人教版八年级数学下册 第十九章 一次函数 知识点汇总
人教版八年级下册数学知识点归纳：第十九章一次函数
人教版八年级下册数学知识点归纳第十九章一次函数一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。
二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．点滴学堂整理三、函数中自变量取值范围的求法：（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。
（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．五、用描点法画函数的图象的一般步骤1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
）注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
六、函数有三种表示形式：点滴学堂整理（1）列表法（2）图像法（3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.八、正比例函数的图象与性质：（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。
八年级数学下册第十九章一次函数知识点总结归纳完整版(带答案)
八年级数学下册第十九章一次函数知识点总结归纳完整版单选题1、已知函数y=2x−1x+2,当x=a时的函数值为1，则a的值为（）A．3B．－1C．－3D．1答案：A分析：当x=a时的函数值为1，把x=a代入函数式中，得2a−1a+2=1求解a=3．∵函数y=2x−1x+2中，当x=a时的函数值为1，∴2a−1a+2=1，∴2a−1=a+2，∴a=3.故答案为A小提示：此题考查函数值, 令y=1,解分式方程，即可求出2、在平面直角坐标系中，点A(3,0)，B(0,4)．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（）A．y=−17x+4B．y=−14x+4C．y=−12x+4D．y=4答案：A分析：过点D作DE⊥x轴于点E，先证明△ABO≅△DAE(AAS)，再由全等三角形对应边相等的性质解得D(7,3)，最后由待定系数法求解即可．解：正方形ABCD中，过点D作DE⊥x轴于点E，∵∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠DAE=90°∴∠ABO=∠DAE∵∠BOA=∠AED=90°,AB=AD∴△ABO≅△DAE(AAS)∴AO=DE=3,OB=AE=4∴D(7,3)设直线BD所在的直线解析式为y=kx+b(k≠0)，代入B(0,4)，D(7,3)得{b=47k+b=3∴{k=−1 7b=4∴y=−17x+4，故选：A．小提示：本题考查待定系数法求一次函数的解析式，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3、若x=2是关于x的方程mx+n=0(m≠0,n>0)的解，则一次函数y=−m(x−1)−n的图象与x轴的交点坐标是（）A．(2,0)B．(3,0)C．(0,2)D．(0,3)答案：B分析：直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标．解：∵方程的解为x=2，∴当x=2时mx+n=0；∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），故选：B．小提示：本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．4、如图所示，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点P(3,2)，则方程kx+b=2的解是（）A．x=1B．x=2C．x=3D．无法确定答案：C分析：将点P(3,2)代入直线解析式，然后与方程对比即可得出方程的解．解：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点P(3,2)，∴2=3k+b，∴x=3为方程2=kx+b的解，故选：C．小提示：题目主要考查一次函数与一元一次方程的联系，理解二者联系是解题关键．5、现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）（小时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，y的值为（）A．3.2米B．4米C．4.2米D．4.8米答案：A分析：先利用待定系数法求出两个蓄水池的函数解析式，再联立求出交点坐标即可得．解：设甲蓄水池的函数解析式为y=kx+b，由题意，将点(3,0),(0,4)代入得：{3k+b=0b=4，解得{k=−43b=4，则甲蓄水池的函数解析式为y=−43x+4，同理可得：乙蓄水池的函数解析式为y=2x+2，联立{y=−43x+4y=2x+2，解得{x=0.6y=3.2，即当甲、乙两池中水的深度相同时，y的值为3.2米，故选：A．小提示：本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．6、在函数y=2x−3中，当自变量x=5时，函数值等于（）A．1B．4C．7D．13答案：C分析：把x=5代入y=2x−3求解即可．解：把x=5代入y=2x−3得y=2×5-3=7，故选：C．小提示：本题考查求函数值，属基础题目，难度不大．7、若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，则该函数图象经过的象限是（）A．第一、三象限B．第一、四象限C．第二、三象限D．第二、四象限答案：D分析：根据正比例函数的定义知，m2−1=0且m−1≠0，由此可求得m的值，从而可知正比例函数图象所经过的象限．由题意知：m2−1=0且m−1≠0由m2−1=0得：m=±1由m−1≠0得：m≠1∴m=-1此时正比例函数解析式为y=－2x∵－2<0∴函数图象经过第二、四象限故选：D．小提示：本题考查了正比例函数的概念，把形如y=kx（k≠0）的函数称为正比例函数，掌握正比例函数概念是解题关键．特别注意一次项系数不为零．8、在平面直角坐标系中，直线l1与l2关于直线y=1对称，若直线l1的表达式为y=−2x+3，则直线l2与y轴的交点坐标为（）A．(0,12)B．(0,23)C．(0,0)D．(0,−1)答案：D分析：先求解y=−2x+3与x,y轴的交点B,A坐标，再求解A关于y=1的对称点A′的坐标即可得到答案．解：如图，∵y=−2x+3，令x=0,y=3,令y=0,x=32,∴A(0,3),B(3,0),2作A,B关于直线y=1对称的点A′,B′,∵直线l1与l2关于直线y=1对称，即上图中的直线AB与直线A′B′关于直线y=1对称，∴x A=x A′=0,y A−1=1−y A′,∴y A′=−1,∴A′(0,−1),所以直线l2与y轴的交点坐标为：(0,−1).故选：D.小提示：本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点的坐标，坐标与图形，轴对称的坐标变化，掌握数形结合的方法是解题的关键．9、直线y＝kx+2过点（﹣1，4），则k的值是（）A．﹣2B．﹣1C．﹣1D．24答案：A分析：由直线y＝kx+2过点（﹣1，4），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．解：∵直线y＝kx+2过点（﹣1，4），∴4＝﹣k+2，∴k＝﹣2．故选：A．小提示：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b 是解题的关键．10、如图，已知A(1,3)，B(5,1)，若直线y=kx+1与线段AB有公共点，则k的取值范围是（）A．k≠0B．k>1C．0≤k≤1D．0≤k≤2答案：D分析：先求出直线过点A、B的k值，再结合图象即可求得k的取值范围．解：当直线y=kx+1过点A（1，3）时，则k+1=3，解得：k=2，当直线y=kx+1过点B（5，1）时，则5k+1=1，解得：k=0，当x=0时，y=1，则直线经过定点（0，1），∵直线y=kx+1与线段AB有公共点，∴0≤k≤2，故选：D．小提示：本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键．填空题11、如图，A(−2,1),B(2,3)是平面直角坐标系中的两点，若一次函数y=kx−1的图象与线段AB有交点，则k 的取值范围是_______．答案：k<-1或k>2分析：将A、B点坐标分别代入计算出对应的k值，然后利用一次函数图象与系数的关系确定k的范围．解：当直线y=kx-1过点A时，得-2k-1=1，解得k=-1，当直线y=kx-1过点B时，得2k-1=3，解得k=2，∵一次函数y=kx−1的图象与线段AB有交点，∴k<-1或k>2，所以答案是：k<-1或k>2．小提示：此题考查了一次函数图象与系数的关系：当k>0时，图象过第一、三象限，y随x的增大而增大，越靠近y轴正半轴k值越大；当k<0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小越靠近y轴正半轴k值越小．12、某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为x 元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为______．答案： 3 y=4x+2##y=2+4x分析：根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解．解：∵14>10，∴超过2千克，设购买了a千克，则2×5+(a−2)×0.8×5=14，解得a=3，设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为：y=2×5+(x−2)×5×0.8=10+4x−8=4x+2，所以答案是：3，y=4x+2．小提示：本题考查了一元一次方程的应用，列函数解析式，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键．13、张老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票的总费用为y元，则y＝__________________，当学生有45人时，需要的总费用为________元．答案： 10＋5x(x为正整数), 235分析：总费用=成人票用钱数+学生票用钱数，根据关系列式即可．根据题意可知y=5x+10．当x=45时，y=45×5+10=235元.故答案为5x+10；235.小提示：解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．关系为：总费用=成人票用钱数+学生票用钱数．14、已知一次函数y ＝（2m ＋1）x ＋m ﹣3的图象不经过第二象限，则m 的取值范围为______．答案：−12<m ⩽3 分析：根据一次函数图象经过的象限可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围． 解：∵一次函数y =(2m +1)x +m −3的图象不经过第二象限，∴该图象经过第一、三象限或第一、三、四象限，{2m +1>0m −3≤0，解得：﹣12＜m ≤3． 所以答案是：﹣12＜m ≤3．小提示：本题考查了一次函数的性质及解不等式组，解题的关键是熟知一次函数的性质并正确的应用．15、正比例函数的图像过A 点，A 点的横坐标为3．且A 点到x 轴的距离为2，则此函数解析式是___________________ ．答案：y =23x 或y =-23x分析：根据题意确定A 点纵坐标是2或者-2，设出正比例函数解析式，然后分情况将A 点坐标代入解析式即可求出．根据题意可得A 点坐标(3,2)或(3，-2)，设正比例函数解析式为：y=kx ，代入解析式可得：k=23或-23，∴函数解析式是y =23x 或y =-23x ．所以答案是：y =23x 或y =-23x ．小提示：本题主要考查了正比例函数解析式，根据题意确定点A 的坐标是解题的关键．解答题16、已知函数y=(5m−3)x2−n+(m+n)，(1)当m、n为何值时，此函数是一次函数？(2)当m、n为何值时，此函数是正比例函数？答案：(1)n=1，m≠35(2)n=1，m=-1分析：（1）根据一次函数的定义知2−n=1，且5m−3≠0，据此可以求得m、n的值；（2）根据正比例函数的定义知2−n=1，m+n=0，据此可以求得m、n的值．（1）解：当函数y=(5m−3)x2−n+(m+n)是一次函数时，2−n=1，且5m−3≠0，解得，n=1，m≠35；（2）解：当函数y=(5m−3)x2−n+(m+n)是正比例函数时，{2−n=1 m+n=05m−3≠0，解得，n=1，m=−1．小提示：本题考查了一次函数、正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式．17、今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．答案：（1）这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元．分析：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，分别表示出两种树苗的数量，根据“每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵”列方程即可求解；（2）设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w，得到w与t的关系式，根据题意得到t的取值范围，根据函数增减性即可求解．解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意，得6300.9x −6001.2x=10，解之，得x=20．经检验知，x=20是原分式方程的根，并符合题意．答：这一批树苗平均每棵的价格是20元．（2）由（1）可知A种树苗每棵价格为20×0.9=18元，种树苗每棵价格为20×1.2=24元，设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w，则w=18t+24(5500−t)=−6t+132000．∵w是t的一次函数，k=−6<0，w随着t的增大而减小，t≤3500，∴当t=3500棵时，w最小．此时，B种树苗有5500−3500=2000棵，w=−6×3500+132000=111000．答：购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元．小提示：本题考查了分式方程的实际应用，一次函数实际应用，不等式应用等问题，根据题意得到相关“数量关系”，根据数量关系得到方程或函数解析式是解题关键．18、某市出租车的计费标准如下：行驶路程不超过5 km时，收费8元，行驶路程超过5 km的部分，按每千米1.5元计费．（1）求出租车收费y(元)与行驶路程x(km)之间的函数关系式；（2）若某人一次乘出租车付出了车费11元，求他这次乘坐了多少千米的路程？答案：（1）y={8(0<x≤5)1.5x+0.5(x>5)；（2）若某人一次乘出租车付出了车费11元，则这次乘坐了7km的路程．分析：（1）要先根据行驶路程的距离是否超出5千米来进行分类讨论，然后分别列出函数解析式即可；（2）先根据车费判断出此人的大概行驶路程，然后根据（1）中得出的不同的函数，看符合哪种情况，然后代入其中求出此人乘坐的路程．解：（1）由题意得：当0＜x≤5时，y=8当x＞5时，y=8+1.5(x-5)=1.5x+0.5∴出租车收费y元与行驶路程x（km）之间的函数关系式为y={8(0<x≤5)1.5x+0.5(x>5)(2) ∵11元＞8元.∴y=11时，1.5x+0.5=11，解得x=7，∴若某人一次乘出租车付出了车费11元，则这次乘坐了7km的路程．.小提示：本题主要考查一次函数关系式的应用问题．注意自变量的取值范围不能遗漏，不同的取值要进行分类讨论．。
人教八年级数学下册-第十九章一次函数章末复习
得：
92k+b=40，
解得：
k= 1 ，
4
100k+b=42，
b=17，
∴y与x之间的函数关系式为y= 1 x+17；
4
号/型 … 170/84 170/88 175/92 175/96 180/100 …
码数 … 38
39
40
41
42
…
(2)若某人的净胸围为108厘米，则该人应买
多大码数的衬衫？
1.一次函数y=(m-2)x+3m-3的图象经过第 一、二、四象限, 求m得取值范围.
