定稿2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
当天作业当天了！
进步是从看到自己的落后开始的；高 明是从解剖自己的弱点开始的.
y1 , y2 , y10 的均值和方差分别为（
） D.1,4+a
A.1+a,4
B.1+a,4+a
C.1,4
【解析】选 A.样本数据 x1 ,x2 ,,x10 的均值
1 x = (x1 +x2 + +x10 )=1 ,方差 10 1 '2 s = [(x1 -1)2 +(x2 -1)2 + +(x10 -1)2 )=4; 10
x甲 7，
x乙 7 .
思考2：甲、乙两人射击的平均成绩相等，如图所 示，你能说明其水平差异在哪里吗？
频率
（甲）
频率
（乙）
0.4 0.3 0.2 0.1 O
0.4 0.3 0.2 0.1 4 5 6 7 8 9 10 环数 O
4 5 6 7 8 9 10 环数
甲的成绩比较分散，极差较大; 乙的成绩相对集中，比较稳定.
'
新数据 x1 +a,x2 +a,,x10 +a 的均值
x= 1 1 (x1 +a+x2 +a+ +x10 +a)= (x1 +x2 + +x10 )+a=1+a, 10 10
新数据 x1 +a,x2 +a,,x10 +a 的方差
1 s = [(x1 +a-1-a)2 +(x2 +a-1-a)2 + +(x10 +a-1-a)2 ]=4. 10
高中数学2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1
2.(1)由平均数公式得 x=
(182×27+80×21)≈81.13(分).
48
(2)因为男生的中位数是75分,所以至少有14人得分不超过75
分.
又因为女生的中位数是80分,所以至少有11人得分不超过80分.
所以全班至少有25人得分不超过80分.
(3)男生的平均分与中位数的差别较大,说明男生中两极分化现
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标 准差. 2.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取 基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释. 3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,形成对 数据处理过程进行初步评价的意识.
x1 x2 xn
则 x =_______n_______.
2.方差、标准差 假设样本数据是x1,x2,x3,…,xn, x 是平均数,则 (1)方差是
s2=__n1［___x1___x_2____x_2 __x__2 ______x_n__x__2_］.
(2)标准差为
s=__n1_［__x_1__x__2___x_2___x_2____ __x_n___x__2 ］_.
【解题指南】1.由平均数和方差的定义直接求解.
2.先画出茎叶图,再利用平均数和方差结合的形式分析稳定性.
【自主解答】1.
s2
1 ［ 21
a1
x
2
a2 x
2
a20 x
2
xx
2
］
1 20 0.20 4 0.19.
21
21
答案:0.19
2.(1)作出茎叶图如下：
(2)派甲参赛比较合适.理由如下：
高中数学人教新课标B版必修3--《2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征》课件3
于个或面等积于相中位等数的，分因界此限，在与频x轴率散交布点直的方横图坐中，标中称位为数中左位边和数右。边的直方图 上的图面积中应，该设相中等位。数为x，则 0.25 0.10 0.06 (x 4.5)0.22 0.5
x 4.91
问题3： 如何从频率散布直方图中估
计平均数，为什么？
21:32
答案：91.5,91.5
计中位数，为什么？
21:32
2 中位数：左边和右边的直方图面积相等
前三个矩形的面积和=0.41
后四个小矩形的面积和=0.48
0.25
0.15
0.13 0.10
0.06 0.22
0.09 0.11
4.91
分总析结：：在在样本频数率据散中布，直有5方0%图的中个体，小把于频或率等散于中布位直数方，图也划有5分0%左的个右体两大
0.25
0.15
0.13 0.10
0.06 0.22
0.09 0.11
21:32
18
从锻炼时间样本数据可知，该样本的众数是3.5， 中位数是4.75，平均数是4.825。这与我们从样本频率 散布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？
因频率散布直方图本身得不出原始的数据内容, 所以由频率散布直方图得到的众数、中位数平 均值的估计往往与样本的实际中位数值不一致.
分析：众数为200，中位数为220，
平均数为300。
因平均数为300，由表格中所列 出的数据可见，只有经理在平均数以 上，其余的人都在平均数以下，故用 平均数不能客观真实地反应该工厂的 工资水平。
二、归纳提升： 众数、中位数、平均数的特点
特征数 众数 中位数 平均数
作用
局限性
众数体现了样本数据 的最大集中点
x 4.91
问题3： 如何从频率散布直方图中估
计平均数，为什么？
21:32
答案：91.5,91.5
计中位数，为什么？
21:32
2 中位数：左边和右边的直方图面积相等
前三个矩形的面积和=0.41
后四个小矩形的面积和=0.48
0.25
0.15
0.13 0.10
0.06 0.22
0.09 0.11
4.91
分总析结：：在在样本频数率据散中布，直有5方0%图的中个体，小把于频或率等散于中布位直数方，图也划有5分0%左的个右体两大
0.25
0.15
0.13 0.10
0.06 0.22
0.09 0.11
21:32
18
从锻炼时间样本数据可知，该样本的众数是3.5， 中位数是4.75，平均数是4.825。这与我们从样本频率 散布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？
因频率散布直方图本身得不出原始的数据内容, 所以由频率散布直方图得到的众数、中位数平 均值的估计往往与样本的实际中位数值不一致.
