最新人教版七年级数学下册 第八章 《消元——解二元一次方程组》教案

《消元——解二元一次方程组》教案2
江西师大附中荣齐辉
教学设计说明：
本课以贴近学生生活实际的问题为情境，引导学生分别列二元一次方程组和一元一次方程解决问题，通过观察、对比，发现二元一次方程组和一元一次方程的联系，思考如何将二元一次方程组转化为一元一次方程，实现消元，渗透化归的数学思想．通过丰富的例题和问题，使学生熟练掌握二元一次方程组的解法，并能运用二元一次方程组解决一些实际问题，体会方程思想．
（1）教材分析
二元一次方程组是在《一元一次方程》的基础之上学习的，它是解决含有两个未知数的问题的有力工具，同时，二元一次方程组也是解决后续一些问题的基础，其解法将为解决这些问题提供运算的工具，如用待定系数法求一次函数解析式，在平面直角坐标系中求两条直线的交点等．解二元一次方程组就是要通过代入法和加减法把“二元”化归为“一元”，这也是解三元（多元）一次方程组的基本思路，是通法．
（2）学情分析
学生的知识技能基础：学生已学过一元一次方程的解法，经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程，具备了学习二元一次方程的基本技能．
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了很多观察、对比、发现的学习程，具有了一定的发现式学习的经验和数学思考，具备了一定的合作与交流的能力．教学目标
1．用代入法、加减法解二元一次方程组．
2．了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想．
3．会用二元一次方程组解决实际问题．
4．在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力．
教学重点、难点
重点：会用代入法和加减法解简单的二元一次方程组，会用二元一次方程组解决简单的实际问题，体会消元思想和方程思想．
难点：理解“二元”向“一元”的转化，掌握代入法和加减法解二元一次方程组的一般步骤．
课时设计
四课时．
教学策略
本节课主要通过创设问题情境，引导学生观察迁移、采用发现法、探究法、练习法为辅的教学方法．
教学过程
一、创设问题情境，引入课题
问题1 篮球联赛中每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜、负场数应分别是多少?你能根据问题中的等量关系列出二元一次方程组吗？
师生活动：学生回答：设胜x 场，负y 场．根据题意，得⎩⎨⎧=+=+16
210y x y x ，教师引出本节
课内容：这是我们在引言中探讨的问题，我们在上节课列出了方程组，并通过列表找公共解的方法得到了这个方程组的解⎩⎨⎧==4
6y x ，显然这样的方法需要一个个尝试，有些麻烦，不好
操作，所以我们这节课就来探究如何解二元一次方程组．
教师追问（1）：这个实际问题能用一元一次方程求解吗？
师生活动：学生回答：设胜x 场，则负)10(x -场．根据题意，得16)10(2=-+x x ． 教师追问（2）：对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？
师生活动：通过对实际问题的分析，认识方程组中的两个方把二元一次方程组转化为一元一次方程，先求出一个未知数，再求出另一个未知数．教师总结：这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想程．
【设计意图】
用引言中的问题引入本节课内容，先列二元一次方程组，再列一元一次方程，对比方程和方程组，发现方程组的解法．
二、探究新知
问题2 对于二元一次方程组10 216 x y x y ⎧+=⎨+=⎩
①②你能写出求x 的过程吗？ 师生活动：学生回答：
由①，得x y -=10．③
把③代入②，得16)10(2=-+x x ．
解得6=x
【设计意图】
通过解具体的方程明确消元的过程．
教师追问：把③代入①可以吗？
师生活动：学生把③代入①，观察结果．
【设计意图】
由于方程③是由方程①得到的，它只能代入方程②，不能代入方程①，让学生实际操作，得到恒等式，更好地认识这一点．
问题3 怎样求y 的值？
师生活动：学生回答：把6=x 代入③，得4=y ．
教师追问（1）：代入①或②可不可以？哪种方法更简便？
师生活动：学生回答：代入③更简便．
教师追问（2）：你能写出这个方程组的解，并给出问题的答案吗？
师生活动：学生回答：这个方程组的解是⎩
⎨
⎧==46y x ，这个队胜6场，负4场． 【设计意图】
让学生考虑求另一个未知数的过程，并思考如何让优化解法．
问题4 你能总结出上述解法的基本步骤吗？其中，哪一步是最关键的步骤？
师生活动：教师引导学生总结：变、代、求、写，学生回答：“代入”是最关键的步骤，教师总结：这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
【设计意图】
使学生明确代入法解二元一次方程组的基本步骤，并明确关键步骤是“代入”，将二元一次方程组转化为一元一次方程．
问题5 是否有办法得到关于y 的一元一次方程？