∵一次函数y=(m-2)x+3m-3的图象经过第一、 二、四象限,
m-2＜0， ∴ 3m-3＞0， 解得： 1 ＜m＜ 2， ∴m的取值范围是1 ＜m＜ 2.
2.直线y=-2x+a经过(3, y1)和(-2, y2)两点, 则y1和y2的大小关系是( )
∴点B的坐标为(0，±2)，
设直线解析式为y=kx±2，
∵直线经过点(-4，0)，
B.
∴0=-4k±2，解得k=±
1 2
，
.
2
A(-4,0) O
x
∴直线的解析式为y=
1 2
x+2或y=-
1 2
x-2.
2.把直线y=2x-1向上平移2各单位，所得
直线的解析式是:
.
分析: 由“上加下减”的原则可知，直线 y=2x-1向上平移2个单位，所得直线解析 式为y=2x-1+2，即y=2x+1.
y=kx+b
b>0 k＞0 b=0
b<0 b>0 k＜0 b=0 b<0
图象经过的象限
人教版八年级数学下册第十九章 一次函数知识总结
一次函数（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。
*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、确定自变量的取值范围方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
4、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 6、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
7、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
（二）一次函数 1、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小倾斜度：|k|越大，越接近y 轴； 2、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ¹）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
新人教版八年级数学下册第19章一次函数 全章知识点归纳总结
一次函数 全章知识点归纳总结1．函数的概念：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．在某一变化过程中，有两个量，如和，对于的每一个值，都有惟一的值与之对应，其中是自变x y x y x 量，是因变量，此时称是的函数．y y x 1：下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是：【 】2．表示方法（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．如：，．30S t =2S R π=（2）列表法：通过列表表示函数的方法．（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．3．关于函数的关系式(解析式)的理解：（1）函数关系式是等式．例如就是一个函数关系式．4y x =（2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：中是自变量，是的函数．y =x y x （3）函数关系式在书写时有顺序性．例如：是表示是的函数，若写成就表示是的函数． 31y x =-+y x 13yx -=x y （4）求与的函数关系时，必须是只用变量的代数式表示，得到的等式右边只含的代数式．y x x y x4．自变量的取值范围：很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如中，自变量受到开y =x 平方运算的限制，有即；10x -≥1x ≥当汽车行进的速度为每小时公里时，它行进的路程与时间的关系式为；这里的实际意义影80s t 80s t =t 响的取值范围应该为非负数，即．t t 0t ≥在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：（1）整式型：一切实数（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（3）分式型：分母不为．0（4）复合型：不等式组（5）应用型：实际有意义即可例题4：函数中的自变量x 的取值范围是【 】12-+=x x y A 、x ≥－2 B 、x ≠1 C 、x ＞－2且x ≠1 D 、x ≥－2且x ≠1例题5：函数中的自变量x 的取值范围为_________________242412----=x x x y 例题6：函数中的自变量x 的取值范围为_________________748142---=x x x y 例题7：若等腰三角形周长为30，一腰长为a ，底边长为L ，则L 关于a 的函数解析式为 .5．函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．6．函数图像的位置决定两个函数的大小关系：（1）图像在图像的上方1y 2y ⇔21y y >（2）图像在图像的下方1y 2y ⇔21yy <xx（3）特别说明：图像在x 轴上方；图像在x 轴下方y 0>⇔y y 0<⇔y 例题8：直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为【 】A 、x ＞1B 、x ＜1C 、x ＞－2D 、x ＜－2例题9：如图，直线与轴交于点，关于的不等式的解集是(0)y kx b k =+<x (30)，x 0kx b +>【 】A ．B ．C ．D ．3x <3x >0x >0x <7．描点法画函数图象的步骤：（1）列表； （2）描点； （3）连线．例题10：画出函数的图像42+=x y 8．函数解析式与函数图象的关系：（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；（2）函数图象上点的坐标满足函数解析式．9．验证一个点是否在图像上方法：代入、求值、比较、判断例题11：下列各点中，在反比例函数y ＝图象上的是【 】6xA ．（－2，3）B ．（2，－3）C ．（1，6）D ．（－1，6）10．一次函数及其性质知识点一：一次函数的定义一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即y kx b =+k b 0k ≠0b =y kx =是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形y kx b =+式．⑵当，时，仍是一次函数．0b =0k ≠y kx =⑶当，时，它不是一次函数．0b =0k =⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．知识点二：一次函数的图象及其画法⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．y kx b =+0k ≠k b ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；()00，()1k ，②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．0b ≠()0b ，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直y kx b =+()x y ，线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所l l ()x y ，y kx b =+l y kx b =+以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．y kx b =+l y kx b =+y kx b =+知识点三：一次函数的性质⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；0k >y kx b =+y x ⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．0k <y kx b =+y x 知识点四：一次函数的图象、性质与、的符号y kx b =+k b 一次函数()0k kx b k =+≠0k >0k <，符号k b 0b >0b <0b =0b >0b <0b =倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴图像的平移：b ＞0时，将直线y ＝kx 的图象向上平移b 个单位，对应解析式为：y ＝kx ＋b b ＜0时，将直线y ＝kx 的图象向下平移个单位，对应解析式为：y ＝kx －b b 口诀：“上＋下－”将直线y ＝kx 的图象向左平移m 个单位，对应解析式为：y ＝k （x ＋m ）将直线y ＝kx 的图象向右平移m 个单位，对应解析式为：y ＝k （x －m ）口诀：“左＋右－”知识点五：用待定系数法求一次函数的解析式⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或x y ，方程组；③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．例题12：一次函数的图象只经过第一、二、三象限，则【 】y kx b =+A ．B ． C ． D ．00k b <>，00k b >>，00k b ><，00k b <<，例题13：如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么【 】y kx b =+y A ．，B ．，C ．，D ．，0k >0b >0k >0b <0k <0b >0k <0b <例题14：已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），求该函数的图象与轴交点的坐标.y例题15：已知一次函数，试说明：不论k 为何值，这条直线总要经过一011)3()12(=+-+--k y k x k 个定点，并求出这个定点.例题16：一次函数y ＝ax ＋b 的图像关于直线y ＝－x 轴对称的图像的函数解析式为____ __ 例题17：某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程（单位：千米）与所用时间（单y x 位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时．（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象．y x （2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）（3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程．例题18：已知某一次函数当自变量取值范围是2≤y≤6时，函数值的取值范围是5≤x≤9．求此一次函数的解析式．例题19：已知一次函数y ＝ax ＋4与y ＝bx －2的图象在x 轴上相交于同一点,则的值是【 】baA 、4B 、－2C 、D 、－1212例题20：求直线y ＝2x －1与两坐标轴所围成的三角形面积.11．直线（）与（）的位置关系11b x k y +=01≠k 22b x k y +=02≠k （1）两直线平行且⇔21k k =21b b ≠（2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合且⇔21k k =21b b =（4）两直线垂直⇔121-=k k 例题21：已知一次函数，另一条直线与之平行，且与坐标轴所围成的三角形面积为8，求此一1+=x y 次函数解析式.12．一次函数与一元一次方程的关系：直线与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解.求直线与y b k 0kx =+≠（）b 0(0)kx k +=≠y b kx =+x 轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x 轴于，0y =b 0kx +=x bk =-y b kx =+(,0)b k -b k-就是直线与x 轴交点的横坐标.y b kx =+13．一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次a b 0x +>a b 0x +<b a 、0a ≠不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.。
人教版初二下册数学第19章《一次函数》讲义第19讲一次函数的图象及性质(1)(有答案)
人教版初二下册数学第19章《一次函数》讲义第19讲一次函数的图象及性质（1）（有答案）〔1〕形如y=kx ＋b (k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.由于当b=0时，y=kx ，那么y 叫做x 的正比例函数，所以〝正比例函数是特殊的一次函数〞。
