二次函数与一元二次方程教案

二次函数与一元二次方程教案
公开示范
二次函数与一元二次方程》
一、研究目标
根据新课标的要求及九年级学生的认知水平，特制定本节课的教学目标如下：
知识与技能：
1.掌握二次函数与一元二次方程的联系。

2.掌握利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根。

过程与方法：
1.通过探索二次函数与一元二次方程的关系，体会方程与函数之间的联系。

2.通过使用二次函数图像求一元二次方程近似解，获得用图像法求方程近似解的体验。

情感、态度与价值观：
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，提高学生的分析能力与在探索过程中抽象概括能力。

2.培养学生合作研究的良好意识和积极进取的精神。

3.培养学生用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点
根据新课标的要求及九年级学生的认知和发展水平，结合学情，我制定本节课的研究重、难点如下：
教学重点：把握二次函数图像与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系。

关键是理解其实质就是把函数值换成常数求一元二次方程的解。

教学难点：利用函数的性质，用逐步逼近去试探求出近似解。

较难理解，培养学生的数形结合的意识和学会用数形结合的方法解决问题。

三、教学过程设计
一）研究准备
1.解方程：x2-2x-3=0
2.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。

当△>0时，方程有两个根；当△=0时，方程有一个根；当△<0时，方程无实根。

3.二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）图像是一条抛物线，它与x轴的交点有几种可能的情况？
4.回顾一次函数与一元一次方程的关系：一次函数y=-x+5与x轴的交点坐标是（5,0），一元一次方程-x+5=0的解是
x=5.你发现了什么？
5.回顾一次函数与二元一次方程组的关系：一次函数y=-x+5与y=2x-1的图像的交点坐标与方程组
x+y=5
2x-y=1
的解有什么关系？
利用类比的方法让学生在自学的基础上进行小组合作交流研究）
二）创设情境引入新课
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+vt+h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v(m/s)是抛出时的速度。

一个小球从地面被以40m/s速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么：
1）h与t的关系式是什么？
二）小球从高处落下，经过多少秒后落地？有哪些求解方法？
这是一个经典的物理问题，可以通过方程和图像两种方法来求解。

首先，我们可以根据物理公式，列出小球下落的高度与时间的关系式，然后解出小球落地所需的时间。

另外，我们也可以画出小球下落的图像，通过观察图像与x轴的交点来得出小球落地所需的时间。

三）合作探究：二次函数图象与x轴交点的个数与△关系
在这个环节中，学生将被分组，每组负责一行表格的填写。

通过观察二次函数的表达式和草图，学生可以发现二次函数与
x轴的交点个数与△的大小有关系。

当a>0时，二次函数与x
轴的交点个数与△的正负性相同，而当a<0时，二次函数与x
轴的交点个数与△的正负性相反。

通过小组之间的交流和讨论，学生可以更好地理解这个规律，并且加深对二次函数和一元二次方程之间联系的认识。

四）反思小结——二次函数与一元二次方程的联系
通过本节课的研究，学生可以更加深入地理解二次函数与一元二次方程之间的联系。

二次函数的图象与x轴的交点个数
与一元二次方程的△大小有关系，这个规律可以帮助我们更好地理解二次函数和一元二次方程之间的关系。

同时，学生也可以通过这个环节对本节课所学的知识点进行总结和归纳，加深对知识点的理解和记忆。

五）即时训练：
1.抛物线y=x2-(a+2)x+9与x轴只有一个交点，则a=6.
2.已知二次函数y=mx2-2x+1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围为m>0.
3.抛物线y=3x2+5x与两坐标轴交点的个数为（B）2个。

4.与x轴不相交的抛物线是（B）y=-2x2-6.
抛物线y=mx^2+(3-2m)x+m-2（m≠0）与x轴有两个不同的交点。

首先，我们需要求出m的取值范围，使得抛物线与x 轴有两个不同的交点。

通过求根公式，我们可以得到判别式
D=(3-2m)^2-4m(m-2)>0，即3m^2-10m+4>0.解得m∈(2/3.2)。

接下来，我们需要判断点P(1,1)是否在此抛物线上。

将x=1代
入抛物线方程得y=m+1，因此当m=0时，点P(1,1)在此抛物线上。

回到一开始的小球上抛问题中，我们需要回答何时小球离地面的高度是60m。

实际上，这个问题涉及到二次函数
y=ax^2+bx+c与一元二次方程ax^2+bx+c=h的联系。

通过方程和图像，我们可以解决这个问题，进一步理解二次函数与一元二次方程的联系，即把函数值换成常数求一元二次方程的解。

课堂小结：通过本节课的研究，我们了解了二次函数与一元二次方程的联系，学会了求解抛物线与x轴的交点和判断点是否在抛物线上的方法。

同时，我们也掌握了通过方程和图像解决实际问题的方法，进一步提高了数学思维和应用能力。