师生活动：学生具体操作．
【设计意图】 让学生尝试不同的代入消元方法，并为后面学生选择简单的代入方法作铺垫．
三、应用新知
例 用代入法解方程组⎩⎨⎧=-=-14
833y x y x
师生活动：学生写出用代入法解这个方程组的过程，教师巡视，个别点拨．
【设计意图】
使学生熟悉代入法解二元一次方程组的步骤,巩固新知．
四、加深认识
练习 用代入法解下列二元一次方程组：
（1）⎩⎨⎧=+=+15253t s t s （2）⎩
⎨⎧=-=+33651643y x y x 师生活动：学生写出代入法解这些方程组的过程．
【设计意图】
本题需要先分析方程组的结构特征，再选择适当的解法，通过此练习，使学生熟练掌握用代入法解二元一次方程组．
五、学以致用
例 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g ）和小瓶装（250g ），两种产品的销
售数量（按瓶计算）的比为 ，某厂每天生产这种消毒液22．5吨，这些消毒液应该分
装大、小瓶两种产品各多少瓶？
师生活动：教师引导学生列出二元一次方程组，学生写出解这个方程组的过程． 教师追问：上述解方程组的过程能用一个框图表示出来吗？
师生活动：教师与学生一起尝试用下列框图表示解方程组的过程：
【设计意图】
这是一个实际问题，需要先根据题意设两个未知数，列二元一次方程组，再用代入5:2
法解这个方程组，体现应用方程组分析、解决实际问题的全过程，增强学生的应用意识．并通过框图形式形象地表示代入法解二元一次方程组的过程，使学生加深理解．
六、再探新知
问题4 前面我们用代入法求出了方程组
10 216 x y x y ⎧+=⎨+=⎩
①② 的解，这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？你能利用这种关系发现新的消元方法吗？
师生活动：学生回答：这两个方程中y 的系数相等，②-①可消去未知数y ，得6=x ． 把6=x 代入 ①得，4=y
所以这个方程组的解为⎩⎨⎧==4
6y x ．
教师追问：①-②也能消去未知数y ，求得x 吗？
师生活动：学生具体操作，发现求得的解跟上面相同．
【设计意图】
让学生发现除代入法以外的其它消元方法：通过两个方程相减实现消元．
问题5 联系上面的解法，想一想怎样解方程组
⎩⎨⎧=-=+.
81015,8.2103y x y x 师生活动：学生回答：由于这两个方程中y 的系数相反，将两个方程相加，可消去未知数y ，求得x ，进而求得y ．教师总结：当两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
【设计意图】
让学生再次发现新的消元方法：通过两方程相加实现消元，并总结出加减消元法．
七、应用新知
例 用加减法解方程组
⎩⎨⎧=-=+33
651643y x y x
问题6 上述方程组能直接通过加减消元吗？为什么？
师生活动：学生回答：不能，因为同一未知数的系数既不相等也不相反．
教师追问：那该怎样变形才能实现消元？
师生活动：可以在方程两边同时乘适当的数，使同一未知数的系数相等或相反，再通过将两个方程相加或相减，实现消元．
【设计意图】
让学生掌握加减消元法的基本步骤，加深对加减法的认识．
八、巩固提高
练习 用加减法解下列方程组：
（1）⎩⎨⎧-=-=+12392y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+15
432525y x y x 【设计意图】
让学生熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤，巩固提高．
九、学以致用
例 2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3．6公顷；3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机工作1小时各收割小麦多少公顷？
【设计意图】
这是一个实际问题，需要先根据题意设两个未知数，列二元一次方程组，再用加减法解这个方程组，体现应用方程组分析、解决实际问题的全过程，增强学生的应用意识,同时加深和巩固对加减法解二元一次方程组的认识．
十、归纳总结
回顾本节课的学习过程，并回答以下问题：
（1）代入法和加减法解二元一次方程组有哪些步骤？
（2）解二元一次方程组的基本思路是什么？
（3）在探究解法的过程中用到了什么思想方法？你还有哪些收获？
【设计意图】
让学生总结本节课的主要内容，提炼思想方法．
十一、布置作业
课本习题
教学反思
1．应用意识贯穿始终：从问题的提出，到最后的练习，多出环节以实际问题为背景，为解决问题的需要而学习，最后回归到用新知识解决实际问题，既解决了为什么要学习二元一次方程组的解法的问题，同时，由于目标明确具体，学生探究时容易把握方向，在一定程度上分解了难点，提高了学生学习的兴趣．
2．循序渐进原则的运用：学生对消元思想的理解很难一步到位，所以采用结合具体问题逐步渗透、感悟，然后提炼升华的方式学习，类似地，对二元一次方程组的解法，经历了从特殊到一般，从简单到复杂的循环上升过程，学生对数学思想的理解随之加深．。