17.1 第3课时 利用勾股定理证明与作图

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第3课时 利用勾股定理证明与作图
归类探究
类型之一 利用勾股定理表示无理数 分别作长为 2， 3， 5的线段．
解：由勾股定理知直角边长为 1 的等腰直角三角形，斜边长就是 2，直角边长为 2， 1 的直角三角形的斜边长就是 3.类似地，也可作出 5. 作法：(1)作直角边长为 1(单位长度)的等腰直角三角形 ACB(如答图)；
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
例 1 答图 (2)以斜边 AB 为一直角边，作另一直角边长为 1 的直角三角形 ABB1； (3)顺次这样作下去，最后作到直角三角形 AB2B3，这时斜边 AB，AB1，AB3 的长 度分别就是 2， 3， 5.
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
【解析】 如图，过点 E 作 EM⊥AG 于点 M，则由 AE＝EG，得 AG＝2MG.
∵∠AGE＝30°，EG＝2 3 cm，
∴EM＝12EG＝ 3 cm. 在 Rt△ EMG 中，由勾股定理，得
第 5 题答图
MG＝ 2 32－ 32＝3(cm)，
图 17－1－34课件目录Fra bibliotek首页末页
第3课时 利用勾股定理证明与作图 解：(1)如答图，作点 A 关于直线 l 的对称点 F，连接 BF 交 CD 于点 P，则点 P 为 所求，此时 PA＋PB＝BF，BF 就是最短路程．
第 6 题答图
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
(2)如答图，过点 B 作 BE⊥BD 交 CA 的延长线于点 E. 由题意，得 EF＝BD＋AC＝600＋200＝800(m)，BE＝CD＝600 m. 由勾股定理，得 BF＝ EF2＋BE2＝1 000(m)． ∴最短路程为 1 000 m.
13的点吗？
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
知识管理
1．直角三角形全等的证明(斜边、直角边定理) 证法一：拼图法 如图 17－1－23.已知 AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°， 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
图 17－1－23
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的边长中，是无理数的有( C )
A．0 条
B.1 条
C．2 条
D.3 条
图 17－1－28
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
4．如图 17－1－29，要建一个蔬菜大棚，棚宽 3.2 m，高 2.4 m，长 15 m，请你计 算覆盖在顶上的塑料薄膜的面积为 60 m2.
图 17－1－29
全 效学 习
数学八年级下册[RJ]
第十七章 17.1 第3课时
第3课时 利用勾股定理证明与作图
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理 第3课时 利用勾股定理证明与作图
学习指南
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分层作业
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
学习指南
教学目标 1．会运用勾股定理在数轴上画出并表示无理数； 2．了解利用勾股定理证明 HL 定理． 情景问题引入 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
当堂测评
1．[2018·凉山州]如图 17－1－26，数轴上点 A 对应的数为 2，AB⊥OA 于点 A，
且 AB＝1，以点 O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴于点 C，则 OC 的长为( D )
A．3
B. 2
C． 3
D. 5
图 17－1－26
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
Sn＝12·|OAn|·1＝ 2n，即 Sn＝ 2n. ∴用含有 n 的等式表示上述变化规律为
(
n)2＋1＝n＋1，Sn＝
n 2.
(2)∵OA210＝( 9)2＋1＝10，∴OA10＝ 10.
(3)S21＋S22＋S23＋…＋S210＝14＋24＋34＋…＋140＝545.
