四川省成都市新都一中高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何05用向量计算空间角 (共47张PPT) (共47张

第5课时 用向量计算空间角
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第5课时 用向量计算空间角
• (3)二面角:从一条直线出发的两个半平面组 成的图形叫作二面角，以二面角棱上任意一 点为端点，在两个平面内分别垂直于棱的两 条射线所成的角叫作二面角的平面角，平面 角是直角的二面角叫作直二面角. • 想一想:异面直线所成的角，线面角，二面 角的取值范围分别是 .
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• 3.用向量法计算二面角 • 例3、如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所 有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A－ A1D－B的余弦值. • 【方法指导】根据线面 的垂直关系建立适当的 空间直角坐标系，求出 两个平面的法向量，计 算两个法向量所成的角， 从而得到二面角的余弦值.
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• 1.求异面直线所成的角 • 例1、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中 ，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面 直线A1M与DN所成的角的大小是 . • 【方法指导】建立坐标系， 分别求出直线A1M和DN的 方向向量，利用公式求解.
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第5课时 用向量计算空间角
• 【方法指导】(1)通过证明线面垂直来证明线 线垂直;(2)构造空间直角坐标系，求出相关点 的坐标.利用公式求直线A1C与平面BB1C1C所 成角的正弦值. • 【解析】(1)取AB的中点O，连接OC，OA1， A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝ AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角 形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故 AB⊥A1C.
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• 变式训练1、在棱长为1的正方体ABCD－ A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点 ，则直线AM和CN所成角的余弦值是 .
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高中数学人教A版 选修2－1 第三章
四川省成都市新都一中 肖宏
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• 回顾一下二面角的定义，两个半平面形成的 二面角与这两个半平面的法向量的夹角的关 系.
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• 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)， C(0，1，0).
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• 2.求直线与平面所成的角 • 例2、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA ＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. • (1)证明:AB⊥A1C. • (2)若平面ABC⊥平面 AA1B1B，AB＝CB， 求直线A1C与平面 BB1C1C所成角的 正弦值.
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• ④直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为 120°，则l和α所成角为30°. • ⑤若两个平面α，β的法向量n1，n2的夹角为θ ，则其二面角的大小是π－θ. • 【答案】④
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第5课时 用向量计算空间角
• 变式训练2、如图，在长方体ABCD－ A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8， 点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4 ，过点E，F的平面α与此长方体的面相交， 交线围成一个正方形. • (1)在图中画出这个正方形 (不必说出画法和理由); • (2)求直线AF与平面α所成 角的正弦值.
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