分析：众数为200，中位数为220，
平均数为300。
因平均数为300，由表格中所列 出的数据可见，只有经理在平均数以 上，其余的人都在平均数以下，故用 平均数不能客观真实地反应该工厂的 工资水平。
二、归纳提升： 众数、中位数、平均数的特点
特征数 众数 中位数 平均数
作用
局限性
众数体现了样本数据 的最大集中点
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
2
5
= 0.02
x乙
2
s乙 = [(9 .4 − 10 ) + (10 .3 − 10 ) + (10 .8 − 10 ) + (9.7 − 10 ) + (9 .8 − 10 ) 2 ] ÷ 5 = 0.24
2 2 虽然 x甲 = x乙，但是 S甲 < S乙 所以甲水稻的产量比较 稳定。
1 = （ 9 . 4 + 10 . 3 + 10 . 8 + 9 . 7 + 9 . 8 ) = 10 5 2 2 2 2
可将众数看作直方图中面积最大长方形的“中心” 可将众数看作直方图中面积最大长方形的“中心”
频率 组距
0.6 0.5
如何在频率分布直方图中估计中位数 可将中位数看作整个直方图面积的“中心” 可将中位数看作整个直方图面积的“中心” 前四个小矩形的 面积和=0.49 面积和 后四个小矩形的 面积和=0.26 面积和
平均数、方差的运算性质： 平均数、方差的运算性质： 如果数据
2
方差为 s ，则
x1, x2 , ⋅⋅⋅, xn 的平均数为 x
2
，
（1）新数据 x1 + b, x2 + b, ⋅⋅⋅, xn + b 的平均数为
x + b，方差仍为
s
．
（3）新数据 ax1 + b, ax2 + b, ⋅⋅⋅, axn + b 的平均数为 ax + b 方差为a2s2 ． ，
标准差， 称为这个样本的标准差 分别称为样本方差、 称为这个样本的标准差，分别称为样本方差、样本标准差
样本中各数据与样本平均数的差的平方 和的平均数叫做样本方差 样本方差； 和的平均数叫做样本方差；样本方差的 算术平方根叫做样本标准差 样本标准差。 算术平方根叫做样本标准差。样本方差 和样本标准差都是衡量一个样本波动大 和样本标准差都是衡量一个样本波动大 的量，样本方差或样本标准差越大， 小的量，样本方差或样本标准差越大， 样本数据的波动就越大。 样本数据的波动就越大。
5
= 0.02
x乙
2
s乙 = [(9 .4 − 10 ) + (10 .3 − 10 ) + (10 .8 − 10 ) + (9.7 − 10 ) + (9 .8 − 10 ) 2 ] ÷ 5 = 0.24
2 2 虽然 x甲 = x乙，但是 S甲 < S乙 所以甲水稻的产量比较 稳定。
1 = （ 9 . 4 + 10 . 3 + 10 . 8 + 9 . 7 + 9 . 8 ) = 10 5 2 2 2 2
可将众数看作直方图中面积最大长方形的“中心” 可将众数看作直方图中面积最大长方形的“中心”
频率 组距
0.6 0.5
如何在频率分布直方图中估计中位数 可将中位数看作整个直方图面积的“中心” 可将中位数看作整个直方图面积的“中心” 前四个小矩形的 面积和=0.49 面积和 后四个小矩形的 面积和=0.26 面积和
平均数、方差的运算性质： 平均数、方差的运算性质： 如果数据
2
方差为 s ，则
x1, x2 , ⋅⋅⋅, xn 的平均数为 x
2
，
（1）新数据 x1 + b, x2 + b, ⋅⋅⋅, xn + b 的平均数为
x + b，方差仍为
s
．
（3）新数据 ax1 + b, ax2 + b, ⋅⋅⋅, axn + b 的平均数为 ax + b 方差为a2s2 ． ，
标准差， 称为这个样本的标准差 分别称为样本方差、 称为这个样本的标准差，分别称为样本方差、样本标准差
样本中各数据与样本平均数的差的平方 和的平均数叫做样本方差 样本方差； 和的平均数叫做样本方差；样本方差的 算术平方根叫做样本标准差 样本标准差。 算术平方根叫做样本标准差。样本方差 和样本标准差都是衡量一个样本波动大 和样本标准差都是衡量一个样本波动大 的量，样本方差或样本标准差越大， 小的量，样本方差或样本标准差越大， 样本数据的波动就越大。 样本数据的波动就越大。
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(第一课时)
普通高中数学必修3（A版）学案2.2. 用样本估计总体之答禄夫天创作2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征（第一课时）执笔：闫福保赵文生授课时间：年月日【学习目标】1．通过实例理解样本数据标准差的意义和作用, 学会计算数据标准差.2．进一步体会用样本估计总体的思想, 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性.【重点难点】通过实例理解样本数据标准差的意义和作用, 学会计算数据标准差【学习过程】在初中, 总体平均数(又称为总体期望值)描述了一个总体的平均水平.对很多总体来说, 它的平均数不容易求得, 经常使用容易, 而且经常使用两个样本平均数的年夜小去近似地比力相应的两个总体的平均数的年夜小.一、合作交流①．平均数最能代表一个样本数据的集中趋势, 也就是说它与样本数据的离差最小；,则其平均数为④．在一组数据中, 平均数、众数、中位数能够反映该组数据的集中趋势和平均水平, 但有时需要去失落极端值（极年夜值或极小值）, 再去计算平均数则更能反映平均水平.二、随堂练习例1：一个水库养了某种鱼10万条, 从中捕捞了20条, 称得它们的质量如下：(单元：KG)1.15 1.04 1.11 1.07 1.10 1.32 1.25 1.19 1.15 1.21 1.18 1.14 1.09 1.25 1.21 1.29 1.16 1.24 1.12 1.16计算样本平均数, 并根据计算结果估计水库里所有这种鱼的总质量约是几多？解：样本平均数为 1.1715,根据样本平均数估计水库里所有这种鱼的总质量约是例2：在丈量某物理量的过程中, 因仪器和观察的误差, 使得, 我们规定所丈量的物理各数据差的平方和最小, 依此规定,量的取值.点评：样本平均数与样本数据的离差最小.三、能力提升1. 某校高二年级进行一次数学测试, 抽取40人, 算出其平均成果为80分, 为准确起见, 后来又抽取50人, 算出其平均成果为83分, 通过两次抽样的结果, 估计这次数学测试的平均成果.数的界说.解：样本平均数估计总体平均数即这次数学测试的平均成绩为 81.7分.点评：两次样本和的平均数未必即是两次样本平均数的和或两次样本平均数的平均值.【小结反思】1. 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：（）用样本平均数估计总体平均数.（）用样本标准差估计总体标准差.样本容量越年夜, 估计就越精确.2．平均数对数据有“取齐”的作用, 代表一组数据的平均水平.3．标准差描述一组数据围绕平均数摆荡的年夜小, 反映了一组数据变动的幅度.【自我测评】1．已知10个数据：1203 1201 1194 1200 1204 1201 1199 1204 1195 1199它们的平均数是( )A 1300B 1200C 1100D 14002．若M个数的平均数是X, N个数的平均数是Y,则这M+N个数的平均数是( )3．某工厂研制A、B两种灯胆, 为了比力这两种灯胆的平均使用寿命, 从这两种灯胆中各抽10只进行的使用寿命试验, 获得如下数据(单元：小时)A．1000 1200 1650 1342 1679 999 1320 1540 1276 1342B．1580 1420 1320 1149 1330 1178 1440 1553 1642 1005根据上述两个样本, 能对两种灯胆的平均使用寿命作出什么样的估计？“杂交水稻之父”的中国科学院院士袁隆平, 为了获得良种水稻, 进行了年夜量试验, 下表是在10个试验点对A、B两个品种的比较试验结果：试估计哪个品种的平均产量更高一些？【拓展尝新】5那【解答】1．B 2．C 3．甲种灯胆的平均使用寿命长.4．A品种的平均产量更高一些.5。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2
