2019-2020学年山东省泰安市肥城市高一下学期期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷
一、选择题（共8小题）
1．设i是虚数单位，复数z1＝1+2i，z2＝1﹣3i，那么z1+z2＝（）
A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i
2．（）
A．B．C．D．
3．若（x，﹣1），（﹣3，2），且∥，则x的值为（）A．B．C．2D．
4．2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军．中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌．颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）
A．中位数B．平均数C．方差D．极差
5．某工厂抽取100件产品测其重量（单位：kg）．其中每件产品的重量范围是[40，42]．数据的分组依据依次为[40，40，5），[40，5，41），[41，41，5），[41，5，42），据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40，41）内的产品件数为（）
A．30B．40C．60D．80
6．已知作用在坐标原点的三个力（3，4），（2，﹣5），（3，1），则作用在原点的合力的坐标为（）
A．（8，0）B．（8，8）C．（﹣2，0）D．（﹣2，8）7．已知a∈C，关于x的方程有实根，则|a|的最小值是（）A．2B．4C．8D．16
8．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则（）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列关系式中，一定成立的有（）
A．a sin B＝b sin A B．a＝b cos C+c cos B
C．a2+b2﹣c2＝2ab cos C D．b＝c sin A+a sin C
10．下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（）A．B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1+i D．z的虚部为﹣1
11．如图，已知点O为正六边形ABCDEF中心，下列结论中正确的是（）
A．与是共线向量B．
C．D．
12．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）
A．b＝10，A＝45°，C＝70°B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝7，b＝5，A＝80°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知（1，2），（﹣2，1），则的坐标为，（）•（）＝．
14．数据：18，26，27，28，30，32，34，40的75%分位数为．
15．某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为．
16．如图，定圆C半径为2，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C 不共线，且|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，则．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①b，sin B，，1，③c＝1，△ABC的面积是三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若______，cos A，求a的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．为了了解某校初三年级500名学生的体质情况，随机抽查了10名学生，测试1min仰卧起坐的成绩（次数），测试成绩如下：
30 35 42 33 34 36 34 37 29 40
（1）这10名学生的平均成绩是多少？标准差s是多少？
（2）次数位于与之间有多少名同学？所占的百分比是多少？（参考数据：3.82≈14.6）
19．在复平面内，复数z1，z2，z3对应的点分别为．（1）计算：，并求的模；
（2）求向量在向量上的投影向量，其中O为复平面的原点．
20．已知平面上三个向量的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°．（1）求证：；
（2）若|k|＞1 （k∈R），求k的取值范围．
21．已知复数ω（i是虚数单位），是ω的共轭复数．（1）证明：ω2；
（2）分别求ω3和ω2+ω+1的值；
（3）求（ω+2ω2）2+（2ω+ω2）2的值．
22．已知△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且（1）求数量积，，，；
（2）求△ABC的面积．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设i是虚数单位，复数z1＝1+2i，z2＝1﹣3i，那么z1+z2＝（）
A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i
【分析】利用复数的加法运算即可求解．
