机械设计基础 第4章齿轮机构(4-56)讲解
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（常来加工大模数m>20的齿轮和人字齿轮）。 铣刀轴向剖面形状——与齿轮齿槽的齿廓形状完全相同；
刀具刀号的选择——按被加工齿轮的m、α、z 。
这种切齿方法简单，不需要专用机床，但生产率低、精度差， 故仅适用于单件生产及精度要求不高的场合。
2、拉刀(broaching tool)拉齿
拉刀拉齿主要用来拉削内齿轮，拉刀的形状与齿轮齿 槽形状相同。因拉刀的制造成本高，故它适用于批量生产 的情况。
2、切削过程中的运动（以插齿为例） 1）范成运动
齿条插刀：刀具的节线与被加工齿轮齿坯的分度圆相 切并作纯滚动的运动——刀具移动v =ωr = ωm z / 2。
齿轮插刀：刀具的节圆与齿坯节圆相切并作纯滚动的 运动—— i =ω0 /ω= z /z0）
2）切削运动（↑↓）：刀具沿齿轮毛坯轴向的切齿运动。 3）让刀运动（←→）：插齿刀具返回时，为避免擦伤已
∵ 分度圆与中线作纯滚动，且刀具分度线上s=e=πm/2；
∴ 切出的齿轮： s=e=πm/2；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
ω1
∴ 被切的齿轮
是标准齿轮。 ra1r1'==r1
rb1
h a* m
N1
α '=α
P V2
N 2∞
2 ）切制非标准齿轮时，刀具的加工节线与被加工齿轮的 分度圆相切，刀具的加工节线与中线不重合。
∵ 刀具的加工节线上s≠e； ∴ 被切的齿轮是非标准齿轮。
§4—5 渐开线标准齿轮的啮合传动
一、正确啮合条件 如图4-7所示，当前一对齿
在K点接触时，后一对齿在另一 点K′点接触，则点K和K′点应在 啮合线N1N2上，这样才能保证 各对轮齿都能正确地进入啮合。 为此，两齿轮的相邻两齿同侧 齿廓间的法向齿距（即基圆齿 距）应相等。即：
pb1= pb2
图4-7
中心距和啮合角的关系：
a′cosα′= a cosα
三、渐开线齿轮连续传动的条件和重合度
1、一对轮齿的啮合过程
如图所示为一对渐开线 标准齿轮的啮合过程。轮1为 顺时针转动的主动轮，推动 从动轮2逆时针方向转动。
1）啮合线N1N2 ：按主动轮 转向ω1及啮合线必为基圆 的内公切线可作出；
2、起始啮合点A：当两轮的一对 齿开始啮合时，是先由主动轮 的齿根推动从动轮的齿顶，所 以起始啮合点是从动轮的齿顶 圆与啮合线N1N2的交点A；
加工出的齿廓，工件后退的运动。
4）进给运动（ → ）：为了加工出全齿高，刀具沿齿轮毛 坯径向的进给运动。
范成法加工齿轮情况：
齿条插刀插齿
齿轮插刀插外齿
齿轮插刀插内齿
磨齿
3、滚齿加工 利用滚刀(hob) （如图4-14a）在滚齿机上加工。 滚刀形状象一开有刀口的螺旋。滚刀的轴向剖面相
当于直线齿形的齿条，滚刀旋转时，相当于直线齿廓的齿 条沿其轴线方向连续不断移动，从而可以加工任意齿数的 齿轮。
2）保证两轮的顶隙c为标准值，即c=c*m。 在一轮的齿顶圆与
另一轮的齿根圆之间应 留有一定的间隙，称为 顶隙。顶隙的标准值为 c=c*m。
由图4-8可见，顶隙 的大小也与中心距大小 有关。
图4-8
2、标准中心距和标准安装
当顶隙为标准值c=c*m 时，设中心距为a，则
a = ra1+ c + rf2 =r1+ha*m+c*m+r2-( ha*+c*)m = r1 +r2 = m ( z1 + z2 ) / 2