〔2〕正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而失掉〔当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移,〕普通地，形如y=kx (k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数普通方式 y=kx 〔k 不为零〕① k 不为零； ② x 指数为1； ③ b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx 〔k 是常数，k≠0〕(2) 必过点：〔0，0〕、〔1，k 〕(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限； k<0时，•图像经过二、四象限(4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴普通地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.注：一次函数普通方式 y=kx+b (k 不为零)① k 不为零； ②x 指数为1； ③ b 取恣意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过〔0，b 〕和〔－kb ，0〕两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度失掉.〔当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移〕〔1〕解析式：y=kx+b (k 、b 是常数，k ≠0)〔2〕必过点：〔0，b 〕和〔-kb ，0〕 〔3〕走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 〔4〕增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.〔5〕倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.〔6〕图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.考点1、一次函数〔正比例〕的定义例1、在糖水中继续放入糖x 〔g 〕、水y 〔g 〕，并使糖完全溶解，假设甜度坚持不变，那么y 与x 的函的函数关系一定是〔 〕A 、正比例函数B 、正比例函数C 、图象不经过原点的一次函数D 、二次函数例2、直角三角形两个锐角∠A 与∠B 的函数关系是〔 〕A 、正比例函数B 、一次函数C 、正比例函数D 、二次函数 例3、假定y=〔m －3〕x+1是一次函数，那么〔 〕A 、m=3B 、m=－3C 、m≠3D 、m≠－3例4、以下效果中，是正比例函数的是〔 〕A 、矩形面积固定，长和宽的关系B 、正方形面积和边长之间的关系C 、三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系D 、匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系例5、假定函数y=－2x m+2+n －2是正比例函数，那么m 的值是_____，n 的值为_____． 例6、我们知道，海拔高度每上升1km ，温度下降6℃．某时辰测量我市空中温度为20℃．设高出空中xkm 处的温度为y ℃，那么y 与x 的函数关系式为 ，y_____x 的一次函数〔填〝是〞或〝不是〞〕．例7、y=〔k －1〕x IkI +〔k 2－4〕是一次函数．〔1〕求k 的值； 〔2〕求x=3时，y 的值； 〔3〕当y=0时，x 的值．例8、红星机械厂有煤80吨，每天需烧煤5吨，求工厂余煤量y 〔吨〕与烧煤天数x 〔天〕之间的函数表达式，指出y 是不是x 的一次函数，并求自变量x 的取值范围． 例9、举一反三：1、以下函数中，是一次函数的有〔 〕A 、xy 2 B 、X －1=0 C 、y=2〔x －1〕 D 、y=x 2+1 2、y=〔m －1〕x |m|+3m 表示一次函数，那么m 等于〔 〕A 、1B 、－1C 、0或－1D 、1或－13、假定函数y=〔k －1〕x+k 2－1是正比例函数，那么k 的值是〔 〕A 、－1B 、1C 、－1或1D 、恣意实数4、当自变量x= 时，正比例函数y=〔n+2〕x n 的函数值为3．5、函数y=3x+1，当自变量添加3时，相应的函数值添加______。
人教版八年级下册数学 第19章《一次函数》讲义 第17讲 函数的认识
第17讲函数的认识1、在一个变化过程中，数值保持不变的量叫常量，数值发生改变的量叫变量。
2、实际上，常量就是具体的数，变量就是表示数的字母。
（注意“π”是常量）函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
1、例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。
2、对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是11、当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有唯一确定值与之相对应，我们称这种关系为确定性的函数关系。
2、两个变量x，y,用一个等式表示出来，如果x取一个值，y都有唯一的值和他对应。
就是y与x的函数关系式。
1、自变量与函数在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果x每取一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫自变量，y叫x的函数。
2、函数值如果x=a时，y=b，那么把“y=b叫做x=a时的函数值”。
3、自变量取值范围的确定方法（1）、自变量的取值范围必须使解析式有意义。
当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数；当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的所有实数。
（2）、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
4、确定函数取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义考点1、常量与变量例1、一个长方形的面积是10cm2，其长是acm，宽是bcm，下列判断错误的是（）A、10是常量B、10是变量C、b是变量D、a是变量例2、假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是（）①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量．A、1个B、2个C、3个D、4个例3、“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，______随______变化而变化，其中自变量是______，因变量是______．例4、在公式s=v0t+2t2（v0为已知数）中，常量是，变量是．例5、下列是某报纸公布的世界人口数据情况：（1）表中分别有几个变量？（2）你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？（3）如果用x表示时间，y表示世界人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？（4）世界人口每增加10亿，所需的时间是怎样变化的？例6、在烧开水时，水温达到l00℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：（1）上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？（3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？（4）时间为8分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？（5）根据表格，你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少？（6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？1、在圆周长计算公式C=2πr中，对半径不同的圆，变量有（）A、C，rB、C，π，rC、C，πD、C，2π，r2、以固定的速度v0（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度h（米）与小球的运动的时间t（秒）之间的关系式是h=v0t－4.9t2，在这个关系式中，常量、变量分别为（）A、4.9是常量，t、h是变量B、v0是常量，t、h是变量C、v0、－4.9是常量，t、h是变量D、4.9是常量，v0、t、h是变量3、如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S （m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么S，p，a中是变量的是（）A、S和pB、S和aC、p和aD、S，p，a4、某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中是自变量，是因变量。
人教版数学八年级下册第十九章一次函数《-一次函数》)精选全文
探究新知 观察以上出现的四个函数解析式，它们是不是正比例函
数，那么它们共同的特征如何表示呢？ （1） c = 7 t - 35 （2） G = h -105 （3） y = 0.1 x + 22 （4） y = -5 x + 50
y = k(常数)x + b（常数）
探究新知
一般地，形如y=kx+b （k， b 是常数，k≠0）的函数，叫 做一次函数.
(2)当x＝2.5时， y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
课堂检测
能力提升题
我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于
5000元的部分不收税；月收入超过5000元但低于8000元的部分 征收3%的所得税……如某人月收入5360元,他应缴个人工资、 薪金所得税为:（5360-5000）×3%=10.8元. (1)当月收入大于5000元而又小于8000元时,写出应缴所得税
连接中考
根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃； 又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m （℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃） （1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式； （2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻， 她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为﹣26℃时， 飞机距离地面的高度为7km，求当时这架飞机下方地面的气温；
答：画正比例函数y=kx(k≠0）的图像，一般地， 过原点和点（1，k). 【思考】能用这种方法作出一次函数的图象吗？
素养目标
3. 能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关 问题. 2.能从图象角度理解正比例函数与一次函数的 关系.
1. 会画一次函数的图象，能根据一次函数的图 象理解一次函数的增减性 .
八年级数学下册第19章一次函数19.2一次函数19.2.3一次函数与方程不等式人教版
知识点三 一次函数与二元一次方程(组)的关系
5.一次函数y=7-4x和y=1-x的图象的交点坐标为
,则方程组
4x
x
y
y 1
7, 的解为
.
答案
x 2
(2,-1);
y
1
解析 在同一直角坐标系中作出一次函数y=7-4x与y=1-x的图象,如图
所示,由图象可知交点坐标为(2,-1).由y=7-4x,得4x+y=7.由y=1-x,得x+y=
图19-2-3-2 由图象可以看出:当x>-3时,这条直线上的点在x轴上方, ∴不等式3x+2>2x-1的解集为x>-3.
解法二:在同一直角坐标系中分别画出函数y=3x+2与函数y=2x-1的图象 (如图19-2-3-3所示),可以看出,它们交点的横坐标为-3.
图19-2-3-3
当x>-3时,对于同一个x值,直线y=3x+2上的点总在直线y=2x-1上相应点 的上方,此时3x+2>2x-1,故不等式3x+2>2x-1的解集为x>-3. 温馨提示 一元一次不等式的图象解法就是把解不等式转化为比较直 线上点的位置的高低.
实数,a≠0)的形式,所以解一 y=0时对应的x的值
图象与x轴交点的横坐
元一次方程可以转化为求
标
某个一次函数的函数值为0
时的自变量的值
利用一次函数的图 象解一元一次方程 的步骤
(1)转化:将一元一次方程转化为一次函数. (2)画图象:画出一次函数的图象. (3)找交点:找出一次函数的图象与x轴交点的横坐标,即为一元一次方程的解
例1 画出函数y=2x-1的图象,并利用图象求方程1-2x=0的解. 分析 画出函数图象后,求出直线y=2x-1与x轴交点的横坐标,即为2x-1= 0的解,也就是1-2x=0的解. 解析 如图19-2-3-1所示,由图象知直线y=2x-1与x轴的交点坐标为
人教版初中数学八年级下册 第十九章 一次函数复习：一次函数与面积问题课件(28张PPT)
（3）如图，过点A作AC⊥x轴于C，AC＝1
令y＝0，则 x﹣4＝0，解得 x＝．
∴点B的坐标为 （，0），则OB＝
∴S△AOB=OB⋅AC＝××1＝
∴这两个函数的图象与x轴围成的三角形的面积为．
若三角形的底边落在坐标轴上，则高是两条直线的交点到坐标车轴的距离，即交点的纵坐标或横坐标的绝对值 运用数形结合思 想是求解此类问题的关键.
所以一次函数解析式为y＝﹣3x﹣5，
图象如图：
（2）由直线y＝﹣x﹣5可知与y轴相交于C（0，﹣5），所以S△AOB＝×5×3﹣×5×1 ＝5．
如果三角形的三条运边都不在坐标轴上(如典例3中△AOB)，那么应应设法把所求三角形的面积转化为两个底边落在坐标轴上的三角形的面积的和或差.
（3）△OPA的面积不能大于24．理由如下：
∵S＝﹣3x+24，﹣3＜0；
∴S随x的增大而减小，
又∵x＝0时，S＝24，
∴当0＜x＜8，S＜24．
即△OPA的面积不能大于24．
本题考查了一次函数的图象与性质及三角形的面积，难度一般，解答本题的关键是正确地求出S与x的关系，另外作图的时候要运用两点作图法，并且注意自变量的取值范围．
∴×AC×h＝×BC×h，
∴AC＝5BC，
∴AB＝4BC，
∴BC＝×6＝，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠DBC＝∠ABO＝45°，
∴C（﹣7.5，﹣1.5）；
当点C在线段AB上时，C（﹣5，1）；
综上所述，点C的坐标为（﹣7.5，﹣1.5）或（﹣5，1）．
本题考查了一次函数的性质，体现了分类讨论的思想，一次函数图象上点的坐标特征，根据S△OAC＝5S△OBC，得到AC＝5BC是解题的关键．
八年级数学下册第19章一次函数19.2一次函数19.2.2一次函数19.2.2.1一次函数的概念课件
5.(2017湖南邵阳一模)一次函数y=kx+2(k为常数,且k≠0)的图象如图19-
2-2-1-2所示,则k的可能值为
.(写出一个即可)
答案 -2(答案不唯一)
图19-2-2-1-2
解析 观察图象可知,OB<OA,k<0.
当x=0时,y=kx+2=2,∴OA=2,
令OB=1,则点B(1,0),将(1,0)代入y=kx+2,得0=k+2,解得k=-2.
