人教版八年级数学下册 第十九章 一次函数 知识点汇总

第十九章 一次函数

19.1 函数

19.1.1 变量与函数

例：

一、分别指出思考（1）~（4）的变化过程中所涉及的量，在这些量中哪些量是发生了变化的？哪些量是始终不变的？

（1）涉及的量有：速度、时间和路程，其中时间和路程发生了变化，速度始终不变；

（2）涉及的量有：票价、张数和票房收入，其中张数和票房收入发生了变化，票价始终不变； （3）涉及的量有：圆周率π、半径和面积，其中半径和面积发生了变化，圆周率π始终不变；

（4）涉及的量有：矩形的周长、边长和邻边长，其中边长和邻边长发生了变化，矩形的周长始终不变. 所以我们得到：

1、在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.

2、在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.

思考：在（1）~（4）的变化过程中，当一个量发生变化时，另一个量是否也随之发生变化？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？

在一些图或表格表示的问题中，可以看到两个变量间有上面哪样的关系.

3、一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数.如果当x a =时y b =，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.

思考：在（1）~（4）的变化过程中，发生变化的量有限制条件吗？如何限制？ 解：变化过程中，发生变化的量要符合实际问题的意义. （1）中的时间t 不能为负数，

（2）中票的张数x 只能为自然数， （3）中圆的半径r 不能为负数，

（4）中一边长x 最多为周长的一半且不能为负数

4、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域. 确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义.

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式

例. 下列问题中哪些量是自变量？哪些是自变量的函数？指出自变量的取值范围.试写出函数的解析式. （1）改变正方形的边长x ，正方形的面积S 随之改变.

（2）每分向一水池注水30.1m ，注水量y(单位: 3m )随注水时间x(单位min)的变化而变化.

（3）秀水村的耕地面积是10000002m ，这个村人均占有耕地面积y （单位2m )随这个村人数n 的变化而变化. （4）水池中有水10升，此后每小时漏水0.05升，水池中的水量v(单位：升)随时间t （单位：h ）的变化而变化. 解：（1）正方形的边长是自变量，它的面积是自变量的函数，自变量的取值范围是：0x ≤，解析式为2S x = （2）注水时间是自变量，注水量是自变量的函数，自变量的取值范围是：0x ≤，解析式为0.1y x =

（3）这个村的人口是自变量，人均耕地面积是自变量的函数，自变量的取值范围是：n 为自然数，解析式为

1000000

y n

=

（4）漏水时间是自变量，水池中的存水量是自变量的函数，自变量的取值范围是：0t ≤，解析式为100.05V t =-

19.1.2 函数的图象

1、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 2、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）.

例.画出0.5y x =+的函数的图象.

可以看出x 取任意实数时这个式子都有意义，所以x 的取值范围为全体实数.

从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x 由小变大时，0.5y x =+随之增大.

3、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律.

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示.

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系.

19.2 一次函数

19.2.1 正比例函数

例. 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式

（1）每个练习本的厚度为0.5 cm ，练习本摞在一起的总厚度 h （单位：cm ）随练习本的本数 n 变化而变化； （2）冷冻一个0 ℃ 的物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度 T （单位：℃）随冷冻时间 t （单位：min ）的变化而变化．

解：（1）0.5h n = （2）2T t =

1、一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.

2、当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大； 当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）

(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小

19.2.2 一次函数

1、一次函数的定义

一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量.当0b =时，一次函数y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 例1：下列函数哪些是一次函数？

① y=－x+b, ② y=

x

1+1, ③ y=k 2x+3, ④ y=8x 2

+x(1－8x), ⑤ c=2πr 。 错因分析：误认为形如y=kx+b 的关系式就是一次函数，未认识到一次函数成立的条件。判断一个函数是不是一次函数，应抓住一次函数的概念，就看它能否化为y=kx+b （k,b 为常数，k ≠0）的形式。②中

x

1

为分式，x 的指数为不为1，应排除。③中k 2

未告诉是常数可能为变量，也应排除。④可化为y=x ，二次项消除了，⑤中π是常数，④和⑤都是正比例函数，是特殊的一次函数。 正确答案：一次函数有① ④ ⑤ 。

2、一次函数及性质

（1）解析式：y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠） （2）必过点：（0，b ）和（-k

b

，0） （3）