pb1= pb2 ∴πm1 cosα1=πm2 cosα2 ∴ m1 cosα1= m2 cosα2 式中m1 、m2 和α1、α2分别 为两轮的模数和压力角。
∵ 模数和压力角都是标准值， 不能任意选取，所以要满足 上式，必须使：
m1 = m2 = m，α1=α2=α ∴ 正确啮合条件是：两轮的模
数和压力角应分别相等。
◆ 传动比：i12=ω1 /ω2= r2′/r1′= rb2/ rb1 = r2 cosα2 / r1 cosα1= r2 / r1=m2z2/m1z1=z2/z1
二、齿轮传动的中心距及啮合角
1、确定齿轮传动的中心距时应满足的条件 1）保证两轮的齿侧间隙为零 ——满足无侧隙啮合条件。
3、冲压(stamping)齿轮
冲头的形状与完整的轮齿或完整的齿槽的形状相同， 它可以冲压出内齿轮，也可以冲压出外齿轮。它适用于批 量生产。
二、范成法(Generating Method)
原理：一对齿轮或齿轮齿条啮合时，两齿轮的节圆或节圆 与节线作纯滚动，两轮的齿廓互为共轭曲线（即互 为包络线）。
3、终止啮合点E：主动轮的齿顶 圆与啮合线N1N2的交点E。
∴ 啮合点的实际轨迹为A→E的 线段。
4、AE—— 实际啮合线长。
5、N1N2 ——理论啮合线长：理论上可能的最长啮合线段。 6、N1、N2 ——啮合极限点，即基圆上的切点。
2、连续传动的条件 如图4-9所示为一对外啮合直齿标准齿轮传动。
在用滚刀加工 直齿轮时，滚刀的 轴线与被加工齿轮 端面之间的夹角应 等于滚刀的升角γ （如图4-14b） 。
滚齿法既可以加工直齿轮，又能很方便地加工出斜 齿轮（如图），生产率较高，它是齿轮加工中普遍应用 的方法，但精度不及插齿。
滚刀
滚直齿轮
滚斜齿轮
4、用标准齿条型刀具加工齿轮 当用齿条型刀具加工齿轮（可以是非标准齿轮）时，
1、刀具及其齿形 刀具的选择依据——按被加工齿轮的m、α。而齿数z 由机床的传动系统来保证。
1）齿条插刀 (又称梳齿刀) ： 标准齿条型刀具
其齿形与标准齿条相似，只是齿顶比标准齿条高出 c*m（如图4-13），以切出轮齿齿根部分的过渡曲线。
齿顶线 中线
齿根线
刀具顶线 齿顶线 中线
齿根线
刀具顶线 齿顶线
图4-9
3、重合度(Contact Ratio)
通常把AE与pb的比值ε称为齿轮传动的重合度。其大 小反映了齿轮连续传动的程度。则：
ε= AE / pb≥1——连续传动条件 在实际的工程中，应要求ε≥[ε]（许用重合度）。 [ε] 随齿轮机构的使用要求和制造精度而定，常用的推荐值见 有关手册。 对于标准齿轮传动，其重合度都大于1，故可不必验 算。
ε↑→同时参与啮合轮齿的对数↑→每对齿承受的载荷 ↓→承载能力↑，传动平稳性↑
∴ 重合度是衡量齿轮传动性能的一个重要指标。 例如：ε=1.4——表示同时平均有1.4对轮齿在参与啮合。
6、分析讨论——重合度与齿轮基本参数之间的关系 ε= [z1(tanαa1 - tanα′) ± z2 (tanαa2 - tanα′)] /(2π) ε与m无直接 关系；
即两轮的中心距a等 于两轮的分度圆半径之和。 我们把这种中心距称为标 准中心距。
∵ a= r1 +r2= r1′+r2′ 且i12= r2′/ r1′= r2 / r1 ∴ r1= r1′， r2= r2′即分度圆 与节圆重合，两个分度圆 相切。
这种按标准中心距 （即分度圆与节圆重合） 的安装，称为标准安装。
