2021年春中考数学二轮复习《问题发现探究拓展综合型压轴题》专题突破训练1(附答案)

2021年春中考数学二轮复习《问题发现探究拓展综合型压轴题》专题突破训练1（附答案）1．【阅读材料】

（1）小明遇到这样一个问题：如图1，点P在等边三角形ABC内，且∠APC＝150°，P A＝6，PC＝8．求PB的长．

小明发现，把△P AC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADB，连接DP，由旋转性质，可证△ACP≌△ABD，得PC＝BD；由已知∠APC＝150°，可知∠PDB的大小，进而可求得PB的长．

请回答：在图1中，∠PDB＝°，PB＝．

【问题解决】

（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，sin ∠ABC＝，点P在△ABC内，且P A＝2，PB＝2，PC＝3．求AB的长．【灵活运用】

（3）如图3，在△ABC中，tan∠BAC＝1，AD⊥BC于点D，若BD＝6，CD＝4．求△ABC的面积．

2．将两个全等的Rt△ABC和Rt△DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A ＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．

（1）求证：EF＝CF；

（2）若将图①中△DBE的绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出AF，EF，DE之间的数量关系；

（3）若将图①中△DBE的绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条

件不变，如图③．你认为（2）中猜想的AF，EF，DE的数量关系还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF，EF与DE之间的关系，并说明理由．

3．如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．

（1）问题发现

如图①，当∠ACB＝∠AED＝60°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则∠CEB 的度数为，线段AE、BE、CE之间的数量关系是；

（2）拓展探究

如图②，当∠ACB＝∠AED＝90°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE．请判断∠CEB的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由；

（3）解决问题

如图③，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝2，AE＝2，连接CE、BD，在△AED绕点A 旋转的过程中，当DE⊥BD时，请直接写出EC的长．

4．【问题情境】

如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，连结CD，点E为CB上一点，过点D且垂直于DE的直线交AC于点F．易知：BE＝CF．（不需要证明）【探索发现】

如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，连结CD，点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．

【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．

【类比迁移】

如图③，在等边△ABC中，AB＝4，点D是AB中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F．当CF＝2CE时，CE＝．

5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．

（1）操作发现

如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；

（2）猜想论证

当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA 上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；

（3）拓展延伸

若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．

6．（1）【操作发现】

如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝度．

（2）【解决问题】

①如图2，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，

求△APC的面积．

②如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，若PB＝1，P A

＝3，∠BPC＝135°，则PC＝．

（3）【拓展应用】

如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB＝4，BC＝3，∠ABC＝75°，P为△ABC内的一个动点，连接P A，PB，PC．求P A+PB+PC的最小值．

7．如图1，△ABC和△DEC都是等边三角形，点E在AC上．

（1）求证：AD＝BE；

（2）如图2，当CD＝AC时，将△DEC绕点C顺时针旋转30°，连接BD交AC于点G，取AB的中点F，连接FG

①求证：BE＝2FG；

②若△AFG的周长为9，求BC的长．

8．【材料阅读】

我们曾解决过课本中的这样一道题目：

如图1，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，延长BA至F，使AF＝CE，连接DE，DF．……

提炼1：△ECD绕点D顺时针旋转90°得到△F AD；

提炼2：△ECD≌△F AD；

提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式．

【问题解决】

（1）如图2，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，连接DE，将△CDE沿DE折叠，点C落在G处，EG交AB于点F，连接DF．

可得：∠EDF＝°；AF，FE，EC三者间的数量关系是．

（2）如图3，四边形ABCD的面积为8，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，连接AC．求AC的长度．

（3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E在边AB上，∠DCE＝45°．写出AD，DE，EB间的数量关系，并证明．