【名师点评】 (1)平均数公式是一个计算平 均数的基本公式，在一般情况下，要计算一 组数据的平均数可使用这个公式． (2)当数据较大，且大部分数据在某一常数左 右波动时，“法二”可以减轻运算量，故此 法比较简便，常数 a 通常取接近这组数据 ( 大 约估计)平均数的较“整”的数，以达到简化 计算过程的目的，常数 a 的取法并不唯一， 比如本例中取a＝181也可以． (3)当一组数据中有不少数重复出现时，可用 加权平均数公式来计算平均数．
变式训练 1
从一批机器零件毛坯中随机抽
取20件，称得它们的质量如下(单位：kg)：
210 208 200 205 202 218 206
214
195
215
207
207
218 192 202 216 185
227
187
215
计算样本平均数(结果保留到个位)．
1 4129 解：法一： x ＝ (210＋208＋200＋„＋215)＝ ≈206(kg)， 20 20 即样本平均数为 206 kg. 法二：由于本题中样本数据较大，而且都在 200 左右波动，所以 可采用下面的解法： 将上面各数据同时减去 200，得到一组新数据： 10 8 0 5 2 18 6 14 15 7 －5 7 18 －8 2 16 －15 27 －13 15 1 计算这组新数据的平均数，得 x ′＝ (10＋ 8＋ 0＋„＋15)＝ 20 129 ≈6，于是所求的平均数是 x ＝ x ′＋200＝206(kg)． 20
【名师点评】
(1)在刻画样本数据的分散程
度时，方差与标准差是相同的，但在解决实
际问题时一般用标准差； (2)平均数和标准差是工业生产中监测产品质 量的重要指标，当样本的平均数或标准差超 过了规定的界限时，就可能出现质量问题． 变式训练2 计算数据
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征标准差
2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征
标准差
平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是 平均数向我们提供了样本数据的重要信息 但是 平均有时也会使我们作出对总体的片面判断． 平均有时也会使我们作出对总体的片面判断．因 为这个平均数掩盖了一些极端的情况， 为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极 端情况显然是不能忽的．因此， 端情况显然是不能忽的．因此，只有平均数还难 以概括样本数据的实际状态． 以概括样本数据的实际状态． 如：有两位射击运动员在一次射击测试中各 射靶10次 每次命中的环数如下： 射靶 次，每次命中的环数如下：
考察样本数据的分散程度的大小， 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是 标准差． 标准差． 标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示 表示． 标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用 表示． 所谓“平均距离” 其含义可作如下理解： 所谓“平均距离”，其含义可作如下理解： 假设样本数据是 x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n , x 表示这组数据的平均 的距离是： 数,则 x i 到 x 的距离是： 则 的平均距离是： 于是样本数据 x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n 到 x 的平均距离是：
甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 乙 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48
标准差
平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是 平均数向我们提供了样本数据的重要信息 但是 平均有时也会使我们作出对总体的片面判断． 平均有时也会使我们作出对总体的片面判断．因 为这个平均数掩盖了一些极端的情况， 为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极 端情况显然是不能忽的．因此， 端情况显然是不能忽的．因此，只有平均数还难 以概括样本数据的实际状态． 以概括样本数据的实际状态． 如：有两位射击运动员在一次射击测试中各 射靶10次 每次命中的环数如下： 射靶 次，每次命中的环数如下：
考察样本数据的分散程度的大小， 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是 标准差． 标准差． 标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示 表示． 标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用 表示． 所谓“平均距离” 其含义可作如下理解： 所谓“平均距离”，其含义可作如下理解： 假设样本数据是 x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n , x 表示这组数据的平均 的距离是： 数,则 x i 到 x 的距离是： 则 的平均距离是： 于是样本数据 x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n 到 x 的平均距离是：
甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 乙 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48
必修三2-2-2用样本的数字特征估计总体的数字特征
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法 1.中位数的求法 (1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列 的中间那个数． (2)当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个 数的平均数． 2．深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数 据上的特点，并结合实际情况，灵活应用．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引
众数、中位数、平均数的概念 1． 次数 最多的数称为这组数据的 (1)众数：一组数据中出现_____ 众数．一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有．众 集中趋势 ．在频率分布直方图中， 数反映了该组数据的_________ 中点 就是数据的众数． 最高矩形的_____ (2)中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于 _____ 中间 位置的数称为这组数据的中位数(或两个数据的平均 数)．一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的 集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直 方图的面积_____ 相等 .