2）z↑→ε↑（∵ z↑→ r↑→ra ↑→ AE↑→ε ↑） z→∞时，ε →εmax=1.982
3）ha *↑→ ra ↑→αa↑→ε↑； 4）a′↑→α′↑→ε↓。
§4—6 渐开线齿轮的切齿原理
齿轮的加工方法很多，有铸造、热轧、冲压、模锻、 粉末冶金和切削法等，其中最常用的是切削法。
渐开线齿轮的切齿方法按加工原理的不同，可分为： 成形法（仿形法）：分铣削法、拉削法和冲压法；
中线
齿根线
高出的部分：是圆弧而不是直线，所以这部分刀刃加工出 来的齿廓不是渐开线，而是轮齿齿根部分的过渡曲线。 因此在以后讨论渐开线齿廓的切制时，高出的部分将 不再考虑，而认为齿条型刀具的齿顶高ha*m。
刀具的斜直线：加工渐开线。 刀具的水平顶线（直线）：加工齿根圆。齿顶圆是事先车
好的。
2）齿轮插刀：其形状与标准外齿轮相似，它不但能够加 工外齿轮，还能加工内齿轮。
∵ 一对轮齿的啮合区间是有限的，
即实际啮合线长AE 。 ∴ 为了使齿轮能够连续传动，就
必须保证在前一对轮齿尚未脱离啮
合（即未到终止啮合点E）之前，后
A
一对轮齿就应及时地进入啮合（即
E
已经到达或超过A）。为此要求：实 际啮合线长AE应大于或等于齿轮的 法向齿距（即基圆齿距）pb。即：
AE≥pb——连续传动条件
在标准安装时： ∵ 标准齿轮分度圆上：s1= e1= s2=e2=πm/2，且分度圆与
节圆重合。 ∴ s1′= e1′= s2′=e2′=πm/2 ∴ △=e2′-s1′= e1′-s2′=0 ——无侧隙条件 ∴ 标准齿轮在标准安装时，能满足无侧隙啮合的要求。
标准安装： r′= r ，△=0 ，α′=α，a′= a
4、重合度的计算公式 ε= [z1(tanαa1 - tanα′) ± z2 (tanαa2 - tanα′)] /(2π)
其中：外啮合传动，取“+”；内啮合传动，取“-”； a′cosα′= a cosα→求α′； cosαa= rb / ra→求αa 。
5、ε的物理意义 ε的物理意义：表明同时参与啮合轮齿的对数的多少。
一对齿轮传动时，为了便于润滑， 避免轮齿受力变形和发热膨胀，在两 轮的齿侧要留有一定的间隙。 侧隙△=e2′-s1′= e1′-s2′ 。
但为了使齿轮在正转和反转时避 免轮齿间的冲击，这种齿侧间隙一般 都很小，通常是由制造公差来保证的。而在设计、计算齿 轮的公称尺寸时，都按无侧隙来考虑，即△=0。
由图4-8可见，侧隙的大小与中心距的大小有关。
与齿条加工节线相切的圆是分度圆，也是节圆（即分度圆 与节圆重合）。因为加工节线上m、α是标准值，所以加 工出来的齿轮的m、α是标准值。
1
ω1
ra1r1'==r1
h a* m
N 2∞
rb1
N1
P V2
α '=α
安装要求： 1）切制标准齿轮时，刀具的中线刚好与被加工齿轮的分
度圆相切，刀具的加工节线与中线重合。
▲ 注意：①分度圆和压力角是单个齿轮本身所具有的， 节圆和啮合角是两个齿轮啮合时才出现的。
②标准齿轮只有在标准安装时，压力角与啮合角才相 等，否则，压力角与啮合角就不相等。
4、非标准安装 实际中心距a′≠a
（对于外啮合齿轮， a′>a）的安装，称为非 标准安装。此时：
r′> r，α′>α， c > c*m，△>0。
范成法（展成法）：分齿轮型刀具（齿轮插刀）和齿条 型刀具（齿条插刀、滚刀）。
一、成形法(Forming Method)
用与渐开线齿轮的齿槽形状相同的成形 刀具直接切削出齿轮齿形的一种加工方法。
