EM算法原理及应用

EM算法原理及应用
EM算法，也被称为期望最大化算法，是一种迭代算法，用于
解决含有隐变量的概率模型中的参数估计问题。

它在许多领域，
如机器学习、自然语言处理、计算机视觉等方面发挥着重要的作用。

EM算法的原理
EM算法的基本思想是，通过迭代的方式，不断地估计隐变量
的分布，并通过最大化完全数据的似然函数来确定模型参数的精
确值。

其中，E步骤是计算Q函数，M步骤是最大化Q函数，直
到Q函数的值单位之间的差异小于某个预设值时，迭代停止。

这
种方法通常能够比直接最大化似然函数更容易和更快速地收敛到
局部最优解。

具体而言，E步骤负责计算似然函数的期望值。

通常情况下，
Q函数的形式为：
$$ Q(\theta,\theta^{(t)})=\sum_{Z}p(Z|X,\theta^{(t)})\log p(X,Z|\theta) $$ 这里，$\theta^{(t)}$表示参数在第$t$次迭代后的值，$Z$是隐变量，$X$是样本向量。

通过对所有可能的值$Z$求和，可以得到期望值。

M步骤负责最大化Q函数。

由于期望函数的精确形式通常难以计算，这里使用Jensen不等式来对其进行近似。

对于凸函数，Jensen不等式告诉我们，任何函数的期望值都不会超过函数期望的函数值，所以Q函数的下界可以表示为：
$$ Q(\theta,\theta^{(t)})\geqslant\sum_{Z}p(Z|X,\theta^{(t)})\log\d frac{p(X,Z|\theta)}{p(Z|X,\theta^{(t)})} $$ 那么，最大化上界只需要最大化分子即可。

也就是说，通过不断地优化分子的形式，就能获得对应于参数的极大值。

EM算法的应用
EM算法在各种不同的环境下都有应用。

其中，下面列出的是一些其应用范围很广的领域：
1.聚类分析
EM算法在聚类中可用于鉴定具有某种特定类型的顺序数据的群集，比如DNA信息、汽车引擎振动等。

通过EM算法，我们可
以推断隐藏变量的概率分布，而这些隐藏变量可能与类别标签或
群集的数量有关。

2.文本数据建模
当我们从文本数据中寻找概率模型时，EM算法就显得尤为重
要了。

通常情况下，我们不知道文本数据背后所遵循的分布。

通
过使用EM算法，我们可以确定分布，从而解决预测文本分类所
需的参数估计问题。

3.过滤异常值
EM算法可以帮助我们评估模型参数的未知概率分布，并发现
特定情况下的异常数据点。

例如，通过在高斯分不妨引入隐变量，我们可以使用EM算法来检测异常值，进而排除这些值对模型的
影响。

4.模式识别
在模式识别中，我们要从大量数据中发现规律和共性。

EM算法在这个过程中发挥了重要作用，可以通过EM算法来确定一些数据的特点，从而使得它们被识别和分类。

结论
总体看来，EM算法是解决含有隐变量的概率模型参数估计问题中比较有效的一种算法。

虽然它需要用到大量理论的思维，但是通过固定的迭代过程，它可以解决很多领域的问题，比如聚类分析、文本数据建模、过滤异常值以及模式识别。