解：∵复数z1＝1+2i，z2＝1﹣3i，
∴z1+z2＝2﹣i，
故选：A．
【点评】本题主要考查了复数的基本运算，是基础题．
2．（）
A．B．C．D．
【分析】根据向量加减的运算性质直接计算即可．
解：
故选：D．
【点评】本题考查了向量的加减运算，是基础题．
3．若（x，﹣1），（﹣3，2），且∥，则x的值为（）A．B．C．2D．
【分析】若两个向量∥，则a1b2﹣a2b1＝0，又由向量（x，﹣1），（﹣3，2），将两个向量的坐标代入可得到一个关于x的方程，解方程易得x值．
解：∵向量（x，﹣1），（﹣3，2），且∥，
2x﹣3＝0
x
故选：B．
【点评】本题考查两个向量平行的充要条件的坐标形式，要记住两个向量平行的坐标形式的充要条件，注意数字的运算，本题是一个基础题．
4．2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军．中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌．颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）
A．中位数B．平均数C．方差D．极差
【分析】根据题意，由平均数、方差、中位数、极差的统计意义分析可得答案．
解：根据题意，从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，其中位数是不变的；
故选：A．
【点评】本题考查平均数、方差、中位数、极差的统计意义，注意平均数、方差、中位数、极差的定义．
5．某工厂抽取100件产品测其重量（单位：kg）．其中每件产品的重量范围是[40，42]．数
据的分组依据依次为[40，40，5），[40，5，41），[41，41，5），[41，5，42），据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40，41）内的产品件数为（）
A．30B．40C．60D．80
【分析】由频率分布直方图得重量在[40，41）内的频率为0.4．由此能求出重量在[40，41）内的产品件数．
解：由频率分布直方图得：
重量在[40，41）内的频率为：（0.1+0.7）×0.5＝0.4．
∴重量在[40，41）内的产品件数为0.4×100＝40．
故选：B．
【点评】本题考查产品件数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．已知作用在坐标原点的三个力（3，4），（2，﹣5），（3，1），则作用在原点的合力的坐标为（）
A．（8，0）B．（8，8）C．（﹣2，0）D．（﹣2，8）【分析】根据平面向量的坐标运算公式，计算即可．
解：（3，4），（2，﹣5），（3，1），
则（3+2+3，4﹣5+1）＝（8，0）．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算公式应用问题，是基础题．
7．已知a∈C，关于x的方程有实根，则|a|的最小值是（）A．2B．4C．8D．16
【分析】求出a的表达式，然后利用复数的模得到关系式，转化求解通过基本不等式求解函数的最值即可．
解：a∈C，关于x的方程有实根，
可得a＝x，
|a|4．当且仅当x＝6时取等号．
则|a|的最小值是：4．
故选：B．
【点评】本题考查函数的最值的求法，复数的模的运算法则以及基本不等式的应用，是中档题．
8．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则（）
A．B．
C．D．
【分析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．
解：如图所示的Rt△ABC，其中角B为直角，则垂心H与B重合，
∵O为△ABC的外心，∴OA＝OC，即O为斜边AC的中点，
又∵M为BC中点，∴，
∵M为BC中点，∴
．故选：D．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，解题的关键是找到符合题意的欧拉三角形，考查学生分析问题的能力和推理论证能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列关系式中，一定成立的有（）
A．a sin B＝b sin A B．a＝b cos C+c cos B
C．a2+b2﹣c2＝2ab cos C D．b＝c sin A+a sin C
【分析】对于A由正弦定理可得a sin B＝b sin A．即可判断是否成立；
对于B由于sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B，根据正弦定理可得a＝b cos C+c cos B，即可判断是否成立；
对于C由余弦定理可得：a2+b2﹣c2＝2ab cos C；即可判断是否成立；
对于D由正弦定理可得c sin A＝a sin C，b＝c sin A+a sin C＝2c sin A不一定成立．
解：对于A，由正弦定理，可得a sin B＝b sin A，故成立；
对于B，由于sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B，根据正弦定理可得a＝b cos C+c cos B，故成立；
对于C，由余弦定理可得a2+b2﹣c2＝2ab cos C，故成立；
对于D，由正弦定理可得c sin A＝a sin C，可得：b＝c sin A+a sin C＝2c sin A不一定成立．综上可得：只有ABC成立．
故选：ABC．
