概率论与数理统计第2版教学课件第6章

极值的分布
定理2 设总体X的分布函数为F(x),X1,X2,…,Xn为其样本，则
(1) X(n)的密度函数f(n)(u)=nf(u)[F(u)]n-1；
(6-11)
(2) X(1)的密度函数f(1)(v)=nf(v)[1-F(v)]n-1；
(6-12)
其中f(x)为总体X的密度函数。
证明略。
6.2
同的分布。
(2) 要有独立性。每次抽取是独立的，即每个观测结果既不影响其他观测结果，也不受其他观测
结果的影响。
满足上述两条要求的抽取个体的办法称为简单随机抽样法。换句话说，简单随机抽样法就是独立
地、重复地做随机试验。今后，凡是提到随机抽样，都是指简单随机抽样。
6.1
随机样本与统计量
6.1.1
总体、个体与样本
6.1.2
样本统计量
(4) 样本k阶原点矩
(5) 样本k阶中心矩
—
n−1 2
应当注意的是：M1= X ,υ2=
S。
n
6.1
随机样本与统计量
6.1.2
样本统计量
定义3 (顺序统计量) 设x1,x2,…,xn为样本X1,X2,…,Xn的一个观察值，将x1,x2,…,xn由小到大重新
排列为
x(1)≤x(2)≤…≤x(k)≤…≤x(n),
由定义知，对于x的每个数值而言，经验分布函数Fn∗(x)为样本X1,X2,…,Xn的函数，它是一个统计
12
k
nn
n
量，即为一个随机变量，其可能取值为0, , ,…,1。事件“Fn∗(x)= ”发生的概率为
P Fn∗ (x) =
其中F(x)=P{X<x}是总体X的分布函数。
k
n
=Cnk [F(x)]k[1-F(x)]n-k,
不含任何未知参数，则称g(X1,X2,…,Xn)为一个样本统计量，简称统计量。若x1,x2,…,xn是X1,X2,…,Xn的
样本观察值，则称g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的观察值。
6.1
随机样本与统计量
6.1.2
样本统计量
1
X
4
σ
例如,X1,X2，是从正态分布N(μ,σ2)中抽取的样本，其中μ和σ2是未知参数.则 (X1+X2)-μ， 1都不
的，其中个体总数就是该天生产的这种灯泡的总数.如果我们要研究的是这种灯泡的寿命X的分布，常
把相同条件下所有可能生产的灯泡的寿命的全体看成一个总体，显然它是一个无限的总体。要想得到
这种灯泡的寿命的分布是不可能的，实际情况也不允许我们对每只灯泡都进行测试。唯一的办法是抽
取部分灯泡(如抽取n个)做寿命试验，根据试验结果来判断总体X服从何种分布，也可以估计总体均值
称Fn∗(x)为总体X的经验分布函数，也称为样本分布函数，如图6-1所示。
(6-9)
Байду номын сангаас
6.2
抽样分布
6.2.1
经验分布函数与格利文科定理
图
6-1
6.2
抽样分布
6.2.1
经验分布函数与格利文科定理
1
易知，Fn∗(x)是单调、非减、右连续且在点x=x(k)处间断。在每个间断点处的跳跃量均为 。显
n
然,0≤Fn∗(x)≤1，并且具有分布函数的其他性质。
随机样本与统计量
6.1.2
样本统计量
定义4 (极差) 设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，则称统计量
R=X(n)-X(1)
为样本的极差。
极差反映了样本观测值的波动幅度。它同方差一样是反映观察值离散程度的数量指标。
(6-8)
6.1
随机样本与统计量
6.1.2
样本统计量
例 从某工厂生产的轴承中随机地抽取10只，测得其重量(以kg计)为
重要指标。就某一数量指标X而言，如灯泡的使用寿命，由于种种偶然因素的影响，每一个灯泡的使用
寿命不一定完全相同，但它又是按照一定的规律分布的。这表明灯泡的使用寿命X是一个随机变量，这
时每只灯泡的寿命值就是该随机变量X的一个可能取值。由于人们主要是研究总体的某些数量指标，所
以把总体看作这些所有可能取值的全体，用随机变量X来代表总体。因此，总体通常是指某个随机变量
(即E(X))或总体方差(即D(X))等。
6.1
随机样本与统计量
6.1.1
总体、个体与样本
从总体X中抽取一个个体，就是对随机变量进行一次试验，得到X的一个观察值。由于我们要求得
到的个体能很好地反映总体的特征，所以对抽取个体的方法要提出一定的要求：
(1) 要有代表性。使总体X中的每个个体被抽到的机会是均等的，且抽取的每个个体与总体X有相
抽样分布
6.2.2
极值的分布
例2 设总体X服从参数λ的指数分布，其密度函数及分布函数分别为
λe−λx
f(x)=൝
0
1−e−λx
F(x)=൝
0
0 < x < +∞,λ > 0
,
其他
0 < x < +∞,λ > 0
.
