新教材人教A版高中数学选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式(含习题课共2课时)

即则q数3列=aa{52 a=n}8的,即前qn=项2,和首S项n=a121=(112
,
2n
)
＝2n1
1
.
1 2
2
答案:2n-1- 1
2
关键能力·素养形成
类型一 等比数列前n项和的计算
【典例】1.(2020·福州高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若
a2+a4=2(a1+a3),且a1a3a5=512,则S10= ( )
1 q
()
(3)等比数列1,-1,1,-1,…的前n项和等于0. ( )
提示:(1)×.Sn=
1 2n .
1 2
(2)×.Sn=
a1 anq .(q 1) 1 q
(3)×.Sn=
1 1n 1 1
1 1n
.
2
2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=3(a1+a2),则公比q的值为( )
【习练·破】 (2020·汕尾高二检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今 有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我 马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了 别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的 一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他 们各应偿还多少?该问题中,1斗为10升,则羊主人应偿还多少升粟?( )
【解析】选B.设等比数列{an}的公比为q,则B=A+Aqn,C=A+Aqn+Aq2n,则AC=A2(1
+qn+q2n),B2=A2(1+2qn+q2n),又q>0,故AC<B2.A+C-2B=
a（1 1
q
n）
a（1 1 q3n）
2
a（1 1 q2n）
1 q
1 q
1q
a（1 2
qn
q3n）
a（1 2
A. 25
B. 50
3
3
C. 50
D.100
7
7
【解析】选C.设牛、马、羊所吃禾苗分别为a1,a2,a3,
则{an}是公比为
1 的等比数列,
2
所以S3=a1(111213=) 50,解得a1=
2,00
7
2
所以羊主人应偿还:a3= 200 1＝升5粟0 .
7 47
类型三 等比数列前n项和的简单性质
【习练·破】
1.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则
Sn = (
an
A.2n-1
) B.2-21-n
C.2-2n-1
D.21-n-1
【解析】选B.设等比数列的公比为q,
由a5-a3=12,a6-a4=24可得:
aa11qq54
a1q 2 a1q3
角度1 前n项和公式的函数特征
【典例】已知等比数列{an}的前n项和Sn=λ·3n-1-1(λ∈R),则
2(S8 1) a7
()
A. 1
B.3
C.6
D.9
3
【思维·引】利用前n项和公式的结构特征求出λ及公比,再利用Sn的表达式计
算;也可由Sn表示出a1,a2,a3后求λ及公比,再利用Sn的表达式计算.
A.2
B. 3
C. 5
D. 2
【解析】选D.因为S4=3(a1+a2),所以q≠1.
所以
a（1 q q
41=13）a1(1+q),
化为q2=2,解得q= 2 (负值舍去).
3.在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则数列{an}的前n项和Sn=________.
【解析】因为a2=1,a5=8,所以a5=a2q3,
所以 Sa13112=86,解得a1=
.6
7
答案: 6
7
【内化·悟】 本例2中的消元方法是什么?有什么优点?
提示:利用两式相除消元,消去a1的同时起到了降低次数的作用.
【类题·通】 等比数列前n项和的运算技巧 (1)注意考查条件,公比为1时是否成立. (2)涉及的基本量有a1,q,n,an,Sn共五个,“知三求二”,常常列方程组来求解. (3)消元解方程组的过程中,常常用到两式相除、整体代入的方法.
1 q
1 q
1 q
解得,q=-2或q=1(舍),
则a2 020=3×(-2)2 019=-3×22 019. 答案:-3×22 019
【新情境·新思维】
已知等比数列{an}的各项均为正数,设其前n项和为Sn,若anan+1=4n(n∈N*),则
因为a1=
1 3
,6
a=32 a6,所以
6 (1 q2 )2＝1 q5，
3
3
1（1 25）
解得,q=2,则S5=3 1 2 ＝
31 3
.
答案: 31
3
【加练·固】
(2020·株洲高二检测)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=
1 2
,
a
2 4
=a6,
则S4=________.
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
2
q
2n）
a1q（n qn
1）2 ，
当q>1时A+C>2B,当0<q<1时A+C<2B,故
1 q
1 q
1 q
A,C不正确.
【加练·固】 一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和
为170,求此数列的公比和项数.
【解析】因为S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…
因为a1=12 , a=24 a6, 所以 (1 q3)2＝1 q5， 解得,q2=2,则2S4=12（1 24）＝15 .
12 2
答案: 15
2
类型二 等比数列前n项和的实际应用 【典例】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里 关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公 仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起 脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开 始,走的路程少于30里 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【思维·引】首先判断数列类型,其次确定数列的基本量计算.
4.3.2等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和公式 第2课时 等比数列习题课 P41
等比数列的前n项和公式
q=1 q≠1
a1,q,n
na1
a（1 1 qn）
Sn=_______1__q________
a1,q,an
a1 anq
Sn= _____1__q__________
【思考】
1 299 =299-1.
1 2
4.已知首项为3的等比数列{an}的前n项和为Sn,若2S2=S3+S4,则a2 020的值为 ________.
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
因为a1=3,2S2=S3+S4,
当q=1时显然不成立,故q≠1,
所以
6（1
q
2）
3（1
q,3）整理3（可1得q4,）q2+q-2=0,
)2
＝1 8
.
方法二:因为S6=S3+S3q3,
所以q3=S6 S3 ＝ 1，
S3
8
所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=(818×)2＝
1 8
.