1、铣齿：用普通铣床(milling machine)铣去齿槽的金属
来形成齿轮的轮齿。
刀具(cutter)——盘形铣刀或指状铣刀（图4-10a、b）
刀具刀号的选择——按被加工齿轮的m、α、z 。
这种切齿方法简单，不需要专用机床，但生产率低、精度差， 故仅适用于单件生产及精度要求不高的场合。
2、拉刀(broaching tool)拉齿
拉刀拉齿主要用来拉削内齿轮，拉刀的形状与齿轮齿 槽形状相同。因拉刀的制造成本高，故它适用于批量生产 的情况。
2、切削过程中的运动（以插齿为例） 1）范成运动
齿条插刀：刀具的节线与被加工齿轮齿坯的分度圆相 切并作纯滚动的运动——刀具移动v =ωr = ωm z / 2。
齿轮插刀：刀具的节圆与齿坯节圆相切并作纯滚动的 运动—— i =ω0 /ω= z /z0）
2）切削运动（↑↓）：刀具沿齿轮毛坯轴向的切齿运动。 3）让刀运动（←→）：插齿刀具返回时，为避免擦伤已
∵ 分度圆与中线作纯滚动，且刀具分度线上s=e=πm/2；
∴ 切出的齿轮： s=e=πm/2；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
ω1
∴ 被切的齿轮
是标准齿轮。 ra1r1'==r1
rb1
h a* m
N1
α '=α
P V2
N 2∞
2 ）切制非标准齿轮时，刀具的加工节线与被加工齿轮的 分度圆相切，刀具的加工节线与中线不重合。
∵ 刀具的加工节线上s≠e； ∴ 被切的齿轮是非标准齿轮。
§4—5 渐开线标准齿轮的啮合传动
一、正确啮合条件 如图4-7所示，当前一对齿
在K点接触时，后一对齿在另一 点K′点接触，则点K和K′点应在 啮合线N1N2上，这样才能保证 各对轮齿都能正确地进入啮合。 为此，两齿轮的相邻两齿同侧 齿廓间的法向齿距（即基圆齿 距）应相等。即：
pb1= pb2
图4-7
中心距和啮合角的关系：
a′cosα′= a cosα
三、渐开线齿轮连续传动的条件和重合度
1、一对轮齿的啮合过程
如图所示为一对渐开线 标准齿轮的啮合过程。轮1为 顺时针转动的主动轮，推动 从动轮2逆时针方向转动。
1）啮合线N1N2 ：按主动轮 转向ω1及啮合线必为基圆 的内公切线可作出；
2、起始啮合点A：当两轮的一对 齿开始啮合时，是先由主动轮 的齿根推动从动轮的齿顶，所 以起始啮合点是从动轮的齿顶 圆与啮合线N1N2的交点A；
加工出的齿廓，工件后退的运动。
4）进给运动（ → ）：为了加工出全齿高，刀具沿齿轮毛 坯径向的进给运动。
范成法加工齿轮情况：
齿条插刀插齿
齿轮插刀插外齿
齿轮插刀插内齿
磨齿
3、滚齿加工 利用滚刀(hob) （如图4-14a）在滚齿机上加工。 滚刀形状象一开有刀口的螺旋。滚刀的轴向剖面相
当于直线齿形的齿条，滚刀旋转时，相当于直线齿廓的齿 条沿其轴线方向连续不断移动，从而可以加工任意齿数的 齿轮。
2）保证两轮的顶隙c为标准值，即c=c*m。 在一轮的齿顶圆与
另一轮的齿根圆之间应 留有一定的间隙，称为 顶隙。顶隙的标准值为 c=c*m。
由图4-8可见，顶隙 的大小也与中心距大小 有关。
图4-8
2、标准中心距和标准安装
当顶隙为标准值c=c*m 时，设中心距为a，则
a = ra1+ c + rf2 =r1+ha*m+c*m+r2-( ha*+c*)m = r1 +r2 = m ( z1 + z2 ) / 2
pb1= pb2 ∴πm1 cosα1=πm2 cosα2 ∴ m1 cosα1= m2 cosα2 式中m1 、m2 和α1、α2分别 为两轮的模数和压力角。