其他
求样本X1,X2,…,Xn的极小统计量、极大统计量的分布密度。
6.2
抽样分布
6.2.2
6.1.1
总体、个体与样本
定义1 设X1,X2,…,Xn是来自总体X的容量为n的样本，若X1,X2,…,Xn相互独立，且每个
Xi(i=1,2,…,n)都是与X有相同分布的随机变量，则称X1,X2,…,Xn为总体X的简单随机样本，简称样本。
其中Xi(i=1,2,…,n)称为样本分量。
由定义知，若总体X的分布函数为F(x),X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本，则X1,X2,…,Xn的联合分布
时，经验分布函数是否接近于总体分布函数呢?格利文科(W.Glivenko)于1933年作出了肯定的回答。
6.2
抽样分布
6.2.1
经验分布函数与格利文科定理
定理1 (格利文科定理) 当n→∞时，Fn∗(x)依概率1关于x均匀地收敛于F(x)，即
P{ lim
sup |Fn∗(x)-F(x)|=0}=1.
n
(2) 由于
—
—
X −μ
FU(x)=P{U≤x}=P
≤ x =P X ≤
σ/ n
故U~N(0,1)。
σ
n
不全为零,i=1,2,…,n)也服从正态分布。其中
6.2
抽样分布
6. 2. 3
—
样本均值 的分布
推论1 设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样本，则有
(1)
(2)
6.2
抽样分布
6. 2. 3
—
样本均值 的分布
1
证 (1) 在定理3中，取ai= (i=1,2,…,n)即可。
概率论与数理统计
机械工业出版社
第6章
数理统计的基本概念与参数估计
6.1
随机样本与统计量
6.2
抽样分布
6.3
参数的点估计
6.4
估计量的评选标准
6.5
参数的区间估计
6.1
随机样本与统计量
6.1.1
总体、个体与样本
总体、个体与样本是数理统计中三个最基本的概念。我们把所要研究对象的全体称为总体，把组
成总体的每个基本单元称为个体。例如，要研究一轧钢厂在某天所生产钢筋的质量，该天所生产的所
2.36
2.42
2.38
2.34
2.40
2.42
2.39
2.43
2.39
2.37
求样本均值,样本方差。
解 样本均值为
— 1
X = (2.36+2.42+…+2.37)=2.39.
10
样本方差为
6.1
随机样本与统计量
习题
1. 证明二阶中心矩
6.1
随机样本与统计量
习题
2. 设容量n=10的样本的观察值为8,7,6,5,7,9,8,5,9,6。求样本均值和样本方差的观察值。
(6-10)
n→∞−∞<x<+∞
因此，当n很大时，样本分布函数Fn∗(x)实际上将近似等于总体分布函数。这就是我们用样本推断
总体的依据。
6.2
抽样分布
6.2.1
经验分布函数与格利文科定理
例1 设容量为10的一组样本观察值为1,2,4,3,3,4,5,6,4,8,求样本均值、样本方差和样本分布函数
的观察值。
函数为
又若X具有概率密度f(x)，则X1,X2,…,Xn的联合概率密度为
6.1
随机样本与统计量
6.1.2
样本统计量
为了利用样本所提供的信息来对总体作出分析和推断，需要对样本加工处理，构造出不含未知参
数的样本函数，这种样本函数称为样本统计量。
6.1
随机样本与统计量
6.1.2
样本统计量
定义2 设X1,X2,…,Xn是总体X的一个简单随机样本，g(x1,x2,…,xn)是一个n元连续函数，如果g中
从一个总体X抽取n个个体，由于抽样的独立性与随机性，每个个体都是一个随机变量
Xi(i=1,2,…,n)。这里X1,X2,…,Xn相互独立，并且Xi与X具有相同分布。这样的n个随机变量称为总体X的
一个容量为n的样本。但是在具体抽样后，它们就有了具体的数值
x1,x2,…,xn,
称为样本观察值。
6.1
随机样本与统计量
定义1 (经验分布函数) 从总体X中抽取容量为n的样本X1,X2,…,Xn,设顺序统计量X(1),X(2),…X(n)的
观察值为x(1),x(2),…,x(n)。对任何实数x，定义函数
0
F ∗n (x)=
k
n
1
x < x(1)
x(k) ≤ x < x(k+1)
(k=1,2,…,n),
x ≥ x(n)
6.2
抽样分布
6.2.1
经验分布函数与格利文科定理
解
0
1
10
2
10
4
Fn∗(x)=
10
7
10
8
10
9
10
1
x<0
1≤x<2
2≤x<3
3≤x<4
4≤x<5
5≤x<6
6≤x<8
x≥8
6.2
抽样分布
6.2.2
极值的分布
极值分布在水文、气象和地震等预报问题中，有着重要的作用。在大型工程设计中，人们需要对
6.1
随机样本与统计量
习题
3. 设X1,X2,…,Xn是总体X的样本，且X~N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知，问
是否都是统计量?