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力，属于基础题．10．下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（）A．B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1+i D．z的虚部为﹣1
【分析】利用复数的运算法则可得复数1﹣i，进而判断出结论．
解：复数1﹣i，
∴|z|，z2＝（﹣1﹣i）2＝2i，1+i，z的虚部为﹣1．
其中真命题为ABD．
故选：ABD．
【点评】本题考查了复数的运算性质及其有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．如图，已知点O为正六边形ABCDEF中心，下列结论中正确的是（）
A．与是共线向量B．
C．D．
【分析】根据正六边形的性质，运用平面向量的运算法则逐项判断即可．
解：∵点O为正六边形ABCDEF中心，
所以：；故A对；
∴，故B对；
∴（）•（）＝（）•（）＝（）•（）＝（）••0；故C对；
因为；
∴（•）（•）成立，即D对；
故选：ABCD．
【点评】本题考查平面向量的加减混合运算，考查向量相等的定义，考查平面向量的数量积公式，属于基础题．
12．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）
A．b＝10，A＝45°，C＝70°B．b＝45，c＝48，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝7，b＝5，A＝80°
【分析】在△ABC中，已知a，b和角A时，A为锐角，则由正弦定理可得当b sin A＜a ＜b时，三角形有两解，由此逐项判断即可得解．
解：选项B满足c sin60°＜b＜c，选项C满足b sin45°＜a＜b，所以B，C有两解，对于选项A，可求B＝180°﹣A﹣C＝65°，三角形有一解，
对于选项D，由sin B，且b＜a，可得B为锐角，只有一解，三角形只有一解．
故选：BC．
【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知（1，2），（﹣2，1），则的坐标为（﹣1，3），（）•（）＝0．
【分析】根据向量坐标表示的和差运算性质，以及平面向量数量积运算性质代入计算即可．
解：由题得（1，2）+（﹣2，1）＝（﹣1，3），
又（1，2）﹣（﹣2，1）＝（3，1）
所以（）•（）＝（﹣1，3）•（3，1）＝﹣3+3＝0，
故答案为：（﹣1，3），0．
【点评】本题考查向量的坐标运算，考查平面向量数量积的运算性质，属于基础题．14．数据：18，26，27，28，30，32，34，40的75%分位数为33．【分析】根据一组数据的75%分位数的定义，求出即可．
解：根据分位数定义知，8×75%＝6，
所以数据18，26，27，28，30，32，34，40的75%分位数是
33．
故答案为：33．
【点评】本题考查了分位数的定义与应用问题，是基础题．
15．某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为8．
【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率值，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到女运动员要抽取得人数．
解：∵某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人，
∴这支田径队共有45+36＝81人，
用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为18的样本，
∴每个个体被抽到的概率是，
∵女运动员36人，
∴女运动员要抽取368人，
故答案为：8．
【点评】本题考查分层抽样，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，本题是一个基础题．
16．如图，定圆C半径为2，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C 不共线，且|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，则4．
【分析】对||≥||＝||两边平方，并设•m，整理可得关于t 的一元二次不等式，再由不等式恒成立思想，运用判别式小于等于0，求得m的值．解：||≥||＝||，
两边平方可得，2t•t22•，
设•m，
则22t2﹣2tm﹣（22﹣2m）≥0，
又|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，
则判别式△＝4m2+4×4（4﹣2m）≤0，
化简可得（m﹣4）2≤0，
解得m＝4，
即•4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，以及不等式恒成立问题，是综合题．
一、选择题
17．在①b，sin B，，1，③c＝1，△ABC的面积是三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若______，cos A，求a的
值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】直接利用三角函数同角三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．解：选①，