4
4
故当k=-1时,直线与x轴交于点
3 4
,
0
.
(4)当
1 2k
3k 1
0, 即
0,
1 3
<k<
1 2
时,直线经过第二、三、四象限.
(5)当1-3k=-3,2k-1≠-5,
即k= 4 时,已知直线与直线y=-3x-5平行.
3
方法归纳 对于一次函数y=kx+b,(1)判断k值符号的方法:①增减性法, 当y随x增大而增大时,k>0;反之,k<0.②直线升降法,当直线从左到右上升 时,k>0;反之,k<0.③经过象限法,直线过第一、三象限时,k>0;直线过第 二、四象限时,k<0.(2)判断b值符号的方法:与y轴交点法,即直线y=kx+b 若与y轴交于正半轴,则b>0;若与y轴交于负半轴,则b<0;若与y轴交于原 点,则b=0.
例3 下列函数图象中,不可能是关于x的一次函数y=mx-(m-3)的图象的 是( )
解析 一次函数y=mx-(m-3)中,x的系数m决定着直线从左至右呈上升或 下降的趋势,-(m-3)即3-m决定着直线与y轴的交点是在正半轴、负半轴 还是原点,这两个方面不得有矛盾之处,应该结合一次函数的图象进行 分析.
八年级数学下册第十九章一次函数总结(重点)超详细(带答案)
八年级数学下册第十九章一次函数总结(重点)超详细单选题1、如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，把线段AB以A为旋转中心，逆时针方向旋转90°，得到线段AC，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．答案：A分析：作出适当的辅助线，证得ΔAOB≌ΔCDA，即可建立y与x的函数关系，确定出答案．解：过点C作CD⊥y轴于点D，∵∠AOB=90°，∴∠CDA=∠AOB，∠OBA+∠OAB=90°，∵∠CAB=90°，∴∠CAD+∠OAB=90°，∴∠CAD=∠OBA，又∵AB=AC，∴ΔAOB≌ΔCDA(AAS)，∴DA=OB=x，∴y=OD=DA+OA=x+1，又∵点B是x轴正半轴上的一动点，∴x＞0，故选：A.小提示：本题考查了动点问题的函数图象问题，解题的关键是明确题意，建立函数关系，从而判断出正确的函数图象．2、如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（）A．x＝15B．x＝25C．x＝10D．x＝20答案：D分析：两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），∴方程x +5＝ax +b 的解为x ＝20．故选：D ．小提示：此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值．3、在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x ＋1的图象是( )A ．B ．C ．D ．答案：C 分析：观察一次函数解析式，确定出k 与b 的符号，利用一次函数图象及性质判断即可．解：∵一次函数y =x +1，其中k =1>0，b =1>0，∴图象过一、二、三象限，故选C ．小提示：此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．4、在同一平面直角坐标系中，直线y =−x +4与y =2x +m 相交于点P(3,n)，则关于x ，y 的方程组{x +y −4=02x −y +m =0的解为（ ） A ．{x =−1y =5 B ．{x =1y =3 C ．{x =3y =1 D ．{x =9y =−5答案：C分析：先把点P 代入直线y =−x +4求出n ，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可；解：∵直线y =−x +4与直线y =2x +m 交于点P （3，n ），∴n =−3+4，∴n =1，∴P (3,1)，∴1=3×2+m ，∴m =-5,∴关于x ，y 的方程组{x +y −4=02x −y −5=0的解{x =3y =1 ； 故选：C ．小提示：本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键．5、下列函数①y =−5x ；②y =−2x +1；③y =3x ；④y =12x −1；⑤y =x 2−1中，是一次函数的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C分析：利用一次函数的定义进行判断即可选择．解：①是一次函数；②是一次函数；③是反比例函数；④是一次函数；⑤是二次函数，所以一次函数有3个．故选：C ．小提示：本题考查一次函数的定义，理解一次函数的定义是解题关键．6、已知关于x 的一次函数y ＝3x +n 的图象如图，则关于x 的一次方程3x +n ＝0的解是 （ ）A ．x =−2B ．x =−3C ．x =−32D ．x =−23答案：D分析：根据函数的图象得出一次函数y=3x+n与y轴的交点坐标是（0，2），把坐标代入函数解析式，求出n，再求出方程的解即可．从图象可知：一次函数y=3x+n与y轴的交点坐标是（0，2），代入函数解析式得：2=0+n，解得：n=2，即y=3x+2，当y=0时，3x+2=0，解得：x=−2，3，即关于x的一次方程3x+n=0的解是x=−23故选：D．小提示：本题考查了一次函数与一元一次方程，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．7、如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（）A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＜0C．m＜0，n＞0D．m＜0，n＜0答案：B分析：利用正比例函数的性质，可得出点A，B分别在一、三象限，结合点A，B的坐标，可得出m＞0，n＜0．解：∵一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），∴点A，B分别在一、三象限，∴m＞0，n＜0．故选：B．小提示：此题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，正比例函数y＝kx的图象在第一、三象限；当k＜0时，正比例函数y＝kx的图象在第二、四象限”是解题的关键．8、已知点(−2,y1)，(0,y2)，(4,y3)是直线y=−5x+b上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（）．A．y1>y2>y3B．y1<y2<y3C．y1>y3>y2D．y1<y3<y2答案：A分析：结合题意，根据一次函数图像的性质分析，即可得到答案．∵直线y=−5x+b上，y随着x的增加而减小，且−2<0<4∴y1>y2>y3故选：A．小提示：本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解．9、函数y=√x−1中自变量x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥0C．x≤0D．x≤1答案：A分析：根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解．解：∵x−1≥0，∴x≥1．故选A．小提示：本题考查了求函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．10、A，B两地相距120km，甲、乙两人分别从两地出发相向而行，甲先出发，如图，l1，l2分别表示两人离A 地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系，则当甲到达A地时，乙距离A地（）A．56kmB．60kmC．80kmD．40km答案：B分析：先求出直线l2的解析式，从而求出当t=2.8时，s=36，由此即可求出直线l1的解析式，进而求出甲到达目的地的时间，由此即可得到答案．解：由题意可知，甲，乙的函数图象分别为l1，l2．∵l2经过点(1,0)和(7,120)，∴l2：s=20t−20，当t=2.8时，s=36，∴由(0,120)，(2.8,36)得l1：s=−30t+120，令−30t+120=0，解得t=4，将t=4代入l2，得s=60．∴当甲到达A地时，乙距离A地60km．故选B．小提示：本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，正确读懂函数图象是解题的关键．填空题11、一次函数的图象经过点（0，3），且与直线y＝﹣2x+1平行，那么这个一次函数的解析式是 _____．答案：y＝﹣2x+3分析：设一次函数的解析式为y=kx+b，由题可知，k=-2，再代入点（0，3）求出b，进而得出一次函数解析式．解：设一次函数解析式是y＝kx+b，∵该一次函数与直线y＝﹣2x+1平行，∴k＝﹣2．∵一次函数的图象经过点（0，3），∴0+b=3，解得b＝3，∴一次函数的解析式是y＝﹣2x+3．所以答案是：y＝﹣2x+3．小提示：本题考查求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质以及定义是解决问题的关键．12、甲，乙两名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：甲：函数的图象经过点(0,−2)；乙：y随x 的增大而减小；根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个一次函数的表达式为______．答案：y=−x−2分析：设一次函数解析式为y＝kx＋b，根据函数的性质得出b=−2，k< 0，从而确定一次函数解析式，本题答案不唯一．解：设一次函数解析式为y＝kx＋b，∵函数的图象经过点(0,-2)，∴b=−2，∵y随x的增大而减小，∴k＜0，当取k=−1时，一次函数表达式为：y=−x−2，∴满足上述性质的一个函数表达式为：y=−x−2（答案不唯一）．所以答案是：y=−x−2．小提示：本题主要考查一次函数的性质，数形结合是解题的关键，属于开放型的题型．13、若y=(k−3)x|k|−2+5是一次函数，则k＝_________．答案：-3分析：根据一次函数的定义得到k−3≠0且|k|−2=1，解方程和不等式即可求解．解：∵y=(k−3)x|k|−2+5是一次函数，∴k−3≠0且|k|−2=1，∴k≠3且k=±3，∴k=−3．所以答案是：－3．小提示：本题主要考查了一次函数的定义．一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．14、如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______．答案：k＞2√2或k＜0且k≠﹣43分析：设BC与y轴交于点M，由OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，可得E点不在AD边上，即k≠0，分k＞0与k＜0两种情况进行讨论．解：如图，设BC与y轴交于点M，∵OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，∴E点不在AD边上，∴k≠0，①如果k＞0，那么点E在AB边或线段BM上，当点E在AB边且OE＝3时，由勾股定理得AE2=OE2−OA2=9−1=8，∴AE＝2√2，∴E（1，2√2），当直线y＝kx经过点（1，2√2）时，k＝2√2，∵OB2=AB2+OA2=16+1=17，∴OB=√17＜5，当点E在线段BM上时，OE＜OB=√17＜5，∴k＞2√2，符合题意；②如果k＜0，那么点E在CD边或线段CM上，当点E在CD边且OE＝3时，E与D重合；当OE＝5时，由勾股定理得DE2=OE2−OD2=25−9=16，∴DE＝4，∴E（﹣3，4），此时E与C重合，，当直线y＝kx经过点（﹣3，4）时，k=−43当点E在线段CM上时，OE＜OC＝5，∴k＜0且k≠−4，符合题意；3．综上，当3＜OE＜5时，k的取值范围是k＞2√2或k＜0且k≠−43小提示：本题考查了正方形的性质，勾股定理，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，利用数形结合与分类讨论是解题的关键．15、如图，两个一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象分别为直线l1和l2，l1与l2交于点A（1，p），l1与x轴交于点B（-2，0），l2与x轴交于点C（4，0），则不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集为_____．答案：1＜x＜4分析：先解不等式0＜mx+n，结合图像可知l2上的点在x轴的上方，可得x＜4，再解mx+n＜kx+b，结合图像可知l1上的点在l2的上方，可得x＞1，从而可得0＜mx+n＜kx+b的解集．解：∵不等式0＜mx+n，∴l2上的点在x轴的上方，∵C(4，0)，∴x＜4，∵ mx+n＜kx+b，∴l1上的点在l2的上方，∵A(1,p)，∴x＞1，∴不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集为1＜x＜4，所以答案是：1＜x＜4，小提示：本题考查的是一次函数与不等式组的关系，掌握利用一次函数的图像解不等式组是解题的关键．解答题16、某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油箱余油量为Q2吨，加油时间为t（分），Q1、Q2与t之间的函数图像如图所示，结合图像回答下列问题：(1)加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了吨油；运输飞机的油箱有余油量吨油；(2)这些油全部加给运输飞机需分钟；(3)运输飞机的飞行油耗为每分钟吨油；(4)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行小时．答案：(1)30，40(2)10(3)0.1(4)11.5分析：（1）通过观察图象，即可得到；（2）根据图象横坐标即可得到；（3）首先根据运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，求出每小时耗油量，再求出每分钟的油耗；（4）先确定油量，除以每小时的油耗即可．