2020高考理科数学一轮复习学案：8.6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算

8．6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间，我们把具有________和________的量叫做空间向量．
(2)零向量：规定______________的向量叫做零向量．
(3)单位向量：________的向量称为单位向量． (4)相反向量：与向量a __________________的向量，称为a 的相反向量，记为－a ．
(5)相等向量：________________的向量称为相等向量．
(6)空间向量的加法运算满足交换律及结合律： a ＋b ＝________；(a ＋b )＋c ＝______________．
2．空间向量的数乘运算 (1)向量的数乘：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘．
①当λ____0时，λa 与向量a 方向相同； 当λ____0时，λa 与向量a 方向相反． ②λa 的长度是向量a 的长度的______倍． (2)空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： ①分配律：λ(a ＋b )＝____________． ②结合律：λ(μa )＝________．
(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线________________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(4)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b ()b ≠0，a ∥b 的充要条件是________________________．
(5)空间直线l 的方向向量：和直线l________的非零向量a 叫做直线l 的方向向量．
(6)空间直线的向量表示：l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是__________________________，特别地，如果a ＝AB →，则上式可以化为OP →＝OA →＋t AB →
，或________________，这也是空间三点A ，B ，P 共线的充要条件．
(7)共面向量：________________的向量叫做共面向量．
(8)空间共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是__________________________________________．
推论：对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式__________________________，其中__________，则点P 与点A ，B ，C 共面．
3．空间向量的数量积运算 (1)空间向量的数量积：已知两个非零向量a ，b ，则________________叫做a ，b 的数量积，记作a ·b ，通常规定，0≤〈a ，b 〉≤π．对于两个非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔____________．
(2)空间零向量与任何向量的数量积为________．
(3)a ·a ＝||a ||a cos 〈a ，a 〉＝________．
(4)空间向量的数量积满足如下的运算律： ①()λa ·b ＝__________；
②a ·b ＝__________(交换律)；
③a ·()b ＋c ＝________________(分配律)．
自查自纠：
1．(1)大小 方向 (2)长度为0 (3)模为1 (4)长度相等而方向相反 (5)方向相同且模相等
(6)b ＋a a ＋(b ＋c )
2．(1)①＞ ＜ ②||λ (2)①λa ＋λb ②()λμa (3)互相平行或重合 (4)存在实数λ，使a ＝λb (5)平行 (6)存在实数t ，使OP →＝OA →
＋t a OP →＝()1－t OA →＋tOB →
(7)平行于同一个平面 (8)存在惟一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
x ＋y ＋z ＝1 3．(1)||a ||b cos 〈a ，b 〉 a ·b ＝0 (2)0
(3)||a 2 (4)①λ()a ·b ②b ·a ③a ·b ＋a ·c
已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，
且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →
，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是 ( )
A ．OA →
B ．OB →
C ．OC →
D ．OA →或OB →
解：根据题意得OC →＝12(a －b )，所以OC →
，a ，b
共面．故选C ．
有如下四个关于空间向量的命题(x ，y ∈R )： ①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →
，则P ，M ，A ，B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →． 其中真命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：①正确．②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．③正确．④中若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →
不正确．故选B ．
如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝
OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →
〉的
值为 (
)
A ．0
B ．1
2
C ．
32 D ．22
解：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →
＝a ·(c －b )
＝a ·c －a ·b ＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0，所以cos 〈OA →，BC →
〉
＝0．
故选A ．
如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，
O 为AC