当①b，sin B，cos A，
所以，
利用正弦定理，整理得．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18．为了了解某校初三年级500名学生的体质情况，随机抽查了10名学生，测试1min仰卧起坐的成绩（次数），测试成绩如下：
30 35 42 33 34 36 34 37 29 40
（1）这10名学生的平均成绩是多少？标准差s是多少？
（2）次数位于与之间有多少名同学？所占的百分比是多少？（参考数据：3.82≈14.6）
【分析】（1）先求出10名学生的平均成绩，从而能求出方差，进而能求出标准差．（2）由，，求出次数位于与之间的有6位同学，从而能求出所占的百分比．
解：（1）10名学生的平均成绩为：
．
方差：，
即标准差．
（2），，
所以次数位于与之间的有6位同学，
所占的百分比是．
【点评】本题考查平均数、标准差的求法及应用，考查平均数、方差等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．
19．在复平面内，复数z1，z2，z3对应的点分别为．（1）计算：，并求的模；
（2）求向量在向量上的投影向量，其中O为复平面的原点．
【分析】（1）由题意可知：，利用复数的运算性质、模的运算性质即可得出．
（2）由题意可知：．设向量和的夹角为α，cosα2，进而得出结论．
解：（1）由题意可知：，………………………………………
∴，………………
．……………………………………………………………
（2）由题意可知：．……………………………………
设向量和的夹角为α，
cosα2
即向量在向量上的投影向量是．…………………………………………
【点评】本题考查了复数的运算性质及其几何意义、向量投影，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20．已知平面上三个向量的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°．（1）求证：；
（2）若|k|＞1 （k∈R），求k的取值范围．
【分析】（1）利用向量的分配律及向量的数量积公式求出；利用向量的数量积为0向量垂直得证．
（2）利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式将已知等式平方得到关于k 的不等式求出k的范围．
解：（1）证明∵||•||•cos120°﹣||•||•cos120°＝0，∴．
（2）解|k|＞1⇔1，
即1．
∵||＝||＝||＝1，且相互之间的夹角均为120°，
∴1，，
∴k2+1﹣2k＞1，即k2﹣2k＞0，
∴k＞2或k＜0．
【点评】本题考查向量垂直的充要条件、向量模的平方等于向量的平方、向量的数量积公式．
21．已知复数ω（i是虚数单位），是ω的共轭复数．
（1）证明：ω2；
（2）分别求ω3和ω2+ω+1的值；
（3）求（ω+2ω2）2+（2ω+ω2）2的值．
【分析】（1）由是ω的共轭复数，可得i．计算ω2，即可证明结论．
（2）由ω3＝ω2•ω，由（1）可得：ω3•ω代入计算即可得出．ω2+ω+1ω+1，代入计算即可得出．
（3）由（ω+2ω2）2+（2ω+ω2）2＝ω2+4ω3+4ω4+4ω2+4ω3+ω4，利用（1）（2）代入即可得出．
解：（1）证明：∵是ω的共轭复数，
∴i．………………………………………………………………………（1分）∴ω2i i．…………
∴ω2．…………………………………………………………………………………（2）∵ω3＝ω2•ω，……………………………………………………………
∴由（1）可得：ω3•ω＝（i）（i）1．……
∴ω2+ω+1ω+1＝（i）+（i）+1＝0．………………………
（3）∵（ω+2ω2）2+（2ω+ω2）2＝ω2+4ω3+4ω4+4ω2+4ω3+ω4，……………
∴由（1）（2）得：ω2+4ω3+4ω4+4ω2+4ω3+ω4＝5ω2+5ω+8＝3，
∴（ω+2ω2）2+（2ω+ω2）2＝3．………………………………………………………
【点评】本题考查了复数的运算性质及其有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
22．已知△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且
（1）求数量积，，，；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）先根据向量的数量积运算对所求的式子移到右面一项后两边同时平方可求．
（2）由已知得sin∠AOB＝1，sin∠AOC，sin∠BOC，△ABC的面积S＝S△AOB+S
+S△BOC．由此能求出结果．
△AOC
解：（1）∵，且外接圆的半径r＝1，
∴25．
∴，
∴
同理可得，，．
（2）∵，，．
△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

--培根
∴cos∠AOB0，cos∠AOC，cos∠BOC，
∴sin∠AOB＝1，sin∠AOC，sin∠BOC，
∴，
，
，
∴△ABC的面积S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC．
【点评】本题主要考查向量的数量积运算和三角形的面积公式．三角函数和向量的综合题是高考的重点和热点，要给予重视．
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