（1）解：由图观察线段Q2段图象，加油油箱中装载了30吨油，由图观察线段Q1段图象，运输飞机油箱中装载了40吨油，故答案是：30，40；（2）解：由图可知加油飞机在10分钟时间内消耗了30吨，故答案是：10；（3）解：∵运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，所以说10分钟内运输飞机耗油量为1吨，=6（吨)，∴运输飞机每小时耗油量为30−291060=0.1（吨)，∴运输飞机每分钟耗油量为660故答案是：0.1；=0.1（吨)，（4）解：∵运输飞机每分钟耗油量为660∴运输飞机每小时耗油量为6（吨)，最多能飞行69=11.5（小时)．6故答案是：11.5．小提示：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象，其中尤其注意运输飞机每小时耗油量这个隐含条件的确定．x+2与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．17、在平面直角坐标系xOy中，直线y=12(1)求点A和点B的坐标；(2)点P为直线y=1x+2上一动点，若△OBP的面积为3，则点P的坐标为______．2答案：(1)A （-4，0），B （0，2）(2)（3，72）或（-3，12） 分析：（1）分别代入x =0，y =0求出与之对应的y ，x 的值，进而可得出点B ，A 的坐标；（2）通过△OBP 的面积为3，求得P 的横坐标为±3，代入解析式即可求得纵坐标．（1）解：当x =0时，y =12x +2=2， ∴点B 的坐标为（0，2）；当y =0时，12x +2=0，解得：x =-4，∴点A 的坐标为（-4，0）．（2）∵OB =2，△OBP 的面积为3，∴12OB •|xP |=3，即12×2•|xP |=3，∴xP =±3，∴点P 的坐标为（3，72）或（-3，12）， 所以答案是：（3，72）或（-3，12）． 小提示：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A ，B 的坐标；（2）利用三角形面积求出点C 的横坐标．18、为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：②汽车行驶5h 后，油箱中的剩余油量是多少；③该品牌汽车的油箱加满50L ，若以100km/h 的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远．答案：①Q =100﹣6t ；② 70L ；③25003km ．分析：①由表格可知，开始油箱中的油为100L ，每行驶1小时，油量减少6L ，据此可得t 与Q 的关系式； ②求汽车行驶5h 后，油箱中的剩余油量即是求当t =5时，Q 的值；③贮满50L 汽油的汽车，理论上最多能行驶几小时即是求当Q =0时，t 的值． 解：①Q 与t 的关系式为：Q =100﹣6t ；②当t =5时，Q =100﹣6×5=70，答：汽车行驶5h 后，油箱中的剩余油量是70L ；③当Q =0时，0=50﹣6t ，6t =50，解得：t =253，100×253=25003km ．答：该车最多能行驶25003km ．。
人教版初中八年级数学下册第十九章《一次函数》知识点复习(含答案解析)
一、选择题1．如图，平面直角坐标系中，一次函数333=-+y x 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．若C 是x 轴上的动点，则2BC AC +的最小值（ ）A ．236+B ．6C ．33+D ．42．一次函数y=-3x-2的图象和性质，表述正确的是（ ） A ．y 随x 的增大而增大 B ．函数图象不经过第一象限 C ．在y 轴上的截距为2D ．与x 轴交于点（-2，0）3．已知函数(0)y kx k =≠中y 随x 的增大而减小，则一次函数23y kx k =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列图象中，不表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C．D．，两地相距240千米．早上9点甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从5．已知A BB地出发去A地．两车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，则下列描述不正确的是（）A．甲车的速度是60千米/小时B．乙车的速度是90千米/小时C．甲车与乙车在早上10点相遇D．乙车在12:00到达A地6．若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则函数y＝bx－k的大致图像是（）A．B．C．D．7．下列图形中，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（）A．B．C ．D ．8．若关于x 、y 的二元一次方程组42313312x y a x y a +=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解为非负数，且a 使得一次函数(1)3y a x a =++-图象不过第四象限，那么所有符合条件的整数a 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为x 时两种消费卡所需费用分别为y 甲，y 乙元，y 甲，y 乙与x 的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（ ）A ．甲种更合算B ．乙种更合算C ．两种一样合算D ．无法确定10．函数211+2y x=的图象如图所示，若点()111,P x y ，()222,P x y 是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（ ）A ．10x ≠ ，20x ≠B ．112y >，212y > C ．若12y y =，则12||||x x = D ．若12y y <，则12x x <11．下列图象中，不可能是关于x 的一次函数y ＝px ﹣（p ﹣3）的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．某一次函数的图象经过点()1,2，且y 随x 的增大而增大，则这个函数的表达式可能是（ ） A ．24y x =+B ．31y x =-C ．31y x =-+D ．24y x =-+13．A ，B 两地相距30km ，甲乙两人沿同一条路线从A 地到B 地．如图，反映的是两人行进路程()y km 与行进时间t(h)之间的关系，①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；②乙用了5个小时到达目的地；③乙比甲迟出发0.5小时；④甲在出发5小时后被乙追上．以上说法正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．直线1y x 42=-与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，若点()1,2M m m +-在AOB 内部，则m 的取值范围为（ ）A ．1433m <<B ．17m -<<C ．703m <<D ．1123m <<15．弹簧挂上物体后伸长，已知一弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量m （kg ）之间的关系如下表： 所挂物体的质量m/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度y/cm 1012.51517.52022.5A ．在没挂物体时，弹簧的长度为10cmB ．弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化，弹簧的长度是自变量，所挂物体的质量是因变量C ．弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量m （kg ）之间的关系可用关系式y ＝2.5m ＋10来表示D ．在弹簧能承受的范围内，当所挂物体的质量为4kg 时，弹簧的长度为20cm参考答案二、填空题16．如图，在平面直角坐标系中，过点C （0，6）的直线AC 与直线OA 相交于点A （4，2），动点M 在直线AC 上，且△OMC 的面积是△OAC 的面积的14，则点M 的坐标为_____．17．如图1，在△ABC 中，AB >AC,D 是边BC 上一动点，设B,D 两点之间的距离为x,A,D 两点之间的距离为y ，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示．则线段AC 的长为_____，线段AB 的长为______．18．已知一次函数y kx b =+与y mx n =+的图象如图所示．（1）写出关于x ，y 的方程组y kx by mx n=+⎧⎨=+⎩的解为________．（2）若0kx b mx n <+<+，写出x 的取值范围________．19．已知 12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当x=1时，y=-1，当x=3时，y=5，求y 与x 之间的函数关系式_______________．20．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y （位：厘米）与观察时间x （单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC 是线段，直线CD 平行x 轴）请你算一下，该植物的最大高度是________厘米．21．如图，在平面直角坐标系中，(0,2)A ，(4,2)B ，点P 是x 轴上任意一点，当PA PB 有最小值时，P 点的坐标为________．22．正方形A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…，按如图所示的方式放置．点A 1、A 2、A 3、…，和点C 1、C 2、C 3，…，分别在直线y ＝kx ＋b (k>0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)，则点B 2021的坐标是_________________．23．王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间t （分）和离家距离S （米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是______米/分．24．在平面直角坐标系中，直线2y x =+和直线2y x b =-+的交点的横坐标为m ．若13m -≤<，则实数b 的取值范围为____．25．在平面直角坐标系中，一次函数4y x =+的图象分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，点P 在一次函数 y x =的图象上，则当ABP ∆为直角三角形时，点P 的坐标是___________．26．如图，在ABC 中90ACB ∠=︒，AC BC =，BC 与y 轴交于D 点，点C 的坐标为()2,0-，点A 的坐标为()6,3-，则D 点的坐标是__________．三、解答题27．已知直线l 1：y ＝kx+b 经过点A （12，2）和点B （2，5）． （1）求直线l 1的表达式；（2）求直线l 1与坐标轴的交点坐标．28．已知如图，直线113:4l y x m =-+与y 轴交于A(0，6)，直线22:1l y kx =+分别与x 轴交于点B(-2，0)，与y 轴交于点C ．两条直线相交于点D ，连接AB ．求：（1）直线12l l 、的解析式； （2）求△ABD 的面积；（3）在x 轴上是否存在一点P ，使得43ABP ABD S S =△△，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．29．已知一次函数3y kx =+与x 轴交于点()2,0A ，与y 轴交于点B ．（1）求一次函数的表达式及点B 的坐标； （2）画出函数3y kx =+的图象；（3）过点B 作直线BP 与x 轴交于点P ，且2OP OA =，求ABP △的面积． 30．如图，直线EF 与x 轴、y 轴分别交于点E （-8，0），F （0，6）．（1）求直线EF 的函数表达式；（2）若点A 的坐标为（-6，0），点P （m ，n ）在线段EF 上（不与点E 重合） ①求△OPA 的面积S 与m 的函数表达式； ②求当△OPA 的面积为9时，点P 的坐标；③求当△OPA 的面积与△OPF 的面积相等时，点P 的坐标．参考答案。
人教版数学八年级下册第十九章知识归纳：一次函数
