代数几何综合(含答案)

23．（本小题7分）
如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，BC ∥x 轴，且BC=5,AB 交y 轴于点D ，OD=
2
3
． （1）求出点C 的坐标； （2）过A 、C 、B 三点的抛物线与x 轴交于点E ，连接BE ．若动点M 从点A 出发沿x 轴向x 轴正方向运动，同时动点N 从点E 出发，在直线EB 上作匀速运动，两个动点的运动速度均为每秒1个单位长度，请问当运动时间t 为多少秒时，△MON 为直角三角形? 23．解：（1）∵ BC ∥x 轴， ∴ △BCD ∽△AOD ．
∴ CD BC OD AO
=． ∴ 535
322CD =⨯=．
∴ 53
422
CO =
+=． ∴ C 点的坐标为 (0，4) ． ……………………… 1分 （2）如图1，作BF ⊥x 轴于点F ，则BF= 4． 由抛物线的对称性知EF=3．
∴BE=5，OE=8，AE=11． ………………………… 2分 根据点N 运动方向，分以下两种情况讨论： ① 点N 在射线EB 上．
若∠NMO=90°，如图1，则cos ∠BEF=ME FE
NE BE
=
, ∴
1135t t -=，解得55
8
t =
．……………… 3分 若∠NOM=90°，如图2，则点N 与点G 重合．
∵ cos ∠BEF=
OE FE
GE BE
=
， ∴ 835t =，解得403
t =． …………………… 4分
∠ONM=90°的情况不存在． ………………………………………………………… 5分 ② 点N 在射线EB 的反向延长线上．
若∠NMO=90°，如图3，则cos ∠NEM= cos ∠BEF ，
∴
ME FE
NE BE =
． ∴ 1135t t -=，解得552
t =
． …………………… 6分 而∠NOM=90°和∠ONM=90°的情况不存在．…… 7分 综上，当558t =
、403t =或55
2
t =时，△MON 为直角三角形．（第23题图2）
D
(N)
（第23题图3）
D
（第23题）
25.（7分）已知，抛物线2
2y ax bx =+-与x 轴的两个交点分别为A （1,0），B （4，0），与y 轴的交点为C ． （1）求出抛物线的解析式及点C 的坐标；
（2）点P 是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OCB 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（7分）
解：（1）据题意，有
0164202a b a b =+-⎧⎨
=+-⎩，
　．
解得 12
52
a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，　．
∴抛物线的解析式为：215
222
y x x =-
+-．
点C 的坐标为：（0，-2）． ………………………（2）答：存在点P （x ，215
222
x x -+-）
，使以A ，P ，M ∵∠COB =∠AMP =90°，
∴①当
OC OB
MP MA =
时，△OCB ∽△MAP ． ②当OC OB MA MP
=
时，△OCB ∽△MP A ． ①OC MP OB MA =
，∴215
222241
x x x -+=-． 解得：x 1=8，x 2=1（舍）． ②
OC MA OB MP =
，∴221
154222
x x x -=-+． 解得：x 3=5，x 4=1（舍）．
综合①，②知，满足条件的点P 为：P 1（8，-14），P 2（5，-2）． ……………………… 7分
24. 在△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB
=．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．
(1) 当点B
B 的横坐标；
(2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你探究：
当a =，1
2b =-
，c =A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由。

24. 解：（1）∵点O 是AB
的中点，∴1
2
OB AB =
= 设点B 的横坐标是x (x >0)
，则222x +=，
解得
1x =
2x =(舍去)．
∴点B
2分
（2
）当a =1
2b =-
，c =
212
y x =-
2y x =
-
．(＊) ∵抛物线对称轴经过点C ，∴ C
以下分两种情况讨论．
情况1：设点C 在第一象限(如图甲)，
tan 301OC OB =⨯︒==．
由此，可求得点C 的坐标为
)，
点A 的坐标为
(
)，
∵ A ，B 两点关于原点对称，∴ 点B 的坐标为
)．
将点A 的横坐标代入(＊)
，即等于点A 的纵坐标；
将点B 的横坐标代入(＊)
式右边，计算得B 的纵坐标．
∴在这种情况下，A ，B 两点都在抛物线上． ……………………………………4分 情况2：设点C 在第四象限(如图乙)，则点C 的坐标为
)，
点A 的坐标为
)，点B 的坐标为
(
，)．………………6分
经计算，A ，B 两点都不在这条抛物线上． …7分
(情况2另解：经判断，如果A ，B 两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A ，B 两点不可能都在这条抛物线上)
(甲)
(乙)
25．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ．
（1）求证：△DHQ ∽△ABC ；
（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值；
25． 解：
（1）∵A 、D 关于点Q 成中心对称，HQ ⊥AB ，∴C HQD ∠=∠=90°，HD =HA ，
∴A HDQ ∠=∠，∴△DHQ ∽△ABC ． ……………………………………2分 （2）①如图1，当5.20≤<x 时， ED =x 410-，QH =x A AQ 4
3
tan =
∠， 此时x x x x y 4
15
2343)410(212+-=⨯-=
．…………………………………………3分 当4
5=x 时，最大值3275
=y ． ………………………………………………………4分
②如图2，当55.2≤<x 时，ED =104-x ，QH =x A AQ 4
3
tan =∠，
此时x x x x y 4
15
2343)104(212-=⨯-=．…………………………………………5分
当5=x 时，最大值4
75
=
y ．………………………………………………………6分 ∴y 与x 之间的函数解析式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<+-=).