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
1 解 (1) 利 用 平 均 数 计 算 公 式 得 x ＝ (82×27 ＋ 48 80×21)≈81.13(分)． (2)∵男同学的中位数是75， ∴至少有14人得分不超过75分．
又∵女同学的中位数是80， ∴至少有11人得分不超过80分． ∴全班至少有25人得分低于80分(含80分)． (3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中 两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(4)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描 述．极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据 中的极端值非常敏感，方差则反映了一组数据围绕平均数 波动的大小．为了得到以样本数据的单位表示的波动幅 度，通常用标准差——样本方差的算术平方根来描述． (5)标准差的大小不会越过极差． (6)方差、标准差、极差的取值范围：[0，＋∞)．当标准 差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动 幅度，数据没有离散性． (7)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大 了偏差的程度，所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的 分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标 准差．
2-2-2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
次，5出现三次，5出现的次数最多，所以5为众数．
第二章
2 .2
2．2.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3
2．中位数 (1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于
中间 位置的数称为这组数据的中位数．
(2)特征：一组数据中的中位数是 唯一 的，反映了该组数 据的 集中趋势． 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的 直方图的面积 相等．
第二章
2 .2
2．2.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3
温故知新 上一节我们学习了用图表来组织样本数据，并且还学习 了用样本的频率分布估计总体分布．为了更好地把握总体的 规律，我们还需要对总体的数字特征进行研究．
第二章
2 .2
2．2.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3
第二章
2 .2
2．2.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3
据；当样本数据个数为偶数时，中位数则是中间两个数据的
平均数 ，当这两个数据相等时，中位数是样本数据，否则
它不是样本数据，众数则是指在样本数据中出现次数 最多 的 数据，众数不一定 唯一．通过本节的学习，我们会更深刻地 理解这些数字特征，并能通过频率分布直方图去估算它们， 这也是我们学习的重点和难点所在．
在初中，我们已经学过平均数描述了数据的 平均 水平， 定量地反映了数据的集中趋势所处的水平．我们也知道可以 用样本的平均数去估计总体的平均水平，而样本数据的方 差、标准差则反映了数据的离散程度．方差或标准差越 小 ， 数据越集中，总体越均衡；方差或标准差越 大 ，数据越分 散，总体越不均衡．而中位数则是指样本数据按从小到大(或 从大到小)的顺序排列后，处于 中间 位置的一个量，当样本数 据个数为奇数时， 中间一个数据 就是中位数，它是样本数
用样本的数字特征估算总体的数字特征
甲：25 41 40 乙：27 16 44 37 22 14 19 16 40 40 16 39 21 42 40 44 27
（1）多高株苗在这两种玉米中最常见？
（2）哪种玉米要长得高一些？
（3）哪种玉米要长得齐一些？
例1：某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名 学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
标准差越小，表示数据越稳定，离散程度越 小；标准差越大，则说明数据差异很大，离 散程度大，不稳定。
随堂练习：下面是甲乙两位运动员在一次射击测试中的10 次成绩。 甲：8 7 9 5 4 9 10 7 4 9 乙：9 5 7 8 6 8 9 7 9 7 你能说说谁的成绩更稳定吗？
随堂练习：下面是甲乙两个品种玉米的株高情况，各抽10 柱，情况为：（单位：cm）
5、平均数：将样本中所有数据求和之后，除以样本中 个体的个数，得到的结果。它是最常用的表现数据平均 水平的量。
随堂练习：下面是甲乙两位运动员在一次射击测试中 的10次成绩。 甲：8 7 9 5 4 9 10 7 4 9 乙：9 5 7 8 6 8 9 7 9 7 1、计算甲乙二人的平均成绩，说说谁的更好。 2、甲乙二人的射击成绩中，中位数是多少？众数呢？ 对于选手来说，稳定性也很重要，有没有什 么数据能够说明样本的稳定性的？
变式题:为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图， 则 (2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数、众数和平均 数分别为多少？
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在数；
(2)求这次测试数学成绩的平均数；
（1）利用直方图估算众数， (3)求这次测试数学成绩的中位数。 即频数最高区域两端点的平 均值。 （2）利用直方图估算平均数，将各组 的两端点的平均值作为各组的平均数。 （3）利用直方图估算中 位数，利用中位数左边右 边各占一半，故直方图面 积也应该各占50%。
（1）多高株苗在这两种玉米中最常见？
（2）哪种玉米要长得高一些？
（3）哪种玉米要长得齐一些？
例1：某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名 学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
标准差越小，表示数据越稳定，离散程度越 小；标准差越大，则说明数据差异很大，离 散程度大，不稳定。
随堂练习：下面是甲乙两位运动员在一次射击测试中的10 次成绩。 甲：8 7 9 5 4 9 10 7 4 9 乙：9 5 7 8 6 8 9 7 9 7 你能说说谁的成绩更稳定吗？
随堂练习：下面是甲乙两个品种玉米的株高情况，各抽10 柱，情况为：（单位：cm）
5、平均数：将样本中所有数据求和之后，除以样本中 个体的个数，得到的结果。它是最常用的表现数据平均 水平的量。
随堂练习：下面是甲乙两位运动员在一次射击测试中 的10次成绩。 甲：8 7 9 5 4 9 10 7 4 9 乙：9 5 7 8 6 8 9 7 9 7 1、计算甲乙二人的平均成绩，说说谁的更好。 2、甲乙二人的射击成绩中，中位数是多少？众数呢？ 对于选手来说，稳定性也很重要，有没有什 么数据能够说明样本的稳定性的？
变式题:为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图， 则 (2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数、众数和平均 数分别为多少？
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在数；
(2)求这次测试数学成绩的平均数；
（1）利用直方图估算众数， (3)求这次测试数学成绩的中位数。 即频数最高区域两端点的平 均值。 （2）利用直方图估算平均数，将各组 的两端点的平均值作为各组的平均数。 （3）利用直方图估算中 位数，利用中位数左边右 边各占一半，故直方图面 积也应该各占50%。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的
25.49 25.32
从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量 ks5u精品课件 较高？
x 甲 » 25.401 s甲 » 0.037
x 乙 » 25.406
s乙 » 0.068
甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定 程度较高，故甲生产的零件质量较高.