一次函数的知识归纳一、变量：自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中，我们称数值变化的量是自变量．常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量．函数：因变量是自变量的函数．函数值：当自变量确定一个值，因变量随之确定的一个值．因变量：自变量的变化引起另一个量的变化，另一个量是因变量．二、一次函数和正比例函数的概念1．概念：假设两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b〔k，b为常数，k≠0〕的形式，那么称y是x的一次函数〔x为自变量〕，特别地，当b=0时，称y是x 的正比例函数.〔1〕一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.〔2〕一次函数y=kx+b〔k，b为常数，k≠0〕中的“一次〞和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次〞意义一样，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.★判断一个等式是否是一次函数先要化简〔3〕当b=0，k≠0时，y= kx仍是一次函数.(正比例函数)〔4〕当b=0，k=0时，它不是一次函数.2. 函数的表示方法：1〕解析法，2〕列表法，3〕图象法．列表法直观但不完全解析法准确完全但不直观图象法直观形象但不够准确也不太完全图象的画法：一列表二描点三连线〔顺次用平滑的曲线〕解析式的列法：一〕实际问题，确定自变量的取值 二〕符合题意三、 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．一次函数的图象由于一次函数y=kx+b 〔k ，b 为常数，k≠0〕的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点〔0，b 〕，直线与x 轴的交点〔-kb ，0〕.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点〔0，0〕，〔1，k 〕即可.四 、一次函数性质1. 一次函数y=kx+b 〔k ，b 为常数，k≠0〕的性质〔1〕k 的正、负决定直线的倾斜方向；①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；②k ﹤0时，y 的值随x 值的增大而减小．〔2〕|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大〔直线陡〕，|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小〔直线缓〕；〔3〕b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．〔4〕由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的．2. 正比例函数y=kx 〔k≠0〕的性质〔1〕正比例函数y=kx 的图象必经过原点；〔2〕当k ＞0时，图象经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大；〔3〕当k ＜0时，图象经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小．点P 〔x 0，y 0〕与直线y=kx+b 的图象的关系〔1〕如果点P 〔x 0，y 0〕在直线y=kx+b 的图象上，那么x 0,y 0的值必满足解析式y=kx+b ；〔2〕如果x 0，y 0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x 0，y 0为坐标的点P 〔x 0，y 0〕必在函数的图象上．例如：点P 〔1，2〕满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，那么点P 〔1，2〕在直线y=x+l 的图象上；点P′〔2，1〕不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′〔2，1〕不在直线y=x+l 的图象上．确定正比例函数及一次函数表达式的条件〔1〕由于正比例函数y=kx 〔k≠0〕中只有一个待定系数k ，故只需一个条件〔如一对x ，y 的值或一个点〕就可求得k 的值．〔2〕由于一次函数y=kx+b 〔k≠0〕中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 的值．五 、一次函数与方程1. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图象与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b 〔a≠0，a ，b 为常数〕中，函数的值等于0时自变量x 的值就是一元一次方程ax+b=0〔a≠0〕的解，所对应的坐标〔－b a，0〕是直线y=ax+b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；直线y=ax+b 在x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+b>0〔a≠0〕的解；在x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax+b<0〔a≠0〕的解．2. 坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图象是y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式x=0表示；函数关系式y=0的图象是x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式y=0表示．3. 一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，也就是对应着两条直线，从“数〞的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图象与二元一次方程组有着密切的联系．4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解〔1〕二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1≠k 2．〔2〕二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1=k 2，b 1≠b 2．〔3〕二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合⇔k 1=k 2，b 1=b 2．5. 待定系数法先设待求函数关系式〔其中含有未知常数系数〕，再根据条件列出方程〔或方程组〕，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k ，b 就是待定系数．用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入 〔1〕设函数表达式为y=kx+b ；〔2〕将点的坐标代入函数表达式，解方程〔组〕；〔3〕求出k 与b 的值；〔4〕将k 、b 的值带入y=kx+b ，得到函数表达式。
八年级数学下册第十九章一次函数重点知识归纳(带答案)
八年级数学下册第十九章一次函数重点知识归纳单选题1、平面直角坐标系中，过点(−2,3)的直线l经过一、二、三象限，若点(0,a)，(−1,b)，(c,−1)都在直线l上，则下列判断正确的是（）A．a<b B．a<3C．b<3D．c<−2答案：D分析：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），根据经过一、二、三象限判断出k的符号，根据一次函数的性质即可得出结论．解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵直线l经过一、二、三象限，∴k＞0，∴y随x的增大而增大，∵直线l过点（﹣2，3）．点（0，a），（﹣1，b），（c，﹣1），∴c＜﹣2，3＜b＜a，故选：D．小提示：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．2、直线y＝kx+2过点（﹣1，4），则k的值是（）A．﹣2B．﹣1C．﹣1D．24答案：A分析：由直线y＝kx+2过点（﹣1，4），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．解：∵直线y＝kx+2过点（﹣1，4），∴4＝﹣k+2，∴k＝﹣2．故选：A．小提示：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．3、如图，已知A(1,3)，B(5,1)，若直线y=kx+1与线段AB有公共点，则k的取值范围是（）A．k≠0B．k>1C．0≤k≤1D．0≤k≤2答案：D分析：先求出直线过点A、B的k值，再结合图象即可求得k的取值范围．解：当直线y=kx+1过点A（1，3）时，则k+1=3，解得：k=2，当直线y=kx+1过点B（5，1）时，则5k+1=1，解得：k=0，当x=0时，y=1，则直线经过定点（0，1），∵直线y=kx+1与线段AB有公共点，∴0≤k≤2，故选：D．小提示：本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键．4、如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20B．x＝25C．x＝20或25D．x＝﹣20答案：A分析：根据两直线的交点的横坐标为两直线解析式所组成的方程的解，可以得到关于x方程x+5＝ax+b的解．解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），∴x+5＝ax+b的解是x＝20，故选A．小提示：本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5、将直线y=2x−3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）A．y=2x−4B．y=2x+4C．y=2x+2D．y=2x−2答案：A分析：直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可．解：由“左加右减”的原则可知，将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7，由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4，故选A．小提示：本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．6、一次函数y=−2x+1的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C分析：根据一次函数的解析式，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y=−2x+1的图象经过第一、二、四象限，此题得解．解：∵k=-2＜0，b=1＞0，∴一次函数y=-2x+1的图象经过第一、二、四象限，∴一次函数y=-2x+1的图象不经过第三象限．故选：C．小提示：本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．7、若一次函数y=kx+2的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜0B．k＞0C．k＜﹣2D．k＞﹣2答案：B分析：根据y=kx+2的函数值y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得k>0．解：∵一次函数y=kx+2的函数值y随x的增大而增大，∴k>0．故选：B．小提示：本题考查了一次函数的性质，解题的关键是：掌握一次函数的性质．8、某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30赶到了学校．图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（）A．小明修车花了15minB．小明家距离学校1100mC．小明修好车后花了30min到达学校D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s答案：A分析：根据函数图像进行分析计算即可判断．解：根据图像7:05-7:20为修车时间20-5=15分钟，故A正确；小明家距离学校2100m，故B错误；小明修好车后花了30-20=10分钟到达学校，故C错误；小明修好车后骑行到学校的平均速度是（2100-1000）÷600=11m/s，故D错误；6故选：A．小提示：本题考查函数图像的识别，正确理解函数图像的实际意义是解题的关键．9、为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）．一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水．则一定正确的论断是（）A．①③B．②③C．③D．①②③答案：C分析：根据图象1可知一个进水管的进水速度小于出水速度，且为出水速度的一半，再结合图2中特殊点的实际意义即可作出判断．解：①0点到1点既进水，也出水；②1点到4点同时打开两个管进水，和一只管出水；③4点到6点只进水，不出水．正确的只有③．故选：C．小提示：主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．10、在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( )A．B．C．D ．答案：C 分析：观察一次函数解析式，确定出k 与b 的符号，利用一次函数图象及性质判断即可．解：∵一次函数y =x +1，其中k =1>0，b =1>0，∴图象过一、二、三象限，故选C ．小提示：此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．填空题11、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，若直线y =x +3分别与x 轴，直线y =-2x 交于点A ，B ，则△AOB 的面积为 _____．答案：3分析：先求得A （-3，0），B （-1，2），根据三角形的面积公式即可得到结论．解：在y =x +3中，令y =0，得x =-3，解{y =x +3y =−2x得，{x =1y =2 ， ∴A （-3，0），B （-1，2），∴△AOB 的面积=12×3×2=3， 所以答案是：3．小提示：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得A 、B 的坐标是解题的关键．12、某农场租用收割机收割小麦，甲收割机单独收割2天后，又调来乙收割机参与收割，直至完成800亩的收割任务，收割亩数与天数之间的关系如图所示，那么乙参与收割________天．答案：4解：由图可知，甲、乙收割机每天共收割350－200＝150亩，共同收割600亩，所以，乙参与收割的天数是600÷150＝4天．故答案为4．小提示：此题主要考查学生的读图获取信息的能力，要注意分析其中的“关键点”．13、若点P(a,b)在直线y=2x−1上，则代数式8−4a+2b的值为______．答案：6分析：把点P代入一次函数解析式，可得b=2a−1，化简带值可求出结论．解：∵点P(a,b)在直线y=2x−1上，∴b=2a−1，变形得：2a−b=1，代数式8−4a+2b=8−2(2a−b)=8−2×1=6；所以答案是：6．小提示：本题考查整式的化简求值，找准变量系数之间的关系是解题的关键．14、函数y=-x+3的图象上有一点P，使得P点到x轴的距离等于1，则点P的坐标为______________．答案：（-2，1）或（-4，-1）##（-4，1）或（-2，-1）分析：由P点到x轴的距离等于1，可得出点P的纵坐标为±1，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点P的坐标．解：∵P点到x轴的距离等于1，∴点P的纵坐标为±1．