55.2(415
2
3),
5.20(415
2322x x x x x x y
∴y 的最大值是4
75
．…………………………………………………………………8分 说明：以上各题的其它解法只要正确，请参照本评分标准给分。

25．如图，抛物线2
3y ax bx a =+-经过A （-1,0）、C (0,-3)两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D （m ,-m -1）在第四象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点'D 的坐标；（3）在（2）的条件下，连结BD ，问在x 轴上是否存在点P ，使∠PCB =∠CBD ．若存在， 请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．解:(1)∵ 抛物线2
3y ax bx a =+-经过A （-1,0）、C (0,-3)两点， ∴ 30,
3 3.a b a a --=⎧⎨
-=-⎩
解得 1,2.a b =⎧⎨
=-⎩
∴ 抛物线的解析式为2
2 3.y x x =-- …………2分 （2）∵ 点D （m ,-m -1）在抛物线上， ∴ 212 3.m m m --=--
解得，1 2.m m =-=或 ∵D 点在第四象限， 2.m ∴=
D ∴点坐标为（2，3-）.
由题意，B 点坐标为（3，0）.
.OB OC ∴= 45.OCB ∴∠=︒
而90,OCD ∠=︒
.BC OCD ∴∠平分
∴D 点关于BC 的对称点在y 轴上，设为点'D .
由'2CD CD ==可得 '
D 的坐标为（0，－1）. …………5分 （3）满足条件的P 点有两个.
① 过点C 作1CP ∥BD ，交x 轴于点1P .
则1
PCB CBD ∠=∠. 可求直线BC 的解析式为39y x =-. ∵ 直线1CP 过点C ，
∴ 可求直线1CP 的解析式为33y x =-.
∴ 点1P 的坐标为（1，0）.
② 连结'BD ，过点C 作2CP ∥'BD ，交x 轴于点2P . ∴ '
2D BC P CB ∠=∠.
由对称性可知'D BC DBC ∠=∠. ∴ 2P CB CBD ∠=∠. 可求直线'BD 的解析式为1
13
y x =-. ∵ 直线2CP 过点C ，
∴ 可求直线2CP 的解析式为1
33
y x =-. ∴ 点2P 的坐标为（9，0）.
综上，符合题意的P 点坐标为（1，0）或（9，0）. …………8分
说明：本试卷中的试题都只给出了一种解法，对于其他解法请参照评分标准相应给分.
x
24. 在平面直角坐标系xOy 中,反比例函数4y x
=的图象与抛物线2(94)1y x m x m =+++-
交于点A (3, n ).
（1）求n 的值及抛物线的解析式；
（2） 过点A 作直线BC ，交x 轴于点B ，交反比例函数4
y x
=
（0x >）的图象于点C ，且AC =2AB ，求B 、C 两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P 是抛物线对称轴上的一点，且点P 到x 轴和直线BC 的距离相等，求点
P 的坐标.
24. 解：（1）∵点A (3, n )在反比例函数4y x
=的图象上，
4
3
n ∴=.……………………………………………………………………1分
∴A (3，43
).
∵点A (3，43
)在抛物线2
(94)1y x m x m =+++-上，
4
9(94)3 1.3
m m ∴
=++⨯+- ∴23
m =- .
∴抛物线的解析式为25
23
y x x =--．
（2）分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ∴AD ∥CE .
∴△ABD ∽△CBE .
∴AD AB CE CB
= ． ∵AC ＝2AB ，∴
1
3
AB CB =. 由题意，得AD ＝43, ∴4
1
33CE =.
∴CE ＝4．……………………3分
即点C 的纵坐标为4. 当y ＝4时，x ＝1，
∴C (1，4) ………………… 4分 ∵1
,3
BD AB BE CB == DE ＝2, ∴
1
.
23BD BD =+
∴BD ＝1． ∴B (4，0). ……………………………………………………………5分
（3）∵抛物线25
23
y x x =--的对称轴是1x =，
∴P 在直线CE 上. 过点P 作PF ⊥BC 于F . 由题意，得PF ＝PE.
∵∠PCF =∠BCE , ∠CFP =∠CEB =90°,
∴△PCF ∽△BCE .∴
PF PC
BE BC
=
． 由题意，得BE =3，BC =5.