的中点．
(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →
＝_______________．
(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→
＝_________________．
解：(1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →
)＝
A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA →＝A 1A →
．
(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1→＝OC
→
＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12
AD →＋AA 1→
．
故填A 1A →；12AB →＋12
AD →＋AA
1→．
(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体
ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧面CC 1D 1D 的中心是F ，若 AF →＝AD →＋mAB →＋nAA 1→
，则m ＝________，n ＝
________．
解：因为AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→
)＝
AD →＋12(AB →＋AA 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→
，所以m ＝n ＝
12．故填12；1
2
．
类型一 空间向量的运算
在三棱锥O -ABC 中，M ，N 分别是OA ，
BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →
，OC →表示MG →，OG →．
解：MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12
OA →
＋
23(ON →－OA →
)＝12OA →＋23⎣⎡⎦⎤12（OB →＋OC →）－OA →＝ －16OA →＋ 13OB →＋13OC →
． OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝
1
3OA →＋13OB →＋13
OC →
．
点 拨： 把平面向量的运算推广到空间后，许多基本的
运算规则没有变，在解题过程中，要明确目标，把所求向量向三个基底向量转化，并注意向量拆分和
重组的技巧．若表示的向量涉及线段的中点，可利用平行四边形法则来表示此向量，也可利用包含要
表示的向量的封闭图形，根据封闭图形各边依次构成的向量之和为零向量得到相关式子；求空间若干
向量之和时，可通过平移，将它们转化为首尾相接
的向量．
如图，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1
中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ，E 为A 1D 1的中点，F 为BC 1与B 1C 的交点．
(1)用基底{a ，b ，c }表示下列向量：DB 1→，BE →
，AF →；
(2)在图中画出DD 1→＋DB →＋CD →
化简后的向量．
解：(1)DB 1→＝DC →＋CB 1→＝DC →＋BB 1→－BC →
＝a －
b ＋
c ， BE →＝BA →＋AA 1→＋A 1E →
＝－a ＋1
2b ＋c ，
AF →＝AB →＋BF →
＝a ＋12(b ＋c )
＝a ＋12b ＋1
2c ．
(2)DD 1→＋DB →＋CD →＝DD 1→＋(CD →＋DB →) ＝DD 1→＋CB →＝DD 1→＋D 1A 1→＝DA 1→
． 连接DA 1，则DA 1→
即为所求． 类型二 空间向量共线与共面问题
(1)如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心．
(Ⅰ)求证：A 1，G ，C 三点共线； (Ⅱ)求证：A 1C ⊥平面BC 1D ； (Ⅲ)求点C 到平面BC 1D 的距离． 解：(Ⅰ)证明：由于正方体ABCD -
A 1
B 1
C 1
D 1是平行六面体，所以CA 1→＝CA →＋AA 1→
＝CB →＋CD →＋CC 1→．
又因为点G 为△BC 1D 的重心， 所以CG →＝13()
CB →＋CD →＋CC 1→
＝13CA 1
→．
故CG →∥CA 1→
，即A 1，G ，C 三点共线． (Ⅱ)证明：设CB →＝b ，CD →＝ c ，CC 1→
＝d ，则||b ＝
||c ＝||d ，且b ·c ＝b ·d ＝c ·d ＝0．
因为CA 1→＝CB →＋CD →＋CC 1→
＝b ＋c ＋d ， BC 1→＝BC →＋CC 1→
＝d －b ，
所以CA 1→·BC 1→
＝(b ＋c ＋d )(d －b )＝a 2－a 2＝0． 所以CA 1→⊥BC 1→
，即CA 1⊥BC 1．
同理可证CA 1⊥B D ．
又BC 1∩BD ＝B ，所以CA 1⊥面BC 1D ．
(Ⅲ)由上面的证明知点C 到平面BC 1D 的距离为CG ．
因为CA 1→＝b ＋c ＋d ，所以||
CA 1
→＝3a ． 所以||CG
→＝13||
CA 1→＝33
a ． (2)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1
和A 1D 1的中点．求证：向量A 1B →，B 1C →，EF →
是共面向量．
证明：因为EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →
＝12B 1B →－A 1B →＋12
A 1D 1→ ＝12(
B 1B →＋B
C →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →， 所以向量A 1B →，B 1C →，EF →
是共面向量．
点 拨：
题(1)利用平行向量的充要条件可解决三点共线和线线平行等问题，要注意空间向量基底的选取，同时要重视空间向量基本定理的使用，用基底表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程．通过向量的数量积运算，可证明垂直问题，亦可计算直线与平面所成角、异面
直线所成角以及距离等问题．题(2)要证向量A 1B →
，B 1C →，EF →是共面向量，只需证得EF →＝λA 1B →＋μB 1C →，解题的关键是寻找有序实数对(λ，μ)满足上述关系式．
如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是