当y=1时，x+3=1，解得：x=-2，∴点P的坐标为（-2，1）；当y=-1时，x+3=-1，解得：x=--4，∴点P的坐标为（-4，-1）．所以答案是：（-2，1）或（-4，-1）．小提示：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．15、已知一次函数y=kx−11k，当−4≤x≤6时，3≤y≤9，则k的值为_______．##-0.6答案：−35分析：由x与y的范围，确定出点坐标，代入一次函数解析式求出k的值即可．解：当k＞0时，y随x的增大而增大，∴x＝−4，y＝3，∴−4k−11k＝3，解得：k=−1（不合题意，舍去），5当k＜0时，y随x的增大而减小，∴x＝−4时，y＝9；x＝6时，y＝3，∴−4k−11k＝9，∴k=−3．5所以答案是：−3．5小提示：本题主要考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．解答题的值为正整数？16、（1）当x为何整数时，分式42x+1自变量取值范围为整数，求y的最大、最小值．（2）已知函数y=2x−3x−2答案：（1）x=0；（2）y最大为3，最小为1分析：（1）根据题意2x+1=1或2或4时，分式4的值为正整数，再取x为整数时即可；2x+1（2）把函数整理成y =2+1x−2的形式，要使函数y 的值为整数，则x −2=±1，据此即可求解． （1）要使分式42x+1的值为正整数，则2x +1=1或2或4，解得：x =0或12或32， ∵x 为整数，∴x =0，即x =0时，分式42x+1的值为正整数； （2）y =2x−3x−2=2(x−2)+1x−2=2+1x−2，且自变量取值范围为x −2≠0，要使函数y 的值为整数，则x −2=±1，∴当x =3时，函数y 的最大值为3，当x =1时，函数y 的最小值为1．小提示：本题考查了分式有意义的条件，求分式的值，函数自变量的取值范围问题等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．17、已知，在平面直角坐标系中，直线y =x +4与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 在线段AB 上，△AOC 与△BOC 的面积相等．(1)求点C 的坐标；(2)若点D 在x 轴的正半轴上，点D 的横坐标为t ，连接CD ，△OCD 的面积为S ，求S 与t 的函数解析式；(3)在（2）的条件下，将射线CD 绕着点C 逆时针旋转45°，得到射线CE ，射线CE 交y 轴于点E ，连接DE ，若△ODE 的周长为12，求直线DE 的解析式．答案：(1)C (−2,2)(2)S =t （t ＞0）(3)y =−34x +3分析：（1）△AOC 与△BOC 的面积相等，而OA =OB =4，则|y C |=|x C |，则设点C 的坐标为（m ，-m ），即可求解；（2）由S =12×DO ×y C ，即可求解； （3）证明△HMC ≌△DNH （AAS ），求出点H 的坐标为（12t ， 12t +2），得到直线HC 的表达式为y =t t+4（x +2）+2，求出OE =t t+4×2+2，进而求解．（1）解：对于y =x +4，令y =x +4=0，解得x =-4，令x =0，则y =4，故点A 、B 的坐标分别为（-4，0）、（0，4），∵S ΔAOC =12OA ⋅|y C |=S ΔBOC =12OB ⋅|x C |，而OA =OB =4，∴|y C |=|x C |，则设点C 的坐标为（m ，-m ），将点C 的坐标代入y =x +4得：-m =m +4，解得m =-2，∴点C 的坐标为（-2，2）；（2）解：由题意得：S =12×DO ×y C =12t •2=t （t ＞0）；（3）解：由题意得：12=OE +OD +ED ，即12=t +OE +√OE 2+t 2，设y =t +OE ，则y 2=t 2+OE 2+2t ⋅OE ，∴12=y +√y 2−2t ⋅OE ，∴144-24y +y 2=y 2-2t ⋅OE ，∴144-24（t +OE ）=-2t ⋅OE整理得：t •OE -12（t +OE ）+72=0，解得：OE =12t−72t−12．过点D 作DH ⊥CE 交CE 的延长线于点H ；过点H 作x 轴的平行线，交过点D 与y 轴的平行线于点N ，交过点C 与y 轴的平行线于点M ，∵∠ECD =45°，则△CHD 为等腰直角三角形，则DH =CH ，∠DHC =90°，设点H 的坐标为（a ，b ），∵∠NHD +∠MHC =90°，∠NHD +∠HDN =90°，∴∠MHC =∠HDN ，∵∠HMC =∠DNH =90°，DH =CH ，∴△HMC ≌△DNH （AAS ），∴MH =DN ，MC =HN ，即a +2=b ，b -2=t -a ，解得{a =12t b =12t +2， 即点H 的坐标为（12t ，12t +2），设直线HC 的表达式为y =kx +b ，将H ，C 的坐标代入得：{12tk +b =12t +2−2k +b =2， 解得{k =t t+4b =2t t+4+2 ， ∴y =t t+4x +2t t+4+2=t t+4（x +2）+2， 当x =0时，y =t t+4×2+2， ∴OE =t t+4×2+2=12t−72t−12． 解得：t =-6（舍去）或4，故点D 的坐标为（4，0），则OE =12t−72t−12=3，故点E （0，3），设直线ED的表达式为y=sx+n，则{n=30=4s+n ，解得{s=−34n=3，故直线DE的表达式为y=-34x+3．小提示：本题考查了是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解二元一次方程组、用待定系数法求一次函数解析式、面积的计算等，综合性强，难度较大．18、学校阅览室有一种能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌按图中的方式摆放，2张方桌摆放到一起能坐6人，请你结合这个规律，回答问题：(1)写出总人数y（人）与方桌数x（张）之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围），并判断y是不是x的一次函数；(2)若八年级（1）班有42人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌？答案：(1)y=2x+2(2)20张分析：（1）根据第一张桌子可坐4人，以后每多一张桌子多2人，可列函数关系式，再判断即可；（2）将y=42代入（1）中的函数关系式即可求出．（1）解：∵一张方桌坐4人，每多一张方桌就多坐2人，∴如果是x张方桌，则所坐人数是4+2(x−1)=2x+2．∴y与x之间的函数解析式为y=2x+2，（2）解：把y=42代入y=2x+2，得2x+2=42，解得x=20．答：需要20张这们样的方桌．小提示：本题考查了根据图形求一次函数的解析式，及一次函数的判断、求自变量的取值，根据图形列出函数表达式是解题的关键．。
人教版数学八年级下第十九章册一次函数学习要点提炼
人教版数学八年级下第十九章册一次函数学习要点提炼 为了能更好的学好一次函数，我们对一次函数的学习要点作了如下提炼，供同学们学习时参考。
要点一：要准确理解一次函数的定义形如y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0），则称y 是x 的一次函数。
特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数。
要理解好一次函数的定义，同学们需要注意以下几点：①把握两个变量的指数：变量y 、变量x 的指数，都必须是正整数1，否则，一定不是一次函数。
②把握两个变量的系数：通常变量y 的系数要化成1，变量x 的系数是不是0的任意实数。
③把握两个变量的位置：通常变量y 在等式的左边，含变量x 的一次二项式或一次一项式通常要位于等式的右边。
④把握常数b ：常数b 等于0时，是正比例函数；常数b 不等于0时，表示的是一般地一次函数。
常数b 决定函数是一般地一次函数，还是正比例函数。
⑤把握一次函数的类型：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=≠≠+=），（比例函数：特殊地的一次函数即正）；，（一般地一次函数：一次函数0b 0k kx y 0b 0k b kx y⑥会辨析一次函数与正比例函数的关系：正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数。
⑦会解答如下两种类型以定义为依据的解答题：例1、已知函数：y=（n+1）2n x -3是一次函数，则n= 。
例2、下列函数中，是一次函数的是 ，是正比例函数的是 。
（只把序号写在相应的横线上）。
①y=3x+2；②y=2x 2；③y= -x ；④y=kx+b ；⑤y=-2x ；⑥y 2=4x 要点二：掌握一次函数的图像一次函数的图像是一条直线。
一般地一次函数：y=kx+b （k ≠0，b ≠0）的图像，是不经过原点的一条直线； 正比例函数：y=kx （k ≠0）的图像，是经过原点的一条直线。
要点三：掌握画一次函数图像的技巧因为，两点确定一条直线，所以，在画一次函数的图像时，就可以选择两个点即可画出图像。
通常画一次函数：y=kx+b （k ≠0，b ≠0）的图像，选择点（0，b ）和（1，k+b ）两个点；画一次函数：y=kx （k ≠0）的图像，选择点（0，0）和（1，k ）两个点。
(人教版)南京八年级数学下册第十九章《一次函数》知识点总结
一、选择题1．若正比例函数y ＝（m ﹣2）x 的图象经过点A(x 1，y 1)和点B(x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞0B ．m ＜0C ．m ＞2D ．m ＜2 2．小明和小华同时从小华家出发到球场去．小华先到并停留了8分钟，发现东西忘在了家里，于是沿原路以同样的速度回家去取．已知小明的速度为180米/分，他们各自距离小华家的路程y （米）与出发时间x （分）之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．小明到达球场时小华离球场3150米B ．小华家距离球场3500米C ．小华到家时小明已经在球场待了8分钟D ．整个过程一共耗时30分钟3．已知函数y kx b =+的图象如图所示，则函数y bx k =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．下列图形中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx （m ，n 为常数，且mn≠0）的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．甲、乙两汽车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，汽车离开A 城的距离y 与时间t 的对应关系如图所示．下列结论错误的是（ ）．A ．A ，B 两城相距300kmB ．行程中甲、乙两车的速度比为3∶5C ．乙车于7：20追上甲车D ．9：00时，甲、乙两车相距60km 6．将直线2y x =-向下平移后得到直线l ，若直线l 经过点(),a b ，且27a b +=-，则直线l 的解析式为（ ）A ．22y x =--B ．22y x =-+C ．27y x =--D ．27y x =-+ 7．如图1，四边形ABCD 是轴对称图形，对角线AC ，BD 所在直线都是其对称轴，且AC ，BD 相交于点E ．动点P 从四边形ABCD 的某个顶点出发，沿图1中的线段匀速运动．设点P 运动的时间为x ，线段EP 的长为y ，图2是y 与x 的函数关系的大致图象，则点P 的运动路径可能是（ ）A ．CB A E →→→B ．CDE A →→→ C ．A E C B →→→ D ．A E D C →→→8．甲乙两地相距3600m ，小王从甲地匀速步行到乙地，同时，小张从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的路程(m)y 与小王步行的时间(min)x 之间的函数关系如图中的折线段AB BC CD --所示，已知小张先走完全程．结合图象，得到以下四个结论：①小张的步行速度是100m/min；②小王走完全程需要36分钟；③图中B点的横坐标为22.5；④图中点C的纵坐标为2880．其中错误．．的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．在数轴上，点A表示－2，点B表示4.,P Q为数轴上两点，点Р从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q到达原点О后，立即以原来的速度返回，当点Q回到点B时，点Р与点Q同时停止运动．设点Р运动的时间为x秒，点Р与点Q之间的距离为y个单位长度，则下列图像中表示y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．10．如图，一次函数443y x =-的图像与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，过点A 作直线l 将ABO ∆分成周长相等的两部分，则直线l 的函数表达式为（ ）A ．26y x =-B ．23y x =-C ．1322y x =-D ．3y x =- 11．下列关于一次函数25y x =-+的说法，错误的是（ ）A ．函数图象与y 轴的交点()0,5B ．当x 值增大时，y 随着x 的增大而减小C ．当 5y >时，0x < D ．图象经过第一、二、三象限 12．若点（－2，y 1），（3，y 2）都在函数y ＝－2x ＋b 的图像上，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．无法确定 13．若点P 在一次函数31y x =-+的图象上，则点P 一定不在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 14．直线1y x 42=-与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，若点()1,2M m m +-在AOB 内部，则m 的取值范围为（ ）A ．1433m <<B ．17m -<<C ．703m <<D ．1123m << 15．若一次函数()231y m x =-+-的图象经过点()11,A x y ，()22,B x y ，当12x x <时，12y y >时，则m 的取值范围是（ ）A ．