解一元二次方程练习题(配方法)

一元二次方程解法练习题
一、用直接开平方法解下列一元二次方程。

1、0142
=-x 2、2)3(2=-x 3、()512
=-x 4、()162812
=-x
二、
用配方法解下列一元二次方程。

1、.0662=--y y
2、x x 4232=-
3、9642=-x x
4、0542=--x x
5、01322=-+x x
6、07232=-+x x
7、01842=+--x x 8、0222=-+n mx x 9、()00222>=--m m mx x
三、
用公式解法解下列方程。

1、0822=--x x
2、2
2
314y y -= 3、y y 32132=+
4、01522=+-x x
5、1842-=--x x
6、02322=--x x
四、 用因式分解法解下列一元二次方程。

1、x x 22=
2、0)32()1(22=--+x x
3、0862=+-x x
4、22)2(25)3(4-=+x x
5、0)21()21(2=--+x x
6、0)23()32(2=-+-x x
五、用适当的方法解下列一元二次方程。

1、()()513+=-x x x x
2、x x 5322
=- 3、2
260x y -+=
4、01072=+-x x
5、()()623=+-x x
6、()()03342
=-+-x x x
7、()02152
=--x 8、0432=-y y 9、03072=--x x
10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122
=-+x
13、22244a b ax x -=- 14、()b a x a b x +-=-232
2
15、02
2=-+-a a x x
16、36
31352=+x x 17、()()213=-+y y 18、)0(0)(2≠=++-a b x b a ax
19、03)19(32=--+a x a x 20、012=--x x 21、02932=+-x x
22、02222=+-+a b ax x 23、 x 2
+4x -12=0 24、030222=--x x
25、01752=+-x x 26、1852-=-x x 27、02332222=+---+n mn m nx mx x
28、3x 2+5(2x+1)=0 29、x x x 22)1)(1(=-+ 30、1432+=x x
31、y y 2222=+ 32、x x 542=- 33、04522=--x x
34、()1126=+x x ． 35、030222=--x x 36、x 2+4x -12=0
37、032=-+x x 38、12=+x x 39、y y 32132=+
40、08
1
222=+-t t 41、1252+=y y 42、7922++x x =0
一元二次方程解法练习题
六、用直接开平方法解下列一元二次方程。

1、0142
=-x 2、2)3(2=-x 3、()512
=-x 4、()162812
=-x
七、
用配方法解下列一元二次方程。

1、.0662=--y y
2、x x 4232=-
3、9642=-x x
4、0542=--x x
5、01322=-+x x
6、07232=-+x x
7、01842=+--x x 8、0222=-+n mx x 9、()00222>=--m m mx x
八、
用公式解法解下列方程。

1、0822=--x x
2、2
2
314y y -= 3、y y 32132=+
4、01522=+-x x
5、1842-=--x x
6、02322=--x x
九、 用因式分解法解下列一元二次方程。

1、x x 22=
2、0)32()1(22=--+x x
3、0862=+-x x
4、22)2(25)3(4-=+x x
5、0)21()21(2=--+x x
6、0)23()32(2=-+-x x
十、用适当的方法解下列一元二次方程。