空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA
的中点，用向量方法证明：
(1)E ，F ，G ，H 四点共面；
(2)BD ∥平面EFGH ．
证明：(1)连接BG ，EG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →
＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →
，由共面向量定理知，E ，F ，G ，
H 四点共面．
(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12
(AD →－AB →
)
＝12BD →，且E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥B D ． 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH ．
类型三 利用数量积求长度问题
如图所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，
底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．则AC 1的长
为____________．
解：记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ，
则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，
所以a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝1
2
．
|AC 1→
|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×(12＋12＋12
)＝6，
所以|AC 1→
|＝6，即AC 1的长为6．故填6．
点 拨：
要求一个向量的模，就需要把向量分解成几个已知向量的和，利用向量的平方等于向量的模的平方可求出模的平方，进一步求出模．这里要注意向量和向量的夹角对数量积的影响．
如图所示，已知在一个60°的二面角
的棱上，有两个点A ，B ，AC ，BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4cm ，AC ＝6cm ，BD ＝8cm ，则CD 的长为____________cm ．
解：因为CD →＝CA →＋AB →＋BD →＝AB →－AC →＋BD →
， 所以CD →2＝(AB →－AC →＋BD →)2 ＝(AB →－AC →)2＋BD →2＋2(AB →－AC →)·BD → ＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →＋BD →2＋2AB →·BD →－2AC →·BD →
＝16＋36＋64－2×6×8×cos60° ＝68．
所以||
CD →＝217cm ．故填217．
类型四 异面直线所成角问题
(2017辽中县第二高级中学月考)如图所
示，已知空间四边形ABCD 的每条
边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：
(1)EF →·BA →；
(2)EG 的长；
(3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值． 解：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →
＝c ．
则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，
(1)EF →＝12BD →＝12c －12
a ，BA →
＝－a ，
EF →·BA →
＝⎝⎛⎭⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14， (2)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝1
2a ＋b －a ＋12c －12b
＝－12a ＋12b ＋1
2
c ，
|EG →
|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，
则|EG →
|＝22
．
(3)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →
＝－b ＋12a ，
cos 〈AG →，CE →
〉＝AG →·CE →
|AG →||CE →
|＝－23，
由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为2
3．
点 拨：
要求异面直线AG 与CE 所成角的余弦值，可
利用向量的数量积，求出AG →·CE →及|AG →|和|CE →
|的值，再套用公式cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →
|AG →||CE →|求得AG →与CE
→
所成角的余弦值，但上述结果并不一定是异面直线所成的角，由于异面直线所成角的取值范围为
⎝⎛⎦
⎤0，π2，所以，若求得的余弦值为负值，则取其绝对值．
如图所示，四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1
中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．则异面直线BD 1与AC 夹角的余弦值为____________．
解：记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ，
则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，
所以a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝1
2
．
BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，所以|BD 1→
|＝2， |AC →
|＝3．
所以cos 〈BD 1→，AC →
〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|
＝（b ＋c －a ）·（a ＋b ）2
×3
＝66．故填6
6．
1．空间向量的线性运算
用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，可从以下角度入手．
(1)要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来．
