−2×2x)cm的矩形，利用矩形的面积计算公式，结合空白部分所
)，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，占面积是图案面积的(1−9
25
将符合题意的值代入2x中可求出每个横彩条的宽度．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14.【答案】3
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴为x=−1
=−1，解得b=2a．
∴−b
2a
又∵抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴的一个交点为(2,0)．
把(2,0)代入y=ax2+bx+c得，0=4a+4a+c
解得，c=−8a．
∴y=ax2+2ax−8a(a<0)
=−9a
对称轴ℎ=−1，最大值k=4a⋅(−8a)−4a2
4a
如图所示，
顶点坐标为(−1,−9a)
令ax2+2ax−8a=0
即x2+2x−8=0
解得x=−4或x=2
∴当a<0时，抛物线始终与x轴交于(−4,0)与(2,0)
∴ax2+bx+c=p
即常函数直线y=p，由p>0
∴0<y≤−9a
由图象得当0<y≤−9a时，−4<x<2，其中x为整数时，x=−3，−2，−1，0，1
∴一元二次方程ax2+bx+c=p(p>0)的整数解有5个．
又∵x=−3与x=1，x=−2与x=0关于直线x=−1轴对称
当x=−1时，直线y=p恰好过抛物线顶点．
所以p值可以有3个．
故答案为3．
根据题意可知一元二次方程的根应为整数ax2+bx+c=p(p>0)，通过抛物线y=
ax2+bx+c(a<0)的对称轴为x=−1，与x轴的一个交点为(2,0).可以画出大致图象判断出直线y=p(0<p≤−9a)，观察图象当0<y≤−9a时，抛物线始终与x轴相交于(−4,0)于(2,0).故自变量x的取值范围为−4<x<2.所以x可以取得整数−3，−2，−1，0，1，共5个．由于x=−3与x=1，x=−2与x=0关于对称轴直线x=−1对称，所以于
x=−3与x=1对应一条平行于x轴的直线，x=−2与x=1对应一条平行于x轴的直线，x=−1时对应一条平行于x轴且过抛物线顶点的直线，从而确定y=p时，p的值应有3个．本题考查了二次函数图象抛物线与x轴及常函数y=p(p>0)直线的交点横坐标与一元
二次方程根的关系．
15.【答案】1≤a <98或a ≤−2 【解析】解：设直线AB 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)，则
{−k +b =0k +b =1，解得：{k =12b =12
， ∴直线AB 的解析式为：y =12x +12，
当a >0时，开口向上，
∴线段AB 和抛物线y =ax 2−x +1(a ≠0)的图象有两个交点，且当x =1时，y ≥1， ∴ax 2−x +1=12x +12
， ∴Δ=(−32)2−4a ×12>0，a −1+1≥1，
解得：1≤a <98；
当a <0时，开口向下，
∵线段AB 与抛物线的图象有两个交点，
∴当x =−1时，y ≤0，
∴a +1+1≤0，
∴a ≤−2，
综上所述：1≤a <98或a ≤−2．
故答案为：1≤a <98或a ≤−2．
分情况讨论，a >0时，二次函数与直线AB 由两个交点，且两个交点的横坐标满足0<x ≤1；a <0时，当x =−1时，y ≤0．
本题考查了二次函数图象与一次函数图象的交点，本题解题的时候要注意针对a 的正负进行分类讨论，同时也要求学生能够灵活应用方程与函数间的关系解题．
16.【答案】0.5
【解析】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x 轴，
左边树为y 轴建立平面直角坐标系，
由题意可得A(0,2.5)，B(2,2.5)，C(0.5,1)
设函数解析式为y =ax 2+bx +c
把A 、B 、C 三点分别代入得出c =2.5
同时可得4a +2b +c =2.5，0.25a +0.5b +c =1
解之得a =2，b =−4，c =2.5．
∴y =2x 2−4x +2.5=2(x −1)2+0.5．
∵2>0
∴当x =1时，y =0.5米．
∴故答案为：0.5米．
根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
17.【答案】解：(1)∵2x 2+3x =3，
∴2x 2+3x −3=0，
∵a =2，b =3，c =−3，
∴Δ=32−4×2×(−3)=33>0，
∴x =−b±√b 2−4ac 2a
=−3±√334， ∴x 1=−3+√334，x 2=−3−√334；
(2)∵x(x −3)+x =3，
∴x(x −3)+x −3=0，
∴(x −3)(x +1)=0，
∴x −3=0或x +1=0，
∴x 1=3，x 2=−1．
【解析】(1)利用公式法求解即可；
(2)利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18.【答案】(1)解：把x=2代入方程x2+ax−2=0，得到22+2a−2=0，
解得a=−1；
(2)证明：∵Δ=a2−4×(−2)=a2+8>0，
∴一元二次方程x2+ax−2=0有两个不相等的实数解．
【解析】(1)把x=2代入已知方程，得到22+2a−2=0，易得a的值；
(2)根据判别式的意义得到Δ=a2−4×(−2)>0，然后解不等式即可．