说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差 两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与 标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与 标准差估计总体的平均数与标准差. 2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是 总体的平均数.
ks5u精品课件
例5 有20种不同的零食，它们的热量 含量如下： 110 120 123 165 432 190 174 235 428 318 249 280 162 146 210 120 123 120 150 140 （1）以上20个数据组成总体，求总体平 均数与总体标准差； （2）设计一个适当的随机抽样方法，从 总体中抽取一个容量为7的样本，计算样 本的平均数和标准差.
（3）
O
1Байду номын сангаас2 3 4 5 6 7 8
（4）
ks5u精品课件
例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种 零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们 生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺寸 如下（单位：mm）：
甲 ： 25.46 25.45 25.44 乙： 25.40 25.49 25.47 25.32 25.38 25.40 25.43 26.36 25.31 25.45 25.42 25.42 25.44 25.34 25.32 25.39 25.39 25.35 25.48 25.33 25.32 25.36 25.43 25.41 25.48 25.43 25.32 25.34 25.39 25.39 25.47 25.43 25.48 25.42 25.40
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
甲的环数极差=10- 4=6 甲的环数极差=10- 4=6 =10
乙的环数极差=9-5=4 乙的环数极差=9-5=4. =9
它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度, 它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与平均 数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息.显然, 数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息.显然,极差对极端 值非常敏感,注意到这一点,我们可以得到一种“去掉一个最高 值非常敏感,注意到这一点,我们可以得到一种“ 去掉一个最低分”的统计策略. 分,去掉一个最低分”的统计策略. 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 是样本数据到平均数的一种平均距离 差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表 示． 所谓“平均距离” 其含义可作如下理解： 所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：
频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
2、在样本中，有50％的个体小于或等于 在样本中， 50％ 中位数，也有50 50％ 中位数，也有50％的个体大于或等于中位 因此，在频率分布直方图中， 数，因此，在频率分布直方图中，中位数 左边和右边的直方图的面积应该相等，由 左边和右边的直方图的面积应该相等， 此可以估计中位数的值。 此可以估计中位数的值。下图中虚线代表 居民月均用水量的中位数的估计值， 居民月均用水量的中位数的估计值，此数 据值为2.02t. 据值为2.02t.
人员 工 月 资 人数 合计 理 理 员 工 人 徒 合 经 管 人 技 工 学 计
张 计 发 表 资 总 均 恰 中 小 通 算 现 关工 的 平 数 为 ( × + × + × + × )÷ = 没 错 并 有 .
原创1：2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
主题导学
3.频率分布直方图以怎样的形式反映了数据落在各个小组内的 频率大小？ 提示：以面积的形式，因为矩形的面积=组距× ，并且各 个小矩形的面积之和等于1.
主题导学
主题导学
1.频率分布折线图的形状与什么有关?它会随着谁的改变而改变? 提示：与分组数(组距)有关,随着样本的改变而改变. 2.是否所有的总体都存在密度曲线?若总体存在密度曲线,那么是否都能 准确画出其密度曲线? 提示：①并非所有的总体都存在密度曲线. ②尽管有些总体密度曲线是客观存在的,但一般很难像函数图象那样被 准确地画出来,只能用样本的频率分布对它进行估计.一般说来,样本容 量越大,这种估计就越精确.
典例精析
典例精析
练一练：1.用茎叶图表示一组两位数据时，数据的个数 ______茎叶图中叶的个数（ 填大于、小于或等于）.
2.数据123，127，131，151，157，135，129，138，147，152，134，121，142， 143的茎叶图中，茎应取 ______.
典例精析
3.在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下：10，28，31，17， 23，27，18，15，26，24，20，19，36，27，14，25，15，22，11，24 ，27，17. 在某报纸的一篇文章中，每个句子的字数如下： 27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,36,23,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22. (1)将这两组数据用茎叶图表示. (2)将这两组数据进行比较分析，得到什么结论？
2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 第
二 章 ： 统 计
教学目标
问题引入
主题导学
主题导学
1.对样本的数据进行分析的具体方法有哪些? 提示：可利用频数分布表,频率分布表、频率分布直方图,频率分布折 线图,茎叶图等. 2.有人说:样本的频率分布只反映了样本的数据特征,不能估计总体的 分布情况,对吗? 提示：错误.通过样本的频率能够估计总体的分布情况.
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(一)修改版
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
中位数两边的直方图的面积相等
思考： 在收集的数据中没有2.25，为什么是 众数了呢？在原始数据中中位数为2.0， 为什么得到的是2.02？
这是因为样本数据的频率分布直方图,只是直观地 表明分布的形状,但是从直方图本身得不出原始的 数据内容,所以由频率分布直方图得到的中位数估 计值往往与样本的实际中位数值不一致.
0.50
0.40 0.30 0.20 0.10 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
众数规定为频率分布直方图中最高矩形的底边 中点的横坐标.
用样本频率分布直方图估计样本的中位数
频率/组距 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0
中位数的特点: (1)中位数不受少数极端 数据的影响; (2)中位数常用于数据质 量较差(即存在一些数据 错误)时.
练习：某次数学试卷得分抽样中得到：90分的有3个 人，80分的有10人，70分的有5人，60分的有2人， 77 则这次抽样的平均分为_______.
如何用样本频率分布直方图估计样本 的众数，中位数和平均数？
用样本频率分布直方图估计样本的众数
频率/组距
众数的特点: 众数体现了样本数据的 最大集中点，但它无法 客观地反映总体特征
MX NY MN 则这M+N个数的平均数是________.
