高中数学导数大题八类题型总结

1 1
2 x 1
x 1
ln
x
x
1 x
1 2
x
1 x
0
x
1时，1 2
x
1 2
x
1 x
ln
x
2 x 1
x 1
x2 x2
1 1
以上所有不等式，考试时需要用的时候，都要先证明之后再使用
7. 常见不等式的应用
如果说高中的圆锥曲线题目总是要找相等关系，那么高中的导数题归根结底就是找不等关系，因此想要攻克导数这 个关口，放缩思想时刻要保持在脑海里，很多题目，仅仅用一些非常粗暴的放缩，就可以简化计算和解题过程。
与要求不等关系矛盾 2.a 0时，考虑切线特性
直线经过定点0，1 ,刚好也是f 0的位置，那么直观的想法是让直线的斜 率超过函数f x 在x 0处的切线斜率，就可能保证直线始终在函数图像上方 f ' 0 1, 于是猜测a 1
进一步要说明a确实为该取值，还要说明函数是凸函数，即其斜率在x 0之后 递减.通过二阶导得到：
1. 存在性问题
高考导数大题中的存在性问题，最后几乎都会变成零点的存在性问题
(2)问将有且仅有一个交点分成两部分证明，分别证至多存在一个交点与必然存在交点：
证明必然存在交点是单纯的找“特殊点”问题
1. 存在性问题
要点
1. 存在性问题
由于只关注零点的存在性，因此就没有 必要对t(x)求导讨论其单调性，直接使 用零点定即可。
分类讨论一般分两种：一种对参数分类讨论，一种对区间分段讨论，分段讨论 在5中已经提及，这里再提及对参数的分类讨论。
高考中分类讨论众多且考察面广，其原因主要在于：容易考察出学生的分析能 力与对复杂情况区的分处理能力；分类讨论可以在一道题中同时考察多个知识点； 由于考纲的限制，分类讨论成了高中阶段非竞赛学生唯一绕开分离变量、洛必达法 则运用问题：0/0型，无穷/无穷型极限计算的办法
利用(2)中结论
5.分段讨论(无参数，是关于自变量x的分段)
第(1)问是一个比较简单的存在型问题
5.分段讨论(无参数，是关于自变量x的分段)
5.分段讨论(无数大题除求导外，隐藏零点、韦达定理、极值点偏移、二，三阶导等技 巧，都是附加的技巧，导数的核心，是分类讨论的考察，高考题多数绕不开分类讨 论。
f '' x ex x2 4x 1 0, 说明f ' x 在x 0时单调递减，f ' x f ' 0 1
函数f x是凸函数，a的范围确实为[1,+)
6. 分类讨论
如果不知道利用切线猜，该基于什么分类呢？对于题目中这样的恒成立的问题，首先我们要构造函数并求导
6. 分类讨论
注重证明过程的完整性与准确性才进行特殊点寻找，可以直接利用函数的连续性和存在单调递减区间说明显 然单调减区间小于0即可
7. 常见不等式的应用
很多导数题就是以一些常见放缩作为背景出的，因此有必要将一些常见不等式先熟记下来
ln x x 1
对数均值不等式也是必背内容，很多题目尤其是极值点偏移问题非常喜欢以这个不等式作为背景
由对数均值不等式，很容易得到以下推论，有余力最好背下来：
偶尔用得上的不等式：
x
1时，x x
2 2
6. 分类讨论
6. 分类讨论
(2)问从切线角度入手是一种比较快速便捷的方法
Matlab编程所做函数f(x)的图像
令右侧直线为y ax 1 引入一点分类讨论
1.a 0时，y y 0 1，而函数f x 在 0，-1+ 2 上单调递增 于是有f x f 0 1,当且仅当x 0时等号成立，此时直线在函数下方，
2. 韦达定理的运用
2. 韦达定理的运用
(2)问先对要证明的结论进行简单变形：
韦达定理的使用
证毕
3.隐藏零点
(1)问是常规的分类讨论问题
3.隐藏零点
隐零点设而不求，代换整体证明
3.隐藏零点
对称轴已经在-1右侧，保 证有零点且-1处二次函数 值大于0
3.隐藏零点
两道例题都是比较简单的含参“隐零点”问题，总之 就是用零点(极值点)反过来表示参数再进行计算
导数大题最基本的注意点：自变量的定义域
1. 存在性问题 2. 韦达定理的运用 3. 隐藏零点 4. 已有结论的运用 5. 分段讨论 6. 分类讨论 7. 常见不等式的应用 8. 导数与三次函数的利用
1. 存在性问题
第(1)问有两个未知数，一般来说，双未知数问题要想办法合并成一个未知数来处理
合并成一个未知数后利用不等式
4. 已有结论的运用
一些比较难的题目，一般问题就会进行一定提示，如利用(2)问提示(3)问，其难点就在于知道要利用已有结论，但 无从下手
第(1)问分类讨论问题，分离变量做容易导致解题过于复杂
4. 已有结论的运用
(2)问将不等式两边取对数之后思路就很清晰了
4. 已有结论的运用
(1)
f ' x 1 1 x 0
x
x 1为f ' x的零点, x 0,1, f ' x 0; x 1, , f ' x 0 于是f x在x 0,1上单调递增，在x 1, 上单调递减 x 1是f x的极大值点，f 1 0
(2)分别证明两个不等号即可 化到已知的结论上
4. 已有结论的运用
(3)问需要利用(2)问结论才能比较顺利的证明
7. 常见不等式的应用
(2)问一般思路： 是否过于繁琐？
7. 常见不等式的应用
在做这种证明之前，最好先处理成比较清爽的函数形式：
根据不等式 只要证一下要用的不等式就真的证完了 导数中要强调一点：不要胡乱求导
证毕
8. 导数与三次函数的利用
三次函数在高考中时常出现，三次函数有一些独有的结论和技巧，如果观察力比较好，能得当运用三次函数的有关 结论，则可以大大简化解题过程
导数-大题
导数在大题中一般作为压轴题出现，其复杂的原因就在于对函数的综合运用： 1. 求导，特别是复杂函数的求导 2. 二次函数（求根公式的运用） 3. 不等式：基本不等式、均值不等式等 4. 基本初等函数的性质：周期函数、对数函数、三角函数、指数函数 5. 常用不等式的巧妙技巧：1/2<ln2<1，5/2<e<3
1 a b c, f 4 4 a3 8, a 2
M≤4/27 (2)
8. 导数与三次函数的利用
M≤4/27
(3)直接讨论是有一些麻烦的，如果能看出 b