此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
19.【答案】解：(1)将(−1,0)代入y=(x+2)2+m得0=1+m，
解得m=−1，
∴y=(x+2)2−1，
当x=0时，y=3，
∴点C坐标为(0,3)，
∵点B与点C关于轴对称，对称轴为直线x=−2，
∴点B坐标为(−4,3)．
(2)∵点A坐标为(−1,0)，点B坐标(−4,3)，
由图象可知，(x+2)2+m≥kx+b时，x≤−4或x≥−1．
【解析】(1)将点A(−1,0)代入解析式求出m，求出点C坐标，根据点B与点C关于y轴对
称求点B坐标．
(2)根据图象交点坐标求解．
本题考查二次函数的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式及掌握二次函数与不等式的关系．
20.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−2(m−1)x+m2=0有实数根．
∴Δ=[−2(m−1)]2−4m2=4−8m≥0，
．
解得：m≤1
2
(2)∵关于x的一元二次方程x2−2(m−1)x+m2=0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2=2m−2，x1⋅x2=m2，
∵x12+x22=8−3x1x2，
∴(x1+x2)2−2x1⋅x2=8−3x1x2，即5m2−8m−4=0，
，m2=2(舍去)，
解得：m1=−2
5
∴实数m的值为−2
．
5
【解析】(1)根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
(2)利用根与系数的关系可得出x1+x2=2m−2，x1⋅x2=m2，结合x12+x22=8−
3x1x2即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式△≥0是解题的关键．
21.【答案】解：(1)依题意得：2.5(1−n)2=1.6，
则(1−n)2=0.64，
所以1−n=±0.8，
所以n1=0.2=20%，n2=1.8(不合题意，舍去)．
答：每套A型投影设备年平均下降率n为20%；
(2)设A型投影设备可购买m套，则B型投影设备可购买(80−m)套，
依题意得：1.6m+1.5×(1−20%)×(80−m)≤112，
整理，得1.6m+96−1.2m≤112，
解得m≤40，
即A型投影设备最多可购买40套．
【解析】(1)该每套A型投影设备年平均下降率n，则第一次降价后的单价是原价的(1−n)，第二次降价后的单价是原价的(1−n)2，根据题意列方程解答即可．
(2)设A型投影设备可购买m套，则B型投影设备可购买(80−m)套，根据采购专项经费总计不超过112万元列出不等式并解答；
本题考查了一元一次不等式的应用和一元二次方程的应用．解题的关键是读懂题意，找到题中的等量关系，列出方程或不等式，解答即可得到答案．
22.【答案】解：(1)将点A(1,0)代入y =ax 2−4ax +3得：0=a −4a +3， 解得a =1，
故抛物线的表达式为y =x 2−4x +3；
(2)由题意得：y =x 2−4x +3=±1，
解得x =2±√2或2，
故点P 的坐标为(2+√2,1)或(2−√2,1)或(2,−1)．
【解析】(1)把点(1,0)代入y =ax 2−4ax +3，利用待定系数法即可求得；
(2)根据题意得到y =x 2−4x +3=±1，解关于x 的方程即可求得P 点的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b(k ≠0)，由所给函数图象可知，
{130k +b =50150k +b =30
， 解得{k =−1b =180
． 故y 与x 的函数关系式为y =−x +180；
(2)∵y =−x +180，
∴W =(x −100)y =(x −100)(−x +180)
=−x 2+280x −18000
=−(x −140)2+1600，
∵a =−1<0，
∴当x =140时，W 最大=1600，
∴售价定为140元/件时，每天最大利润W =1600元．
【解析】【试题解析】
本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出关于k 、b 的关系式是解答此题的关键．
(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b(k ≠0)，根据所给函数图象列出关于k 与b 的关系式，求出k 、b 的值即可；
(2)把每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论．
24.
【答案】(1)证明：∵b 2−4ac =(−2m)2−4(m −1)=4m 2−4m +4=(2m −1)2+3>0
∴不论m 为何值，该函数的图象x 轴有2个公共点；
(2)解：∵y =x 2−2mx +m −1，O(0,0)，
∴0=m −1，解得：m =1，
∴y =x 2−2x ，
当y =0时，x 2−2x =0，解得：x 1=0，x2=2，
∴A(2,0)，
∵y =x 2−2x ，即y =(x −1)2−1，
∴C(1,−1)；
(3)解：如图所示：作A(2,0)关于y 轴的对称点
A’(−2,0)，
设直线A’C ：y =kx +b ，A’(−2,0)，C(1,−1)，
∴{0=−2k +b −1=k +b
， 解得：{k =−13b =−23
， ∴y =−13x −2
3，
当x =0时，y =−23，
∴P(0,−23).