5.如果两组数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn
的样本平均数分别是x和y，那么一组数x1+y1，
x +y x2+y2，…，xn+yn的平均数是___________ ．
6、已知一组数据按大小顺序排列为：0 , 1 , 4 , x , 6 , 17.且这组数据的中位数为5， 则数据的 众数为（ C） A.4 B.5 C.6 D.7
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征一、教学目标：1、知识与能力：能利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数；能用样本的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数,并结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法；初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法；通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断，培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风.2、方法与过程：正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差；能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）,并作出合理的解释；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.3、情态与价观：在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法；会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作用,能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系二、教学重难点重点：用样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数等．难点：结合实际，对问题作出合理判断, 制定解决问题的有效方法.三、教学方法：合作探究式、讲练结合四、教学过程：〖复习回顾〗作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？〖创设情境〗在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？上节课我们学习了用图表的方法来研究，为了从整体上更好地把握总体的规律，我们这节课要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究〖新知探究〗一、众数、中位数、平均数众数—一组数中出现次数最多的数；在频率分布直方图中，我们取最高的那个小长方形横坐标的中点。
中位数——当一组数有奇数个时等于中间的数，当有偶数个时等于中间两数的平均数；在频率分布直方图中，是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标。
2.2.2-1用样本数字特征估计总体数字特征
自主学习：众数、中位数和平均数
<3>如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？
众数
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O
取最高矩形下端 中点的横坐标 2.25作为众数.
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
自主学习：众数、中位数和平均数
<3>如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？
课堂练习
5.下图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打 出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的平均数为（ ） B 79 844647 93 A.84 B.85 C.86 D.87
课堂练习
6：某工厂人员及工资构成如下：
人员
周工资 （元） 人数 合计
经理
2200 1 2200
小结作业
1. 如何从样本数据中求众数、中位数、平均数？
2.如何从频率分布直方图中估计众数、中位 数、平均数？ 3.利用众数、中位数、平均数估计总体的数 字特征时各自的优缺点。
作业：P79练习3，P81习题:1.5.6.7
下课 谢谢
中位数
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
频率 组距
0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01， 0.01÷0.5=0.02， 中位数是2.02.
月均用水量/t
从左至右各个小矩形的面积分别是0.04， 0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06， 0.04，0.02.由此估计总体的中位数
2.2
用样本估计总体
２.2.2用样本的数字特征估计总体的 数字特征
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(1)求图中 a 的值； (2)根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均 数、众数和中位数(要求写出计算过程，结果保留一位小数)．
[解] (1)由频率分布直方图中所有小矩形面积之和为 1，得 10(2a
＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得 a＝0.005.
(2)这 100 名 学生 语文 成绩的 平均数 为 55×0.05＋ 65×0.4＋
（一）众数、中位数、平均数
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫 做这组数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的 平均数）叫做这组数据的中位数.
平均数: 一组数据的算术平均数,即
X
1 n
( x1
x2
xn )
问题1：众数、中位数、平均数这三个数 一般都会来自于同一个总体或样本，它们 能表明总体或样本的什么性质？
收入好的工作。
很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平人员的收入很
低，其原因是中位数对极小的数据不敏感。这里更好的方法 是同时用平均工资和中位数作为参考指标，选择平均工资较 高且中位数较大的公司就业.
三、 众数、中位数、平均数的简单应用
[典例] 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直 方图如图所示，其中成绩分组区间分别是[50,60)， [60,70)， [70,80)，[80,90)，[90,100]．
75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73(分)，
众数为60＋2 70＝65(分)．
∵这 100 名学生语文成绩在[50,70)的频率为(0.005＋0.04)×10＝
0.45，
这 100 名学生语文成绩在[70,80)的频率为 0.03×10＝0.3，
∴这
100
名学生语文成绩的中位数为
70
＋
2
2
2
中点的横坐标之和。
思考讨论以下问题：
1、2.02这个中位数的估计值，与样本的中 位数值2.0不一样，你能解释其中原因吗？
答：2.02这个中位数的估计值,与样本的中 位数值2.0不一样，这是因为样本数据的 频率分布直方图，只是直观地表明分布的 形状，但是从直方图本身得不出原始的数 据内容，直方图已经损失一些样本信息。 所以由频率分布直方图得到的中位数估计 值往往与样本的实际中位数值不一致.
s2
1 n [(x1
x )2
( x2
x )2
(xn x )2 ]
称s2为这个样本的方差，它的算术平方根
s
1 n[( x1Fra bibliotekx
)2
(
x2
x
)2
(xn x )2 ]
称为这个样本的标准差，分别称为样本方差、样本标准差
• 想一想：方差和标准差的大小与数据的波动有 何关系？
17
答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）。
频率 思考：如何在频率分布直方图中估计众数？
组距
众数在样本数据的频率分布直方图中，
就是最高矩形的中点的横坐标。
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
（1）、1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9 中位数是：5
（2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9 中位数是：4
3、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名 运动员的成绩如下表所示：
成绩(米) 1．50 1．60 1．65 1．70 1．75 1．80 1．85 1．90
选择平均数更好：因为，此时的众数20万比中位数25万还小， 所以众数代表的是局部的数。中位数代表的虽然是大多数公路 投资的数额，但由于其不受极端值的影响，不能代表全体，因 而此时成了它的缺点。选择平均数较好，能比较好的代表整体 水平，但缺点是仍不能显示出具体的数字特征
（二）
一.实例引入 情境一;
甲.乙两名射击队员,在进行的十次射击中成绩分别是: 甲: 10; 9; 8; 10; 8; 8; 10; 10; 9.5; 7.5 乙: 9; 9; 8,5; 9; 9; 9.5; 9.5; 8.5; 8.5; 9.5
频率 0.04 0.08 0.15 0.22 0.49
0.04
0.08
中位数x满足
0.15
x - 2 0.5 0.01
0.22
x 2.02
0.25 可将中位数看作整个直方图面 0.14 积的“中心”
0.06
0.04
0.02
1
思考：如何在频率分布直方图中估计平均数？
• 提示 方差和标准差值越小，则数据的波动越 小．
例1：甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量 如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种 的产量比较稳定．
品种 甲 乙
第一年 9．8 9．4
第二年 9．9 10．3
第三年 10．1 10．8
第四年 10
9．7
第五年 10．2 9．8
可将众数看作直方图中面积最大长方形的“中心”
频率 组距
思考：如何在频率分布直方图中估计中位数？
0.6
前四个小矩形的 面积和=0.49
0.5
后四个小矩形的 面积和=0.26
0.4
0.25
0.3 0.22
0.2 0.15
0.1
0.08
0.04
0
0.5
1
1.5
0.14
2
2.5
2.02
0.06 0.04 0.02
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 。
解：众数是1.75． 上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排
列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组 数据的中位数是1.70；
这组数据的平均数是
x 1 (1.50 2 1.603 ... 1.901) 1.69米
s乙2 [(9.4 10)2 (10.3 10)2 (10.8 10)2 (9.7 10)2 (9.8 10)2 ] 5 0.24
因为 x甲小于 x 乙，所以甲水稻的产量比较稳定。
[活学活用]
1、某校高一(1)(2)班各有 49 名学生，两班学生在一次数学测试
试问二人谁发挥的水平较稳定?