①当点P 在第一象限内时，设P (1，a ) (a ＞0). 则有
4.35a a -= 解得3.2a =∴点P 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. ………………………6分 ②当点P 在第四象限内时，设P (1， a ) (a ＜0) 则有
4.35
a a --= 解得 6.a =- ∴点P 的坐标为()1,6-.……………………………………………7分 ∴点P 的坐标为31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
或()1,6-.
x
25. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =，并且经过（－2，－5）和（5，－12）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，D 是线段BC 上一点
（不与点B 、C 重合），若以B 、O 、D 为顶点的三角形与△BAC 相似，求点D 的坐标； （3）点P 在y 轴上，点M 在此抛物线上，若要使以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，请
你直接写出点M 的坐标.
25．解：（1）由题意，得1,
2425,25512.b
a a
b
c a b c ⎧-=⎪⎪-+=-⎨⎪++=-⎪⎩
解这个方程组，得1,2,3.a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴ 抛物线的解析式为y =－x 2+2x ＋3. （2）令0y =，得2230x x -++=.
解这个方程，得1213x x =-=，. (10)(30)A B ∴-，，，．
令0x =，得3y =．
(03)C ∴，．
4345.
AB OB OC OBC ∴===∠=
，， BC ∴===
过点D 作DE x ⊥轴于点E ． ∵45OBC BE DE ∠=∴= ，．
要使BOD BAC △∽△或BDO BAC △∽△， 已有ABC OBD ∠=∠，则只需BD BO BC BA
=或BO BD
BC BA
=
成立．
若
BD BO
BC BA
=
成立， 则有344
BO BC BD BA ⨯⨯=
==
． 在Rt BDE △中，由勾股定理，得
2
222224BE DE BE BD ⎛+=== ⎝⎭
．
∴94
BE DE ==
． 93344
OE OB BE ∴=-=-
=． ∴点D 的坐标为3944⎛⎫
⎪⎝⎭
，． ……………………………………………4分
若
BO BD
BC BA =成立，则有BO BA BD BC ⨯===
在Rt BDE △中，由勾股定理，得2
2
2
2
2
2BE DE BE BD +===． ∴2BE DE ==．
321OE OB BE ∴=-=-=．
∴点D 的坐标为(12)，
． ……………………………………………5分 ∴点D 的坐标为3944⎛⎫
⎪⎝⎭
，或(12)，
． （3）点M 的坐标为()2,3或(45)，-或(421)-，-． ……………………8分
25．已知：抛物线c x ax y ++=22
，对称轴为直线1-=x ，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于()0,3-A 、B 两点．
(1)求直线AC 的解析式；
(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；
(3)P 为抛物线上一点，若以线段PB 为直径的圆与直线BC 切于点B ,求点P 的坐标．
25.解：（1）∵对称轴122-=-
=a x ∴1a = …………………1分 ∵()0,3-A ∴3c =-
设直线AC 的解析式为y kx b =+
∵()0,3-A ，()3,0-C , 代入得：
直线AC 的解析式为 3--=x y ………………………………………2分
（2）代数方法一： 过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M 、N ．
设()
32,2-+x x x D ，则()3,--x x M …………………………………3分 ∵ABC ACD ABCD S S S ∆∆+四边形＝
136()622
DM AN ON DM +⨯⨯+=+＝ ()[()
]3232
362+-----+=x x x 629232+--=x x 87523232+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=x ……………………………………5分 ∴当23-=x 时，四边形ABCD 面积有最大值8
75. 代数方法二：
OBC ADN S S ∆∆++=S S NDCO ADCB 梯形四边形
=()()()
()23332213232122+-++--++--+x x x x x x = 8
7523236292322+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--x x x ……………………………………5分 ∴当23-
=x 时，四边形ABCD 面积有最大值8
75. 几何方法：
过点D 作AC 的平行线l ，设直线l 的解析式为b x y +-=. 由⎩⎨⎧+-=-+=b
x y x x y 322得：0332=--+b x x ………………………………3分
当()03432
=---=∆b 时，直线l 与抛物线只有一个公共点
即：当4
21-=b 时,△ADC 的面积最大,四边形ABCD 面积最大 此时公共点D 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--
415,23 ………………………………4分 OBC ADN S S ∆∆++=S S NDCO ADCB 梯形四边形
()312
1233214153212
121212
12121⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅+⋅+⋅=⋅+++⋅=
OC OB ON OC DN OA OC OB ON OC DN DN AN =8
75 ………………………………5分 即：当23-=x 时，四边形ABCD 面积有最大值8
75. （3）如图所示，由抛物线的轴对称性可求得B （1，0）
∵以线段PB 为直径的圆与直线BC 切于点B ∴过点B 作BC 的垂线交抛物线于一点，则此点必为点P . 过点P 作x PE ⊥轴于点E ， 可证Rt △PEB ∽Rt △BOC ∴BO
OC PE EB =，故EB =3PE ，……………………………………………………6分
设()32,2-+x x x P ，
∵B （1，0）
∴BE =1-x ，PE =322-+x x
()32312-+=-x x x ，
解得11=x （不合题意舍去），，3102-
=x ∴P 点的坐标为： ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
913310，.………………………………………………7分。