第3课时 利用勾股定理证明与作图
证明：∵AB＝A′B′， ∴∠B＝∠B′. 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中， ∠ ∠ABC＝B∠＝B∠′A，′C′B′， AC＝A′C′， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(AAS)．
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
证法二：勾股定理法 证明：如图 17－1－24，根据勾股定理可得，这两个三角形的各边对应相等，所以 两个三角形全等．
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
分层作业
1．[2019·通川区校级期中]如图 17－1－30，小方格都是边长为 1 的正方形，则△ABC
中 BC 边上的高是( B )
A．1.6
B.1.4
C．1.5
D.2
图 17－1－30
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
2.[2018·荆州]为了比较 5＋1 与 10的大小，可以构造如图 17－1－31 所示的图形 进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，点 D 在 BC 上，且 BD＝AC＝1.通过计算可得
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
4．[2018·黄冈]如图 17－1－32，圆柱形玻璃杯高为 14 cm，底面周长为 32 cm，在 杯内壁离杯底 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3 cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 20 cm(杯壁厚度不计)．
∴AG＝6 cm.
折叠可知，BE＝AE＝2 3(cm)，GC＝AG＝6 cm.
∴BC＝BE＋EG＋GC＝2 3＋2 3＋6＝(4 3＋6) cm.
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
6．如图 17－1－34，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A，B 到河岸的距离分别为 AC，BD，已知 AC＝200 m，BD＝600 m，且 CD＝600 m. (1)牧童从 A 处放牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？ (2)最短路程是多少？
图 17－1－24
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
2．利用勾股定理表示无理数 方 法：如果长为 n的线段是直角边长为正整数 a，b 的直角三角形的斜边，则 依照下面的画法，在数轴上可以画出表示 n的点． 画 法：在数轴正半轴上找到点 A，使 OA＝a，过点 A 作直线 l 垂直于 OA，在 l 上取点 B，使 AB＝b，以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数轴正半轴的 交点 C 即为表示 n的点.
第 4 题答图
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
5．[2018·重庆]如图 17－1－33，把三角形纸片折叠，使点 B，C 都与点 A 重合， 折痕分别为 DE，FG，得到∠AGE＝30°，若 AE＝EG＝2 3 cm，则△ABC 的边 BC 的长为 4 3＋6 cm.
图 17－1－33
(1)请用含有 n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出 OA10 的长； (3)求 S21＋S22＋S23＋…＋S210的值． 解：(1)在 Rt△OA1A2 中，OA2＝ 12＋1＝ 2， 在 Rt△OA2A3 中，OA3＝ 22＋1＝ 3， …… ∴OA2n＝( n－1)2＋1＝n.
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
7．(数学建模)细心观察图 17－1－35，认真分析各式，然后解答下列问题．
( 1)2＋1＝2，S1＝ 21； ( 2)2＋1＝3，S2＝ 22； ( 3)2＋1＝4，S3＝ 23； …
图 17－1－35
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
图 17－1－32
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第3课时 利用勾股定理证明与作图 【解析】 如答图，点 E 与点 A 关于直线 l 对称，连接 EB，即为蚂蚁爬行的最短 路径，过点 B 作 BC⊥AE 于点 C，在 Rt△EBC 中，BC＝32÷2＝16 cm，EC＝3＋ 14－5＝12(cm)，∴EB＝ EC2＋BC2＝20 cm.
5＋1 ＞ 10(填“＞”“＜”或“＝”)．
图 17－1－31
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
3．在数轴上作出表示 17的点． 解：(1)如答图，在数轴上找到点 A，使 OA＝4，过点 A 作直线 l⊥OA；
第 3 题答图
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
(2)在直线 l 上取点 B，使 AB＝1； (3)以原点 O 为圆心，以 OB 长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点 C，点 C 就是 表示 17的点．
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
分层作业
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
2．如图 17－1－27，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B 都在格点
上，则线段 AB 的长度为( A )
A．5
B.6
C．7
D.25
图 17－1－27
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第3课时 利用勾股定理证明与作图
3．如图 17－1－28，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，则在△ABC
类型之二 勾股定理的综合运用
[2018·成都]如图 17－1－25，在矩形 ABCD 中，按以下步骤作图：①分别 以点 A 和 C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N；②设直 线 MN 交 CD 于点 E，若 DE＝2，CE＝3，则矩形的对角线 AC 的长为 30 .
图 17－1－25