分析:甲的平均成绩是9环.乙的平均成绩也是9环.
情境二:
某农场种植了甲、乙两种玉米苗，从中各抽取
了10株，分别测得它们的株高如下：(单位cm)
甲： 31 32 35 37 33 30 32 31 30 29 乙： 53 16 54 13 66 16 13 11 16 62
10×
0.5－0.45 0.3
≈71.7(分)．
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
众数是最高长方形底边的中点所对应的数据，表示样 众数
本数据的中心值 中 ①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 位 面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差； 数 ②表示样本数据所占频率的等分线
平 平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方形底边中 均 点的横坐标之和； 数
游了．”
(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议．
解：(1)由高一(1)班成绩的中位数是 87 分可知，85 分排在 25 名以 后，从名次上讲并不能说 85 分在班里是上游，但也不能从这次测 试的名次上来判断学习的好坏．小刚得了 85 分，说明他对这阶段 的学习内容掌握得较好，从掌握的学习内容上讲也算是上游． (2)高一(1)班成绩的中位数是 87 分，说明高于 87 分的人数占一半 左右，而平均分为 79 分，标准差又很大，说明低分者很多，两极 分化严重，建议对学习差的学生给予帮助． 高一(2)班成绩的中位数和平均数都是 79 分，标准差较小，说明学 生成绩之间的差别也较小，学习差的学生较少，但学习优秀的学生 也很少，建议采取措施提高优秀学生的人数．
x
1 100 (x1
x2
x100 )
1 100
(x1
x4)
(x5
平 于 x均频12)数率的分估布(计直x99值方 x等图100)
4 100
x 14
8 100
x 512
2 100
x 99100
中每个小矩形的面 积乘以小矩形底边
0.04 0 0.5 0.08 0.5 1 0.02 4 4.5 =2.02
众数:反映的往往是局部较集中的数据信息
中位数:是位置型数，反映处于中间部位的 数据信息
平均数:反映所有数据的平均水平
1、求下列各组数据的众数
（1）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9 众数是：3和8
（2）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9 众数是：3
2、求下列各组数据的中位数
中位数 平均数 去掉一个最高分和 去掉两个最高分 最低分后的平均分 和最低分后的平 均分
特征值 9．3 9．4 9．49 9．42
9．44
评委 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 打分 9.6 9.3 9.3 9.6 9.9 9.3 9.4
提问：1、电视里评委是怎样给选手打分的？ 2、为什么这么做？直接取中位数和众数的值不好么？
课堂练习： 1、假设你是一名交通部门的工作人员。你打算向市长报告国 家对本市26条公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公 路的建设投资为2 200万元人民币，另外25个项目的投资在 20万与100万．中位数是25万，平均数是100万，众数是20万 元。你会选择哪一种数字特征来表示每一个项目的国家投资？ 你选择这种数字特征的缺点是什么？
[解] (1)由频率分布直方图中所有小矩形面积之和为 1，得 10(2a
＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得 a＝0.005.
(2)这 100 名 学生 语文 成绩的 平均数 为 55×0.05＋ 65×0.4＋
（一）众数、中位数、平均数
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫 做这组数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的 平均数）叫做这组数据的中位数.
平均数: 一组数据的算术平均数,即
X
1 n
( x1
x2
xn )
问题1：众数、中位数、平均数这三个数 一般都会来自于同一个总体或样本，它们 能表明总体或样本的什么性质？
收入好的工作。
很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平人员的收入很
低，其原因是中位数对极小的数据不敏感。这里更好的方法 是同时用平均工资和中位数作为参考指标，选择平均工资较 高且中位数较大的公司就业.
三、 众数、中位数、平均数的简单应用
[典例] 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直 方图如图所示，其中成绩分组区间分别是[50,60)， [60,70)， [70,80)，[80,90)，[90,100]．
75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73(分)，
众数为60＋2 70＝65(分)．
∵这 100 名学生语文成绩在[50,70)的频率为(0.005＋0.04)×10＝
0.45，
这 100 名学生语文成绩在[70,80)的频率为 0.03×10＝0.3，
∴这
100
名学生语文成绩的中位数为
70
＋
2
2
2
中点的横坐标之和。
思考讨论以下问题：
1、2.02这个中位数的估计值，与样本的中 位数值2.0不一样，你能解释其中原因吗？
答：2.02这个中位数的估计值,与样本的中 位数值2.0不一样，这是因为样本数据的 频率分布直方图，只是直观地表明分布的 形状，但是从直方图本身得不出原始的数 据内容，直方图已经损失一些样本信息。 所以由频率分布直方图得到的中位数估计 值往往与样本的实际中位数值不一致.