(2)把被表示向量用其他向量线性表示，进而寻找这些向量与基向量的关系．
(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起
点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．
(4)注意应用以下结论．
①A 为BC 的中点，O 为空间任一点，则OA →
＝OB →＋OC
→2
； ②A ，B ，C 三点共线，O 为空间任一点，则 OA →＝()1－t OB →＋tOC →
(t ∈R )．
2．共线向量定理、共面向量定理的应用 应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面．
(1)证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P ，A ，B ，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
①P A →＝λPB →；
②对空间任一点O ，存在实数t ，使OP →＝OA →
＋tAB →；
③对空间任一点O ，OP →＝()1－t OA →＋tOB →或OP →
＝xOA →＋yOB →
，这里x ＋y ＝1．
(2)证明空间四点共面的方法
对空间四点P ，M ，A ，B ，可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
①MP →＝xMA →＋yMB →；
②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →
； ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →＋zOM →
，其中x ＋y ＋z ＝1；
④PM →∥AB →．
注：在③中，若x ＝y ＝z ＝1
3，则点P 即为△MAB
的重心．
设M ()x 1，y 1，z 1，A ()
x 2，y 2，z 2，
B ()x 3，y 3，z 3，P ()x ，y ，z ，
若P 为△MAB 的重心，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2＋x 33
，
y ＝y 1
＋y 2
＋y
3
3，z ＝z 1
＋z 2
＋z 3
3，
此
即为三角形重心坐标公式．
3．利用向量解决立体几何问题的一般方法 (1)利用向量解决立体几何问题的一般方法是：把线段或者角度转化为向量表示，用已知向量(基底或者是建立空间直角坐标系)表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决平行、垂直、夹角、距离等问题．
(2)通常选取两两垂直的向量作为基底，其余的向量都利用这些基底向量来表示，为进一步利用向量进行计算做铺垫．
(3)求两个向量的夹角一般是利用夹角公式 cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a ||b |
；证明两个非零向量垂直可利用a ·b ＝0．
1．(2017·上饶期中)如图所示，三棱锥O -ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →
＝a ， OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →＝(
)
A ．12(－a ＋b ＋c )
B ．1
2(a ＋b －c )
C ．12(a －b ＋c )
D ．1
2
(－a －b ＋c )
解：NM →＝NA →＋AM →＝OA →－ON →＋12AB →＝OA →－ 12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC →＝1
2(a ＋b －c )，故选B ．
2．(2017·
上海奉贤二模)已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，下列向量的数量积一定不为0的是 (
)
A ．AD 1→·
B 1
C → B ．B
D 1→·AC → C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →
解：当侧面BCC 1B 1是正方形时，可得AD 1→·B 1C →
＝0，所以排除A ．当底面ABCD 是正方形时，AC 垂直于对角面BD 1，所以排除B ．显然也排除C ．由题图可得，BD 1与BC 所成的角小于90°．故选D ．
3．如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则|PC →
|等于 (
)
A ．6
B ．6 2
C ．12
D ．144
解：因为PC →＝P A →＋AB →＋BC →，所以PC →2＝P A →
2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →
＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144，所以|PC →
|＝12．故选C ．
4．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，
则AE →·AF →
的值为 ( )
A ．a 2
B ．12a 2
C ．14a 2
D ．3
4a 2
解：AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14
(AB →·AD →
＋
AC →·AD →)＝1
4(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2．故选C ．
5．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →
＋yOB →＋zOC →
，则(x ，y ，z )为 ( )
A ．⎝⎛⎭⎫14，14，14
B ．⎝⎛⎭
⎫34，34，34
C ．⎝⎛⎭⎫13，13，13
D ．⎝⎛⎭⎫23，23，23 解：如图所示，取BC 的中点
E ，连接AE ．
OG →＝34OG →
1＝34(OA →＋AG 1→)
＝34OA →＋12AE → ＝34OA →＋14
(AB →＋AC →) ＝34OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →) ＝14
(OA →＋OB →＋OC →
)．故选A ． 6．(2017沈阳雨田实验中学月考)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为CC 1的中点，则异面直线AB 1，BE 所成角的余弦值为 (
)
A ．12
B ．32
C ．31010
