转动惯量定轴转动定律
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F做功
m2
W FR K
R
转动动能
m1
1 2 I 2
转动动能变化量
1 1 2 2 K I ( 0 ) I 2 2 2
FR I
1 FR I 2 2
转动定律
M I
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
r
圆环质量
dm 2 π r dr
2 3
R R
O
r dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R 0
2
而
m π R
2
所以
1 2 J mR 2
平行轴定理
质量为m的刚体，如果对其质心轴的转动 惯量为Ic，则对任一与该轴平行，相距为d的 转轴的转动惯量Ic+md2
dS
dV
对质量体分布的刚体：dm
例 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒， 求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . O
l 2
O
l 2
r
dr
dr O´
O´
l
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元 dm dr dJ r 2dm r 2dr
I
i 1..n
m r
2
i i
转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转 轴的位置 .
质量连续分布刚体的转动惯量
J m r r dm
2 j j 2 j
dm
：质量元
对质量线分布的刚体： dm
dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm
：质量面密度
：质量体密度
力矩 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F 作用在刚体上点 P , 且在转动 为由点O 到力的 平面内, r 作用点 P 的径矢 . Z F 对转轴 的力矩
M
M
O
z
M Fr sin Fd
M r F
r
F
*
d
P
Fi 0 , Mi 0
3g d sin d 2l
3g (1 cos ) l
mi
ri
d
I o mi Ri mi (ri d ) (ri d )
2 i i 2 2
Ri
c
mi ri d mi 2d mi ri
i i i
o
I c md2
类比
F ma
F
d ? I I dt
r
1 3 J 2 r dr l 0 12 1 ml 2 12
l/2 2
如转轴过端点垂直于棒
1 2 J r dr ml 0 3
l 2
例 一质量为 m、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 . 解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
铰链对细杆的约束力 F N
作用，由转动定律得
解
细杆受重力和
1 mgl sin J 2
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
由角加速度的定义
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
d F: ຫໍສະໝຸດ 臂 F Fi 0 , Mi 0
F
F
例 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此 竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度 和角速度 .
转动惯量 定轴转动定律
角量与线量的关系 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
2
v v0 at
x x0 v0t at
1 2
2 2 0
0 t 2 1 0 0t 2 t
v v 2a( x x0 ) 2 02 2 ( 0 )
z
r2
转动动能
m2
K
O
r1
m1
1 1 1 2 2 mi vi mi ri 2 I 2 n 2 2 i 1..n 2 i 1..
定义转动惯量 物理意义：转动惯性的量度 .
m2
W FR K
R
转动动能
m1
1 2 I 2
转动动能变化量
1 1 2 2 K I ( 0 ) I 2 2 2
FR I
1 FR I 2 2
转动定律
M I
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
r
圆环质量
dm 2 π r dr
2 3
R R
O
r dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R 0
2
而
m π R
2
所以
1 2 J mR 2
平行轴定理
质量为m的刚体，如果对其质心轴的转动 惯量为Ic，则对任一与该轴平行，相距为d的 转轴的转动惯量Ic+md2
dS
dV
对质量体分布的刚体：dm
例 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒， 求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . O
l 2
O
l 2
r
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dr O´
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解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元 dm dr dJ r 2dm r 2dr
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转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转 轴的位置 .
质量连续分布刚体的转动惯量
J m r r dm
2 j j 2 j
dm
：质量元
对质量线分布的刚体： dm
dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm
：质量面密度
：质量体密度
力矩 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F 作用在刚体上点 P , 且在转动 为由点O 到力的 平面内, r 作用点 P 的径矢 . Z F 对转轴 的力矩
M
M
O
z
M Fr sin Fd
M r F
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F
*
d
P
Fi 0 , Mi 0
3g d sin d 2l
3g (1 cos ) l
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mi ri d mi 2d mi ri
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类比
F ma
F
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1 3 J 2 r dr l 0 12 1 ml 2 12
l/2 2
如转轴过端点垂直于棒
1 2 J r dr ml 0 3
l 2
例 一质量为 m、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 . 解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
铰链对细杆的约束力 F N
作用，由转动定律得
解
细杆受重力和
1 mgl sin J 2
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
由角加速度的定义
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
d F: ຫໍສະໝຸດ 臂 F Fi 0 , Mi 0
F
F
例 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此 竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度 和角速度 .
转动惯量 定轴转动定律
角量与线量的关系 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
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转动动能
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定义转动惯量 物理意义：转动惯性的量度 .