∵ 模数和压力角都是标准值， 不能任意选取，所以要满足 上式，必须使：
m1 = m2 = m，α1=α2=α ∴ 正确啮合条件是：两轮的模
数和压力角应分别相等。
◆ 传动比：i12=ω1 /ω2= r2′/r1′= rb2/ rb1 = r2 cosα2 / r1 cosα1= r2 / r1=m2z2/m1z1=z2/z1
二、齿轮传动的中心距及啮合角
1、确定齿轮传动的中心距时应满足的条件 1）保证两轮的齿侧间隙为零 ——满足无侧隙啮合条件。
3、冲压(stamping)齿轮
冲头的形状与完整的轮齿或完整的齿槽的形状相同， 它可以冲压出内齿轮，也可以冲压出外齿轮。它适用于批 量生产。
二、范成法(Generating Method)
原理：一对齿轮或齿轮齿条啮合时，两齿轮的节圆或节圆 与节线作纯滚动，两轮的齿廓互为共轭曲线（即互 为包络线）。
3、终止啮合点E：主动轮的齿顶 圆与啮合线N1N2的交点E。
∴ 啮合点的实际轨迹为A→E的 线段。
4、AE—— 实际啮合线长。
5、N1N2 ——理论啮合线长：理论上可能的最长啮合线段。 6、N1、N2 ——啮合极限点，即基圆上的切点。
2、连续传动的条件 如图4-9所示为一对外啮合直齿标准齿轮传动。
在用滚刀加工 直齿轮时，滚刀的 轴线与被加工齿轮 端面之间的夹角应 等于滚刀的升角γ （如图4-14b） 。
滚齿法既可以加工直齿轮，又能很方便地加工出斜 齿轮（如图），生产率较高，它是齿轮加工中普遍应用 的方法，但精度不及插齿。
滚刀
滚直齿轮
滚斜齿轮
4、用标准齿条型刀具加工齿轮 当用齿条型刀具加工齿轮（可以是非标准齿轮）时，
1、刀具及其齿形 刀具的选择依据——按被加工齿轮的m、α。而齿数z 由机床的传动系统来保证。
1）齿条插刀 (又称梳齿刀) ： 标准齿条型刀具
其齿形与标准齿条相似，只是齿顶比标准齿条高出 c*m（如图4-13），以切出轮齿齿根部分的过渡曲线。
齿顶线 中线
齿根线
刀具顶线 齿顶线 中线
齿根线
刀具顶线 齿顶线
图4-9
3、重合度(Contact Ratio)
通常把AE与pb的比值ε称为齿轮传动的重合度。其大 小反映了齿轮连续传动的程度。则：
ε= AE / pb≥1——连续传动条件 在实际的工程中，应要求ε≥[ε]（许用重合度）。 [ε] 随齿轮机构的使用要求和制造精度而定，常用的推荐值见 有关手册。 对于标准齿轮传动，其重合度都大于1，故可不必验 算。
ε↑→同时参与啮合轮齿的对数↑→每对齿承受的载荷 ↓→承载能力↑，传动平稳性↑
∴ 重合度是衡量齿轮传动性能的一个重要指标。 例如：ε=1.4——表示同时平均有1.4对轮齿在参与啮合。
6、分析讨论——重合度与齿轮基本参数之间的关系 ε= [z1(tanαa1 - tanα′) ± z2 (tanαa2 - tanα′)] /(2π) ε与m无直接 关系；
即两轮的中心距a等 于两轮的分度圆半径之和。 我们把这种中心距称为标 准中心距。
∵ a= r1 +r2= r1′+r2′ 且i12= r2′/ r1′= r2 / r1 ∴ r1= r1′， r2= r2′即分度圆 与节圆重合，两个分度圆 相切。
这种按标准中心距 （即分度圆与节圆重合） 的安装，称为标准安装。
2）z↑→ε↑（∵ z↑→ r↑→ra ↑→ AE↑→ε ↑） z→∞时，ε →εmax=1.982
3）ha *↑→ ra ↑→αa↑→ε↑； 4）a′↑→α′↑→ε↓。