【解析】(1)要证明抛物线与x 轴有两个交点，只要证明：b 2−4ac 恒大于即可；
(2)根据抛物线经过原点，求出抛物线的解析式；将抛物线的解析式写出顶点式，即可求出顶点坐标；
(3)根据线段之和最短的知识，过点A 作关于y 轴的对称点A′，连接A′C ，根据待定系数法求出直线A′C 的解析式即可求得点P 的坐标．
本题主要考查二次函数与x 轴的交点、抛物线的顶点、线段之和的最短问题的综合题．在
第(3)小题中，能够根据线段最短的知识，作出线段何时最短是解决此题的关键．
25.【答案】解：根据题意知BP=AB−AP=12−t，BQ=2t．
(1)根据三角形的面积公式，得
1
PB⋅BQ=35，
2
t(12−t)=35，
t2−12t+35=0，
解得t1=5，t2=7．
故当t为5或7时，△PBQ的面积等于35cm2．
(2)设t秒后，PQ的长度等于8√2cm，根据勾股定理，得
PQ2=BP2+BQ2=(12−t)2+(2t)2=128，
5t2−24t+16=0，
，t2=4．
解得t1=4
5
故当t为4
或4时，PQ的长度等于8√2cm．
5
(3)当0<t≤时，
1
PB⋅BQ=32，
2
t(12−t)=32，
t2−12t+32=0，
解得t1=4，t2=8．
当8<t≤12时，
1
PB⋅BQ=32，
2
(16−t)(12−t)=32，
t2−20t+128=0，
解得t3=8(舍去)，t4=20(舍去)．
当12<t≤16时，
1
PB⋅BQ=32，
2
(16−t)(t−12)=32，
t2−28t+224=0，
△=282−4×1×224=−112<0，
故方程无实数根．
综上所述，当t为4或8时，△PCQ的面积等于32cm2．
【解析】(1)根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；
(2)根据题意表示出BP、BQ的长，再根据勾股定理列方程即可；
(3)根据题意表示出BP、BQ的长，再分三种情况，根据三角形的面积公式列方程即可．考查了一元二次方程的应用，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用勾股定理和直角三角形的面积公式列方程求解．
26.【答案】解：(1)将A(−1,0)，B(4,0)代入y=ax2+bx−4得
{a−b−4=0
16a+4b−4=0，
∴{a=1
b=−3，
∴y=x2−3x−4，
(2)当x=0时，y=−4，
∴点C(0,−4)，
∵点D与点C关于直线l对称，
∴D(3,−4)，
∵A(−1,0)，
∴直线AD的函数关系式为：y=−x−1，
设P(m,m2−3m−4)，
作PE//y轴交直线AD于E，
∴E(m,−m−1)，
∴PE=−m−1−(m2−3m−4)
=−m2+2m+3，
×PE×4=2(−m2+2m+3)=−2m2+4m+6，
∴S△APD=1
2
=1时，S△APD最大为=8，
当m=−4
2×(−2)
(3)∴直线AD与x轴正方向夹角为45°，
∴沿AD方向平移4√2，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，∵P(1,−6)，
∴E(5,−10)，
抛物线y=x2−3x−4平移后y1=x2−11x+20，
∴抛物线y1的对称轴为：直线x=11
2
，
当DE为平行四边形的边时：
若D平移到对称轴上F点，则G的横坐标为15
2
，
代入y1=x2−11x+20得y=−25
4
，
∴G(15
2,−25
4
)，
若E平移到对称轴上F点，则G的横坐标为7
2
，
代入y1=x2−11x+20得y=−25
4
，
∴G(7
2,−25
4
)，
若DE为平行四边形的对角线时，
若E平移到对称轴上F点，则G平移到D点，∴G的横坐标为5
2
，
代入y1=x2−11x+20得y=−5
4
，
∴G(5
2
,−
5
4
)
∴G(5
2,−5
4
)或G(7
2
,−25
4
)或G(15
2
,−25
4
)，
【解析】(1)直角代入点A，B坐标即可；
(2)作PE//y轴交直线AD于E，通过铅垂高表示出△APD的面积即可求出最大面积；
(3)通过平移距离为4√2，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，从而平行四边形中，已知线段DE，分DE为边还是对角线，通过点的平移得出G的横坐标即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，铅垂高求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质和判定，解决问题的关键是沿AD平移4√2转化为右平移4个单位，再向下平移4个单位，属于中考压轴题．。