1、()()513+=-x x x x
2、x x 5322
=- 3、2
260x y -+=
4、01072=+-x x
5、()()623=+-x x
6、()()03342
=-+-x x x
7、()02152
=--x 8、0432=-y y 9、03072=--x x
10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122
=-+x
13、22244a b ax x -=- 14、()b a x a b x +-=-232
2
15、02
2=-+-a a x x
16、36
31352=+x x 17、()()213=-+y y 18、)0(0)(2≠=++-a b x b a ax
19、03)19(32=--+a x a x 20、012=--x x 21、02932=+-x x
22、02222=+-+a b ax x 23、 x 2
+4x -12=0 24、030222=--x x
25、01752=+-x x 26、1852-=-x x 27、02332222=+---+n mn m nx mx x
28、3x 2+5(2x+1)=0 29、x x x 22)1)(1(=-+ 30、1432+=x x
31、y y 2222=+ 32、x x 542=- 33、04522=--x x
34、()1126=+x x ． 35、030222=--x x 36、x 2+4x -12=0
37、032=-+x x 38、12=+x x 39、y y 32132=+
40、08
1
222=+-t t 41、1252+=y y 42、7922++x x =0
一元二次方程练习题
一．填空题：
1．关于x 的方程mx 2
-3x= x 2
-mx+2是一元二次方程,则m___________．
2．方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是____________________,二次项系数是____,一次项系数是____,
常数项是______.
3．方程x 2
=1的解为______________. 4．方程3 x 2=27的解为______________. x 2
+6x+____=(x+____)2
, a 2
±____+
4
1=(a ±____ )2 5．关于x 的一元二次方程(m+3) x 2
+4x+ m 2
- 9=0有一个解为0 , 则m=______. 二．选择题：
6．在下列各式中
①x 2
+3=x; ②2 x 2
- 3x=2x(x- 1) – 1 ; ③3 x 2
- 4x – 5 ; ④x 2
=- x
1+2 7．是一元二次方程的共有( )
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个 8．一元二次方程的一般形式是( )
A x 2
+bx+c=0 B a x 2
+c=0 (a ≠0 ) C a x 2
+bx+c=0 D a x 2
+bx+c=0 (a ≠0) 9．方程3 x 2+27=0的解是( )
A x=±3
B x= -3
C 无实数根
D 以上都不对 10．方程6 x 2- 5=0的一次项系数是( ) A 6 B 5 C -5 D 0
11．将方程x 2- 4x- 1=0的左边变成平方的形式是( )
A (x- 2)2=1
B (x- 4)2=1
C (x- 2)2=5
D (x- 1)2=4
三.。

将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
四．用直接开平方法或因式分解法解方程： （1）x 2
=64 （2）5x 2
-
5
2=0 （3）（x+5）2
=16
（4）8（3 -x ）2 –72=0 （5）2y=3y 2
（6）2（2x －1）－x （1－2x ）=0 （7）3x(x+2)=5(x+2)
（8）（1－3y ）2
+2（3y －1）=0
五. 用配方法或公式法解下列方程.：
（1）x 2
+ 2x + 3=0 （2）x 2
+ 6x －5=0
(3) x 2
－4x+ 3=0 (4) x 2
－2x －1 =0
(5) 2x 2
+3x+1=0 (6) 3x 2
+2x －1 =0
(7) 5x 2－3x+2 =0 (8) 7x 2－4x －3 =0
(9) -x 2-x+12 =0 (10) x 2－6x+9 =0
韦达定理：对于一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么
1212,b c
x x x x a a
+=-=
说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12b
x x a
+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值
例 若12,x x 是方程2
220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：
(1) 22
12x x +； (2)
12
11x x +； (3) 12(5)(5)x x --；
(4) 12||x x -．
解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-
(1) 2222
121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=
(2)
1212121122
20072007
x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-
(4) 12||x x -=
===说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
222121212()2x x x x x x +=+-，
121212
11x x x x x x ++=，22
121212()()4x x x x x x -=+-，
12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，
33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．
【课堂练习】
1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22
的值为_________
2．已知x 1，x 2是方程2x 2
－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，
（x 1－x 2）2
＝
3．已知方程2x 2
－3x+k=0的两根之差为212
，则k= ;
4．若方程x 2
+(a 2
－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;
5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2
=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;
6． 设x 1,x 2是方程2x 2
－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22
(2) 1x 1 －1x 2
7．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
22
21x 1
x 1+
（2）构造新方程
理论：以两个数为根的一元二次方程是。

例 解方程组 x+y=5
xy=6 解：显然，x ，y 是方程z 2
-5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z 1=2,z 2=3 ∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3
x 2=3,y 2=2 显然，此法比代入法要简单得多。

（3）定性判断字母系数的取值范围
例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。

解：设此三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 为的两根，则c=2
由题意知
△＝k 2
-4×2×2≥0，k ≥4或k ≤
-4
∴
为所求。