s2
1 n [(x1
x )2
( x2
x )2
(xn x )2 ]
称s2为这个样本的方差，它的算术平方根
s
1 n[( x1Fra bibliotekx
)2
(
x2
x
)2
(xn x )2 ]
称为这个样本的标准差，分别称为样本方差、样本标准差
• 想一想：方差和标准差的大小与数据的波动有 何关系？
17
答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是 1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）。
频率 思考：如何在频率分布直方图中估计众数？
组距
众数在样本数据的频率分布直方图中，
就是最高矩形的中点的横坐标。
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
（1）、1 ，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9 中位数是：5
（2）1 ，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9 中位数是：4
3、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名 运动员的成绩如下表所示：
成绩(米) 1．50 1．60 1．65 1．70 1．75 1．80 1．85 1．90
选择平均数更好：因为，此时的众数20万比中位数25万还小， 所以众数代表的是局部的数。中位数代表的虽然是大多数公路 投资的数额，但由于其不受极端值的影响，不能代表全体，因 而此时成了它的缺点。选择平均数较好，能比较好的代表整体 水平，但缺点是仍不能显示出具体的数字特征
（二）
一.实例引入 情境一;
甲.乙两名射击队员,在进行的十次射击中成绩分别是: 甲: 10; 9; 8; 10; 8; 8; 10; 10; 9.5; 7.5 乙: 9; 9; 8,5; 9; 9; 9.5; 9.5; 8.5; 8.5; 9.5
频率 0.04 0.08 0.15 0.22 0.49
0.04
0.08
中位数x满足
0.15
x - 2 0.5 0.01
0.22
x 2.02
0.25 可将中位数看作整个直方图面 0.14 积的“中心”
0.06
0.04
0.02
1
思考：如何在频率分布直方图中估计平均数？
• 提示 方差和标准差值越小，则数据的波动越 小．
例1：甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量 如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种 的产量比较稳定．
品种 甲 乙
第一年 9．8 9．4
第二年 9．9 10．3
第三年 10．1 10．8
第四年 10
9．7
第五年 10．2 9．8
可将众数看作直方图中面积最大长方形的“中心”
频率 组距
思考：如何在频率分布直方图中估计中位数？
0.6
前四个小矩形的 面积和=0.49
0.5
后四个小矩形的 面积和=0.26
0.4
0.25
0.3 0.22
0.2 0.15
0.1
0.08
0.04
0
0.5
1
1.5
0.14
2
2.5
2.02
0.06 0.04 0.02
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 。
解：众数是1.75． 上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排
列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组 数据的中位数是1.70；
这组数据的平均数是
x 1 (1.50 2 1.603 ... 1.901) 1.69米
s乙2 [(9.4 10)2 (10.3 10)2 (10.8 10)2 (9.7 10)2 (9.8 10)2 ] 5 0.24
因为 x甲小于 x 乙，所以甲水稻的产量比较稳定。
[活学活用]
1、某校高一(1)(2)班各有 49 名学生，两班学生在一次数学测试
试问二人谁发挥的水平较稳定?
分析:甲的平均成绩是9环.乙的平均成绩也是9环.
情境二:
某农场种植了甲、乙两种玉米苗，从中各抽取
了10株，分别测得它们的株高如下：(单位cm)
甲： 31 32 35 37 33 30 32 31 30 29 乙： 53 16 54 13 66 16 13 11 16 62
10×
0.5－0.45 0.3
≈71.7(分)．
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
众数是最高长方形底边的中点所对应的数据，表示样 众数
本数据的中心值 中 ①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 位 面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差； 数 ②表示样本数据所占频率的等分线
平 平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方形底边中 均 点的横坐标之和； 数
游了．”
(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议．
解：(1)由高一(1)班成绩的中位数是 87 分可知，85 分排在 25 名以 后，从名次上讲并不能说 85 分在班里是上游，但也不能从这次测 试的名次上来判断学习的好坏．小刚得了 85 分，说明他对这阶段 的学习内容掌握得较好，从掌握的学习内容上讲也算是上游． (2)高一(1)班成绩的中位数是 87 分，说明高于 87 分的人数占一半 左右，而平均分为 79 分，标准差又很大，说明低分者很多，两极 分化严重，建议对学习差的学生给予帮助． 高一(2)班成绩的中位数和平均数都是 79 分，标准差较小，说明学 生成绩之间的差别也较小，学习差的学生较少，但学习优秀的学生 也很少，建议采取措施提高优秀学生的人数．
x
1 100 (x1
x2
x100 )
1 100
(x1
x4)
(x5
平 于 x均频12)数率的分估布(计直x99值方 x等图100)
4 100
x 14
8 100
x 512
2 100
x 99100
中每个小矩形的面 积乘以小矩形底边
0.04 0 0.5 0.08 0.5 1 0.02 4 4.5 =2.02
众数:反映的往往是局部较集中的数据信息
中位数:是位置型数，反映处于中间部位的 数据信息
平均数:反映所有数据的平均水平
1、求下列各组数据的众数
（1）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9 众数是：3和8
（2）、1 ，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9 众数是：3
2、求下列各组数据的中位数
中位数 平均数 去掉一个最高分和 去掉两个最高分 最低分后的平均分 和最低分后的平 均分
特征值 9．3 9．4 9．49 9．42
9．44
评委 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 打分 9.6 9.3 9.3 9.6 9.9 9.3 9.4
提问：1、电视里评委是怎样给选手打分的？ 2、为什么这么做？直接取中位数和众数的值不好么？
课堂练习： 1、假设你是一名交通部门的工作人员。你打算向市长报告国 家对本市26条公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公 路的建设投资为2 200万元人民币，另外25个项目的投资在 20万与100万．中位数是25万，平均数是100万，众数是20万 元。你会选择哪一种数字特征来表示每一个项目的国家投资？ 你选择这种数字特征的缺点是什么？