32m >B ．32m >-C ．32m <D ．32m <- 二、填空题16．如图，在平面直角坐标系中，过点C （0，6）的直线AC 与直线OA 相交于点A （4，2），动点M 在直线AC 上，且△OMC 的面积是△OAC 的面积的14，则点M 的坐标为_____．17．已知关于x ，y 的二元一次方程组1,mx y y nx -=⎧⎨=⎩的解是1,2x y =⎧⎨=⎩则直线1y mx =-与直线y nx =的交点坐标是______； 18．如图，直线1:22l y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，直线21:12y l x =+交x 轴于点D ，交y 轴于点C ，直线1l 、2l 交于点M ．（1）点M 坐标为________；（2）若点E 在y 轴上，且BME 是以BM 为一腰的等腰三角形，则E 点坐标为________．19．已知 12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当x=1时，y=-1，当x=3时，y=5，求y 与x 之间的函数关系式_______________．20．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y （位：厘米）与观察时间x （单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC 是线段，直线CD 平行x 轴）请你算一下，该植物的最大高度是________厘米．21．已知y 是x 的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m 的值是________． x -10 m y1 -2 -522．如图，在平面直角坐标系中，(0,2)A ，(4,2)B ，点P 是x 轴上任意一点，当PA PB +有最小值时，P 点的坐标为________．23．如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCO 是边长为2的正方形，点D 为AB 的中点，点P 为OB 上的一个动点，连接DP 、AP ，当点P 满足DP AP +的值最小时，则点P 的坐标为______．24．已知直线22y x =-与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，若点C 是坐标轴上的一点，且AC AB =，则点C 的坐标为________．25．如图，一次函数483y x =-+的图象与,x y 轴交于点,A B ，点B 关于x 轴的对称点为C ，动点,P Q 分别在线段,BC AB 上（P 不与,B C 重合），且APQ ABO ∠=∠，当APQ 是以AQ 为底边的等腰三角形时，点P 的坐标是________．26．如图，正方形ABCD 的边长为4，A 为坐标原点，AB 和AD 分别在x 轴、y 轴上，点E 是BC 边的中点，过点A 的直线y kx =交线段DC 于点F ，连接EF ，若AF 平分DFE ∠，则k 的值为_________．三、解答题27．两家商店出售同样的茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，两家商店的优惠办法不同：甲店：买一只茶壶赠送一只茶杯；乙店：按定价的9折优惠，某顾客需购买茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只）．（1）设购买茶杯数为x （只），在甲店购买的付款为y 甲（元），在乙店购买的付款数为y 乙（元），分别写出在两家商店购物的付款数与茶杯数x 之间的关系式；（2）当购买20只茶杯时，去哪家商店购物比较合算？28．小明用的练习本在甲、乙两个商店都能买到，两个商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是：购买10本及以上，从第11本开始按标价的七折销售；乙商店的优惠条件是从第1本开始就按标价的八五折销售．（1）求在甲、乙两个商店购买这种练习本分别应付的金额y 甲元、y 乙元与购买本数x （x ＞10）本之间的函数关系式；（2）小明现有24元，最多可以买多少本练习本？29．如图，正比例函数3y x =-与一次函数y kx b =+相交于点(),3A a -，并且一次函数y kx b =+经过x 轴上的点0()6,B -．（1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2结合函数图像，求关于x ，y 的二元一次方程组30x y kx y b +=⎧⎨-=-⎩的解； （3）结合函数图像，求关于x 的不等式(3)0k x b ++≥的解集．30．甲、乙两车分别从,A B 两地同时出发，甲车匀速前往B 地，到达B 地立即以另一速度按原路匀速返回到A 地；乙车匀速前往A 地，设甲、乙两车距A 地的路程为y (千米)，甲车行驶的时间为x (时)，y 与x 之间的函数图象如图所示．（1）求甲车从A 地到达B 地所用的时间；（2）求甲车到达B 地时乙车距A 地的路程；（3）求甲车返回前甲、乙两车相距50千米时，甲车行驶的时间．。
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第十九章 一次函数19.1 函数19.1.1 变量与函数例：一、分别指出思考（1）~（4）的变化过程中所涉及的量，在这些量中哪些量是发生了变化的？哪些量是始终不变的？（1）涉及的量有：速度、时间和路程，其中时间和路程发生了变化，速度始终不变；（2）涉及的量有：票价、张数和票房收入，其中张数和票房收入发生了变化，票价始终不变； （3）涉及的量有：圆周率π、半径和面积，其中半径和面积发生了变化，圆周率π始终不变；（4）涉及的量有：矩形的周长、边长和邻边长，其中边长和邻边长发生了变化，矩形的周长始终不变. 所以我们得到：1、在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.2、在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.思考：在（1）~（4）的变化过程中，当一个量发生变化时，另一个量是否也随之发生变化？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？在一些图或表格表示的问题中，可以看到两个变量间有上面哪样的关系.3、一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数.如果当x a =时y b =，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.思考：在（1）~（4）的变化过程中，发生变化的量有限制条件吗？如何限制？ 解：变化过程中，发生变化的量要符合实际问题的意义. （1）中的时间t 不能为负数，（2）中票的张数x 只能为自然数， （3）中圆的半径r 不能为负数，（4）中一边长x 最多为周长的一半且不能为负数4、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域. 确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义.5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式例. 下列问题中哪些量是自变量？哪些是自变量的函数？指出自变量的取值范围.试写出函数的解析式. （1）改变正方形的边长x ，正方形的面积S 随之改变.（2）每分向一水池注水30.1m ，注水量y(单位: 3m )随注水时间x(单位min)的变化而变化.（3）秀水村的耕地面积是10000002m ，这个村人均占有耕地面积y （单位2m )随这个村人数n 的变化而变化. （4）水池中有水10升，此后每小时漏水0.05升，水池中的水量v(单位：升)随时间t （单位：h ）的变化而变化. 解：（1）正方形的边长是自变量，它的面积是自变量的函数，自变量的取值范围是：0x ≤，解析式为2S x = （2）注水时间是自变量，注水量是自变量的函数，自变量的取值范围是：0x ≤，解析式为0.1y x =（3）这个村的人口是自变量，人均耕地面积是自变量的函数，自变量的取值范围是：n 为自然数，解析式为1000000y n=（4）漏水时间是自变量，水池中的存水量是自变量的函数，自变量的取值范围是：0t ≤，解析式为100.05V t =-19.1.2 函数的图象1、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 2、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）.例.画出0.5y x =+的函数的图象.可以看出x 取任意实数时这个式子都有意义，所以x 的取值范围为全体实数.从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x 由小变大时，0.5y x =+随之增大.3、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律.解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示.图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系.19.2 一次函数19.2.1 正比例函数例. 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式（1）每个练习本的厚度为0.5 cm ，练习本摞在一起的总厚度 h （单位：cm ）随练习本的本数 n 变化而变化； （2）冷冻一个0 ℃ 的物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度 T （单位：℃）随冷冻时间 t （单位：min ）的变化而变化．解：（1）0.5h n = （2）2T t =1、一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.2、当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大； 当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小19.2.2 一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量.当0b =时，一次函数y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 例1：下列函数哪些是一次函数？① y=－x+b, ② y=x1+1, ③ y=k 2x+3, ④ y=8x 2+x(1－8x), ⑤ c=2πr 。
错因分析：误认为形如y=kx+b 的关系式就是一次函数，未认识到一次函数成立的条件。
判断一个函数是不是一次函数，应抓住一次函数的概念，就看它能否化为y=kx+b （k,b 为常数，k ≠0）的形式。
②中x1为分式，x 的指数为不为1，应排除。
③中k 2未告诉是常数可能为变量，也应排除。
④可化为y=x ，二次项消除了，⑤中π是常数，④和⑤都是正比例函数，是特殊的一次函数。
正确答案：一次函数有① ④ ⑤ 。
2、一次函数及性质（1）解析式：y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠） （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） （3）（4）增减性：0k>，y随x的增大而增大；0k<，y随x增大而减小.（5）倾斜度：k越大，图象越接近于y轴；k越小，图象越接近于x轴.（6）图像的平移：当0b>时，将直线y kx=的图象向上平移b个单位；当0b<时，将直线y kx=的图象向下平移b个单位.3、待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法。
例.已知一次函数的图象过点（3，5）与点（-4，-9），求这个一次函数的解析式．解：设一次函数为y=kx+b（k≠0），（1分）∵它的图象经过（3，5），（-4，-9），∴3k b54k b9+=⎧⎨-+=-⎩解得：k2b1=⎧⎨=-⎩，所以这个一次函数为y=2x-1．（5分）6、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.例. 一辆汽车由乌海匀速驶往呼和浩特，下列图象中能大致反映汽车距离成都的路程 （km ）和行驶时间 （h ）的关系的是（ ）.A B C D 答案：B例.已知y 与1x -成正比例，且当5x =-时，2y =，求y 与x 的函数关系式． 错解：设y kx =，把5x =-，2y =，代入得25k ＝－，解得52-=k ，于是y 与x 的函数关系式是25y x =-． 错解分析：错解中把y 与1x -成正比例误认为y 与x 成正比例．正解：设 1y k x =-（），把5x =-，2y =，代入得25-1k ＝（-），所以31-=k ，所以y 与x 的函数关系式是3131+-=x y ．例.已知等腰三角形的周长是16cm ，底边长是ycm ，腰长是 cm ，求y 与 的函数关系式，并写出函数自变量的取值范围.错解： y 与x 的函数关系式是162y x =- ，自变量x 的取值范围是08x <<.错解分析： 造成错解的原因是只考虑到x 不能取零或负数，没有考虑到三角形的三边关系.因为三角形的两边之和大于第三边，所以x x y +> ，从而2162x x >-，于是4x > .正确的答案是：y 与x 的函数关系式是162y x =- ，自变量x 的取值范围是48x <<.例.已知一次函数y kx b =+ 的图象经过点（3,0），且与坐标轴围成的三角形面积为6，求这个一次函数的关系式. 错解： 对于一次函数y kx b =+ ，当0x =时，y b = ，即一次函数y kx b =+ 与y 轴的交点是(0,)b ，由1362S b =⨯⨯= 得4b = ，将3,0x y == 代入4y kx =+，得43=-k ，所以这个一次函数的关系式是443y x =-+ .解题关键：先求直线与x 轴y 轴的交点坐标，再求利用三角形的面积公式求解。
错解分析： 此题涉及三角形的面积的计算，在表示三角形的面积时，用的是线段的长度，不是点的坐标，所以在计算时，应加绝对值，即1362S b =⨯⨯=，此时4b =±，所以所求一次函数的关系式有两个，即443y x =-+或443y x =-。