【典型例题】
例1 已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -++
+=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．
分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类讨论．
解：(1) ∵方程两实根的积为5
∴ 2
22121[(1)]4(1)034,41215
4
k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨
⎪=+=⎪⎩ 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知： ①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故3
02
k ∆=⇒=
； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于
3
02
k ∆>⇒>
，故1k =-不合题意，舍去．
综上可得，3
2
k =
时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥．
(1) 是否存在实数k ，使12123
(2)(2)2
x x x x --=-
成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．
(2) 求使
12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123
(2)(2)2
x x x x --=-成立．
∵ 一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根
∴ 2
40
0(4)44(1)160
k k k k k k ≠⎧⇒<⎨
∆=--⋅+=-≥⎩，
又12,x x 是一元二次方程2
4410kx kx k -++=的两个实数根
∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
∴ 222
121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-
939
425
k k k +=-
=-⇒=，但0k <．
∴不存在实数k ，使12123
(2)(2)2
x x x x --=-成立．
(2) ∵ 222121212211212()44
224411
x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-
++
∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，
要使
12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---． 说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．
(2) 本题综合性较强，要学会对
4
1
k +为整数的分析方法．
一元二次方程根与系数的关系练习题
A 组
1．一元二次方程2
(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )
A ．2k >
B ．2,1k k <≠且
C ．2k <
D ．2,1k k >≠且
2．若12,x x 是方程2
2630x x -+=的两个根，则
12
11
x x +的值为( ) A ．2
B ．2-
C ．
12
D ．
92
3．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程
22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于(
)
A ．3-
B ．5
C ．53-或
D ．53-或
4．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式2
4b ac ∆=-和完全平方式
2(2)M at b =+的关系是( )
A ．M ∆=
B ．M ∆>
C ．M ∆<
D ．大小关系不能确定
5．若实数a b ≠，且,a b 满足2
2
850,850a a b b -+=-+=，则代数式11
11
b a a b --+
--的值为( )
A ．20-
B ．2
C ．220-或
D ．220或
6．如果方程2
()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______
7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2
2870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．
8．若方程2
2(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．
9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程2
0x qx p ++=的两实根，则
p = _____ ，q = _____ ．
10．已知实数,,a b c 满足2
6,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ．
11．对于二次三项式2
1036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．
12．若0n >，关于x 的方程2
1(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m
n
的值．
13．已知关于x 的一元二次方程2
(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足
121112
x x +=-，求m 的值．
14．已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？ (2)
k 的值．
B 组
1．已知关于x 的方程2
(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ．
(1) 求k 的取值范围；
(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．
2．已知关于x 的方程2
30x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程
22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．
3．若12,x x 是关于x 的方程2
2
(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围； (2) 若
121
2
x x =，求k 的值．
一元二次方程试题
一、选择题
1、一元二次方程2
210x x --=的根的情况为（ ）B Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根
Ｄ．没有实数根
2、若关于z 的一元二次方程02.
2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）C
3、一元二次方程x 2
＋x ＋2＝0的根的情况是（ ）C A ．有两个不相等的正根 B ．有两个不相等的负根 C ．没有实数根 D ．有两个相等的实数根 4、用配方法解方程2
420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A A ．2
(2)2x -=
B ．2
(2)2x +=
C ．2
(2)2x -=-
D ．2
(2)6x -=
5、已知函数2
y ax bx c =++的图象如图（7）所示，那么关于x 的方程
220ax bx c +++=的根的情况是（ ）D
A ．无实数根
B ．有两个相等实数根
C ．有两个异号实数根
D ．有两个同号不等实数根
6、关于x 的方程2
0x px q ++=的两根同为负数，则（ ）A A ．0p >且q >0 B ．0p >且q <0 C ．0p <且q >0 D ．0p <且q <0
7、若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x +=.则k 的值为（ ）C
（A ）－1或
34 （B ）－1 （C ）3
4
（D ）不存在 8、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）D
（A ）x 2
＋4＝0 （B ）4x 2
－4x ＋1＝0 （C ）x 2
＋x ＋3＝0 （D ）x 2
＋2x －1＝0 9、某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）B A ：200(1+a%)2
=148 B ：200(1－a%)2
=148 C ：200(1－2a%)=148 D ：200(1－a 2
%)=148 10、下列方程中有实数根的是（ ）C
（A ）x 2
＋2x ＋3＝0 （B ）x 2
＋1＝0 （C ）x 2
＋3x ＋1＝0 （D ）
1
11
x x x =
-- 11、已知关于x 的一元二次方程2
2x m x -= 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A A ． m ＞－1 B ． m ＜－2 C ．m ≥0 D ．m ＜0
12、如果2是一元二次方程x 2
＝c 的一个根，那么常数c 是（ ）。