6.1
随机样本与统计量
习题
4. 设总体X分别服从正态分布X~N(μ,σ2)与指数分布X~E(λ)，试分别写出样本(X1,X2,…,Xn)的联合
概率密度函数。
6.1
6.2
抽样分布
6.2.1
经验分布函数与格利文科定理
k
这是因为X1,X2,…,Xn相互独立且具有相同的分布函数F(x)，因而事件“Fn∗(x)= ”等价于n次独立
n
重复试验的贝努里概型中事件“X<x”发生k次，而其余n-k次不发生的概率。
由于当试验次数增大时，事件的频率在其概率附近摆动，因此，人们自然要问，当试验次数增大
一些带有严重破坏性的自然灾害进行必要的估计与预测。如在建造桥梁时，为了防止洪水冲塌桥梁这
类事故发生，设计时就必须事先考虑到在使用期间该河流可能爆发的最高水位；在建造高大建筑物时，
也要考虑到今后若干年内的最大风压、地震的最大震级等。了解这些随机变量的概率分布，就是极值
的分布。
6.2
抽样分布
6.2.2
极值的分布
解 由定理2的结论求出
nλe−λx (1−e−λx )n−1
f(n)(x)=൝
0
−nλx
f(1)(x)=ቊnλe
0
0 < x < +∞
,
其他
0 < x < +∞.
其他
可见，样本的极小统计量X(1)服从参数为nλ的指数分布。
6.2
抽样分布
6. 2. 3
—
样本均值 的分布
定理3 设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,且Xi~N(μ,σ12 ) (i=1,2,…,n)，则它们的线性函数
有钢筋视为一个总体，则这一天生产的每一根钢筋为个体。又如，要检验一批灯泡的质量，这一批灯
泡可看成是一个总体，每一个灯泡则为个体。
在数理统计中，我们往往对表征总体性质的某一个或某n个数量指标感兴趣。如灯泡的使用寿命X
就是灯泡质量的一个重要的数量指标；钢筋的抗拉强度Y1，抗剪切力的大小Y2是表征钢筋质量的两个
记观察值为x(k)的样本分量为X(k)，则得到
X(1)≤X(2)≤…≤X(k)≤…≤X(n).
称X(1),X(2),…,X(n)为由样本X1,X2,…,Xn建立的顺序统计量。
称X(1)为极小统计量，X(n)为极大统计量.若n为奇数，称X
为样本中值。
n+1
2
为样本中值；若n为偶数，称X
n
+1
2
6.1
随机样本与统计量
习题
5. 设总体X的分布函数为F(x)，分布密度函数为φ(x),X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，记
X(1)= min (Xi),X(n)= max (Xi)。试求X(1),X(n)分布函数和分布密度函数。
1≤i≤n
1≤i≤n
6.2
抽样分布
6.2.1
经验分布函数与格利文科定理
是统计量，因为它们含有未知参数。而3X1,X1+X22 ,X12 +2X1X2+X22 都是统计量。
显然，统计量作为样本X1,X2,…,Xn的函数仍然是一个随机变量。下面介绍常用的统计量。
6.1
随机样本与统计量
6.1.2
样本统计量
(1) 样本均值
(2) 样本方差
(3) 样本标准差
6.1
随机样本与统计量
X取值的全体，X的一个可能取值(观察值)就是个体。如果表征总体的随机变量X的分布函数为F(x)，我
们就称总体X的分布为F(x)，亦称总体X为具有分布函数F(x)的总体。
6.1
随机样本与统计量
6.1.1
总体、个体与样本
总体的类型随研究的问题而定。例如，研究某灯泡厂某天生产的某种灯泡的次品率，总体是有限