§4—6 渐开线齿轮的切齿原理
齿轮的加工方法很多，有铸造、热轧、冲压、模锻、 粉末冶金和切削法等，其中最常用的是切削法。
渐开线齿轮的切齿方法按加工原理的不同，可分为： 成形法（仿形法）：分铣削法、拉削法和冲压法；
中线
齿根线
高出的部分：是圆弧而不是直线，所以这部分刀刃加工出 来的齿廓不是渐开线，而是轮齿齿根部分的过渡曲线。 因此在以后讨论渐开线齿廓的切制时，高出的部分将 不再考虑，而认为齿条型刀具的齿顶高ha*m。
刀具的斜直线：加工渐开线。 刀具的水平顶线（直线）：加工齿根圆。齿顶圆是事先车
好的。
2）齿轮插刀：其形状与标准外齿轮相似，它不但能够加 工外齿轮，还能加工内齿轮。
∵ 一对轮齿的啮合区间是有限的，
即实际啮合线长AE 。 ∴ 为了使齿轮能够连续传动，就
必须保证在前一对轮齿尚未脱离啮
合（即未到终止啮合点E）之前，后
A
一对轮齿就应及时地进入啮合（即
E
已经到达或超过A）。为此要求：实 际啮合线长AE应大于或等于齿轮的 法向齿距（即基圆齿距）pb。即：
AE≥pb——连续传动条件
在标准安装时： ∵ 标准齿轮分度圆上：s1= e1= s2=e2=πm/2，且分度圆与
节圆重合。 ∴ s1′= e1′= s2′=e2′=πm/2 ∴ △=e2′-s1′= e1′-s2′=0 ——无侧隙条件 ∴ 标准齿轮在标准安装时，能满足无侧隙啮合的要求。
标准安装： r′= r ，△=0 ，α′=α，a′= a
4、重合度的计算公式 ε= [z1(tanαa1 - tanα′) ± z2 (tanαa2 - tanα′)] /(2π)
其中：外啮合传动，取“+”；内啮合传动，取“-”； a′cosα′= a cosα→求α′； cosαa= rb / ra→求αa 。
5、ε的物理意义 ε的物理意义：表明同时参与啮合轮齿的对数的多少。
一对齿轮传动时，为了便于润滑， 避免轮齿受力变形和发热膨胀，在两 轮的齿侧要留有一定的间隙。 侧隙△=e2′-s1′= e1′-s2′ 。
但为了使齿轮在正转和反转时避 免轮齿间的冲击，这种齿侧间隙一般 都很小，通常是由制造公差来保证的。而在设计、计算齿 轮的公称尺寸时，都按无侧隙来考虑，即△=0。
由图4-8可见，侧隙的大小与中心距的大小有关。
与齿条加工节线相切的圆是分度圆，也是节圆（即分度圆 与节圆重合）。因为加工节线上m、α是标准值，所以加 工出来的齿轮的m、α是标准值。
1
ω1
ra1r1'==r1
h a* m
N 2∞
rb1
N1
P V2
α '=α
安装要求： 1）切制标准齿轮时，刀具的中线刚好与被加工齿轮的分
度圆相切，刀具的加工节线与中线重合。
▲ 注意：①分度圆和压力角是单个齿轮本身所具有的， 节圆和啮合角是两个齿轮啮合时才出现的。
②标准齿轮只有在标准安装时，压力角与啮合角才相 等，否则，压力角与啮合角就不相等。
4、非标准安装 实际中心距a′≠a
（对于外啮合齿轮， a′>a）的安装，称为非 标准安装。此时：
r′> r，α′>α， c > c*m，△>0。
范成法（展成法）：分齿轮型刀具（齿轮插刀）和齿条 型刀具（齿条插刀、滚刀）。
一、成形法(Forming Method)
用与渐开线齿轮的齿槽形状相同的成形 刀具直接切削出齿轮齿形的一种加工方法。
1、铣齿：用普通铣床(milling machine)铣去齿槽的金属
来形成齿轮的轮齿。
刀具(cutter)——盘形铣刀或指状铣刀（图4-10a、b）