【类题·通】
1.等比数列前n项和公式的特征
数列{an}是非常数数列的等比数列 ⇔Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,1,n∈N*). 即指数式的系数与常数项互为相反数, 其中A= a1 .
12 24
q 2 a1 1，
所以an=a1qn-1=2n-1,San1=11qqn
1=2n2n-1,
1 2
因此
Sn an
2=n 21-21-n.
2n1
2.(2020·吉林高二检测)已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,a1=
1 3
,
6
a
2 3
=a6,则S5=________.
【解析】设等比数列{an}的公比为q.
a3=S3-S2=(9λ-1)-(3λ-1)=6λ,
则有6λ×(λ-1)=(2λ)2,
解可得λ=3或0(舍),首项a1=2,
则
2(S8 a
7
1)
＝
2(38 2
1 36
1)
＝9.
【素养·探】 等比数列的前n项和公式实质是关于n的函数,再利用其结构特征可以确定系
数之间的关系,这用到了核心素养中的数学抽象. 将本例中的条件变为“Sn=3×2n+a”,则S5=________.
从本例条件中可以提取哪些等比数列的基本量?
提示:Sn=378,q=
1 2
,n=6.
【类题·通】 解答数列应用问题的方法 (1)判断、建立数列模型 ①变化“量”是同一个常数:等差数列; ②变化“率”是同一个常数:等比数列. (2)提取基本量 从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,an,Sn, 列出方程(组)求解.
A.1B. 1C. 57D. 55
8
8
8
8
【思维·引】利用S3,S6-S3,S9-S6的关系求值.
【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,
S6-S3,S9-S6成等比数列,
又a7+a8+a9=S9-S6,
则S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比数列,
从而a7+a8+a9(=S6
S3 S3
A.1 022
B.2 046
C.2 048
D.4 094
2.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=6,S6=54,则a1=________. 【思维·引】1.利用已知项的关系解出a1和q代入公式求S10. 2.先求出数列的公比,代入前n项和公式求首项.
【解析】1.选B.由等比数列的性质可知,a1a3a5=a
【解析】选D.方法一:Sn=λ·3n-1-1=
3
·3n-1,
所以
3
=1,λ=3且q=3,又a1=S1=3·3n-1-1=2,
2(S8 1)＝2(38 11)＝9；
a7
2 36
方法二:等比数列{an}满足Sn=λ·3n-1-1,
当n=1时,有a1=S1=λ-1,
有a2=S2-S1=(3λ-1)-(λ-1)=2λ,
a1q（3 1 q）
， 27
因此,数列{an}的前5项和S5=
a1
1 4，
q 3
a（1 1 q5）
1（1 4
35）
121.
1 q
13 4
()
3.数列{2n-1}的前99项和为
()
A.2100-1
B.1-2100
C.299-1
D.1-299
【解析】选C.数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99=
【解析】数列{an}是等比数列,
①若q=1,显然Sn=3×2n+a,不成立.
②故数列{an}的公比q≠1,
所以Sn=a1
(1 q 1 q
n
)
＝
1
a1 q
qn a1 ， 1 q
故q=2, a1 =-3,故a=-3.
1 q
所以S5=3×25-3=93.
答案:93
角度2 前n项和的性质
【典例】设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9=( )
【解析】选B.此人每天走的步数构成以 1为公比的等比数列,所以
2
=378,解得a1=192,
所以an=192×( 12
)n1=384×
(
1 2
,)n
因为384×(1 )<n 30,
2
所以2n>12.8,经验证可得n≥4,
a1 (1
1 26
)
1 1 2
即从第4天开始,走的路程少于30里.
【内化·悟】
对于等比数列的前n项和Sn=
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
一定成立吗?
提示:不一定,当q=1时不成立.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若等比数列的首项a1=1,公比为2,则前n项和Sn=
1 2n1 1 2
.
(
)
(2)已知等比数列的a1,q,an,则Sn= a1 anqn .
+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q.
所以q=S偶 ＝170＝2.
S奇 85
又Sn=85+170=255,据Sa1n(1=1qq
n
)
，得1 2=n 255,
1 2
所以2n=256,所以n=8.
即公比q=2,项数n=8.
1.等比数列1,a,a2,a3,…的前n项和为 ( )
A.1+ a(1 an1)
1 a
C. an1 1
a 1
B. 1 an
1 a
D.以上都不对
【解析】选D.当a=1时,Sn=n.
2.在等比数列{an}中a1+a2=1,a4+a5=27,则{an}的前5项和为
A.29
B. 119
4
C.30
D. 121
4
【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,
则
a1 a 4
a2 a5
a（1 1 q解）得1
1 q
2.等比数列前n项和公式的性质
等比数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.
【习练·破】
(2020·重庆高二检测)已知公比不为1的正项等比数列{an}的前n项和,前2n 项和,前3n项和分别为A,B,C,则 ( )
A.A+C>2B
B.AC<B2
C.AC>B2
D.A+C<2B
3=512,
3
所以a3=8,
因为a2+a4=2(a1+a3),所以q8
8qΒιβλιοθήκη 2(8 q28)，
整理可得,q3+q=2(1+q2),
所以q=2,a1=2,S10=2（112210）=2 046.
2.因为S3=a（1 1 q=3）6,S6=
1 q
a（1 1= q56）4,
1 q
所以 S6=1+q3=9,解得q3=8,则q=2,