D ．10
10
解：AB 1→·BE →＝(AB →＋BB 1→)·(BC →＋CE →)＝AB →·BC →＋AB →·CE →＋BB 1→·BC →＋BB 1→·CE →
＝0＋0＋0＋12＝12
．
依题意易知|AB 1→|＝2，|BE →
|＝52
，
所以cos 〈AB 1→，BE →
〉＝AB 1→·BE →|AB 1→||BE →
|＝1010．故选
D ．
7．(2017十堰市竹山县第一中学月考)O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋
18
OB →＋tOC →
，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝________．
解：因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以34＋1
8
＋t
＝1，所以t ＝18．故填1
8
．
8．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1
中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →
＝b ，AA 1→＝c ，则BM →
可用a ，
b ，
c 表示为____________．
解：由图可知，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝BB 1→＋12B 1D 1→
＝
BB 1→＋12(A 1D 1→－A 1B 1→
)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋
c ．故填－12a ＋1
2
b ＋
c ．
9．如图所示，已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→
，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)，问向量MN →是否与向量AB
→，AA 1→共面？
解：因为AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →
，
所以MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →)＝(1－k )AB →－kAA 1→，
由共面向量定理知，向量MN →与向量AB →，AA 1→
共面．
10．如图，在空间四边形OABC 中，若OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值．
解：因为BC →＝AC →－AB →，所以OA →·BC →＝OA →·(AC →
－AB →)＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →
〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－162．所以cos 〈OA →，BC →
〉＝OA →·BC →
|OA →|·|BC →|＝24－1628×5
＝3－225，故OA →与BC →夹角
的余弦值为3－22
5，即直线OA 与BC 所成角的余
弦值为3－225
．
11．三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱
长都相等，∠BAA 1＝∠CAA 1
＝60°，求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值．
解：如图，不妨设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AC →
＝c ，棱长为1，则AB 1→＝a ＋b ，BC 1→＝a ＋BC →
＝a ＋c －b ，因为底面边长和侧棱长都相等，所以∠CAB ＝60°，又∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，所以a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝1
2，
所以|AB 1→
|＝
（a ＋b ）2＝
3，|BC 1→
|＝
（a ＋c －b ）2
＝2，AB 1→·BC 1→
＝(a ＋b )·(a ＋c －b )＝1，设异面直线的夹角为θ，则cos θ＝AB 1→·BC 1
→
|AB 1→||BC 1→|＝
12×
3＝6
6．
如图，已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，
∠BAC ＝π2，∠BAA 1＝23π，∠CAA 1＝π
3
，AB ＝AC ＝1，
AA 1＝2，点
O 是B 1C 与BC 1的交点．
(1)用向量AB →，AC →，AA 1→表示向量AO →
； (2)求异面直线AO 与BC 所成的角的余弦值； (3)判定平面ABC 与平面B 1BCC 1的位置关系． 解：(1)AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋12(BC →＋BB 1→)＝AB →＋
12(AC →－AB →＋AA 1→)＝12
(AB →＋AC →＋AA 1→
)． (2)设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→
＝c ． ||
AO →
2＝⎣⎡⎦⎤12（a ＋b ＋c ）2
＝1
4(a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ) ＝
14
()
1＋1＋4＋0＋2×1×2cos π3＋2×1×2cos 23π ＝32．所以||
AO →＝62
． 又因为BC →
＝b －a ，
所以AO →·BC →＝12
(a ＋b ＋c )(b －a )＝1，||
BC
→＝2．
所以cos 〈AO →，BC →
〉＝AO →·BC →||AO →||
BC
→
＝33．
所以异面直线AO 与
BC 所成的角的余弦值为33
．
(3)取BC 的中点E ，连接AE ，
则AE →＝12(AB →＋AC →)＝1
2
(a ＋b )．
因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥B C ． 又AE →·BB 1→＝1
2
(a ＋b )·c
＝1
2⎝⎛⎭⎫1×2cos 23π＋1×2cos π3＝0， 所以AE ⊥BB 1．
因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面B 1BCC 1． 又AE ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面B 1BCC 1．
11。