C
A 、2
B 、－2
C 、4
D 、－4
二、填空题
1、已知一元二次方程01322
=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x 2
3 2、方程()412
=-x 的解为。

3=x ，1-=x
图（7）
3、阅读材料：设一元二次方程2
0ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系：
12b x x a +=-，12c
x x a
=．根据该材料填空：
已知1x ，2x 是方程2
630x x ++=的两实数根，则
21
12
x x x x +的值为______ 10 4、关于x 的一元二次方程x 2
＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝______；c ＝______． －3,2
5、方程2
20x x -=的解是 ．1x ＝0，2x ＝2 6、已知方程2
30x x k -+=有两个相等的实数根，则k = 94
7、方程x 2
+2x=0的解为 1x ＝0，2x ＝－2
8、已知方程()0332
=+-+x a x 在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则a 的取值范围
是 ．
2
1
1-<<-a 或323-=a
9、已知x 是一元二次方程x 2
＋3x －1＝0的实数根，那么代数式
235
(2)362
x x x x x -÷+---的值为＿＿＿＿
1
3
10、已知1x =-是关于x 的方程2
2
20x ax a +-=的一个根，则a =_______．
11、若关于x 的一元二次方程2
20x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是 ． 12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________。

13、已知2是一元二次方程2
40x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是
． 2
三、解答题
1、解方程：2
410x x +-=．
2、解方程：x 2
＋3＝3(x ＋1)．
3、已知x ＝1是一元二次方程2
400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求22
22a b a b
--的值.
4、已知关于x 的一元二次方程x 2
＋4x ＋m －1＝0。

(1)请你为m 选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
(2)设α、β是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求α2＋β2
＋αβ的值。

5、据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率。

(
≈1.41)
解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a ，合理利用量的增长率是x ，由题意得：
∴x 1≈0.41，x 2≈－2.41(不合题意舍去)。

……7分 ∴x ≈0.41。

即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%。

………8分
6、黄金周长假推动了旅游经济的发展．下图是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图．
(1)根据图中提供的信息．请你写出两条结论；
(2)根据图中数据，求2002年至2004年的“十一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率(精确到0．1)
解：（1）①历年春节旅游收入低于“五一”和“十一”旅游收入；
②黄金周旅游收入呈上升趋势。

┉┉
（2）设平均每年增长的百分率为x ，则300（1＋x ）2
＝400，
解得：1x ＝－12x ＝－1，
所以，x ＝－10.155，
答：平均每年增长的百分率为15.5%。

7、已知x 1，x 2 是关于x 的方程（x －2）（x －m ）=（p －2）（p －m ）的两个实数根．
（1）求x 1，x 2 的值；
（2）若x 1，x 2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
解：（1） 原方程变为：x 2
－（m + 2）x + 2m = p 2
－（m + 2）p + 2m ，
∴ x 2
－p 2
－（m + 2）x +（m + 2）p = 0， （x －p ）（x + p ）－（m + 2）（x －p ）= 0，
实用标准
文档大全 即 （x －p ）（x + p －m －2）= 0，
∴ x 1 = p ， x 2 = m + 2－p ．
（2）∵ 直角三角形的面积为)2(212121p m p x x -+==p m p )2(2
1212++- =)]4
)2(()22()2([212
22+-+++--m m p m p =8
)2()22(212
2+++--m m p ， ∴ 当2
2+=m p 且m ＞－2时，以x 1，x 2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为8)2(2+m 或22
1p ．。