北京市人大附中2019-2020学年高三第一学期开学测数学试题(无答案)

北京市人大附中2019-2020学年度高三开学测
数 学 2019.8.15
（考试时间120分钟 满分 150分）
本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分
第一部分（选择题 共50分）
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.设i 为虚数单位，则复数i z -=1的模=||z A.1 B.2 C.2 D.22
2.已知全集,R =U 若集合{},0|2<-=x x x A 则=A C U
A.{}1,0|≥≤x x x 或
B.{}1,0|><x x x 或
C.{}10|<<x x
D.{}1|≥x x
3.命题,1,0:>>∀x e x p 则p ⌝是
A 1,000≤≤∃x e x . B.1,000≤>∃x e x
C.,1,0:≤>∀x e x p
D.,1,0:≤≤∀x e x p
4.若b a,是两个非零的平面向量，则“b a =”是“()()0=-⋅+b a b a ”的
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分条件也不必要条件
5.已知,2,2
1sin ,21ln 21===c b a 则c b a ,,的大小关系为 A.c b a << B.b c a << C.c a b << D.a c b <<
6.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是
A.最长棱的棱长为6
B.最长棱的棱长为3
C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形
D.侧面四个三角形中都是直角三角形
7.已知函数{}n m x x x g x x f ,m in ,32)(,1|ln |)(2
++-=-=表示n m ,中最小值，设{})(),(m in )(x g x f x h =，则函数)(x h 的零点个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
8.已知抛物线C;,42
x y =点(),0,m P O 为坐标原点,若在抛物线C 上存在一点Q ，使得,90ο=∠OQP 则实数m 的取值范围是
A.()8,4
B.()+∞,4
C.()4,0
D.()+∞,8 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9.双曲线14
:22
=-y x C 的离心率是 ；渐近线方程是 . 10.若等比数列{}n a 满足531=+a a 且公比,2=q 则=+53a a .
11.在ABC ∆中，,60,13,3ο===B b a 则=C ；ABC ∆的面积为 .
12.已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线12+=x y 上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是 .
13.已知函数x x a x f cos 32sin )(-=的一条对称轴为(),0)(,621=+-=x f x f x π
且函
数)(x f 在()21,x x 上具有单调性，则21x x +的最小值为 .
14.函数(),,)(R b R a be ae x f x x ∈∈+=-已知)(x f 的最小值为4，则点()b a ,到直线022=-+y x 距离的最小值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题满分13分）
设函数()()()()03cos 32cos sin 2)(2>+-⋅=ωωωωx x x x f 的图象上相邻最高点与最低
点的距离为162+π.
（Ⅰ）求函数)(x f 的周期及ω的值；
（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递增区间．
16.（本小题满分13分）
某校高三1班共有48人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生，理化历，史地政。

其中，选择理化生的共有24人，绚丽理化历的共有16人，其余人选择了史地政。

现采用分层抽样的方法从中抽取6人，调查他们每天完成作业的时间。

（Ⅰ）应从这三个组合中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的6人中有 4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内。

先从这6人中随机抽取3人进行座谈。

用X 表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望。

17.（本小题满分14分）
在四棱锥ABCD P -中,平面,平面PCD ABCD ⊥底面ABCD 为梯形，M PC AD CD AB ,,//⊥为PD 中点，过M B A ,,的平面与PC 交于,120,1,2,32,ο=∠====PDC AB PD DA DC N
（Ⅰ）求证：N 为PC 中点；
（Ⅱ）求证：PCD AD 平面⊥；
（Ⅲ）T 为PB 中点，求二面角B AC T --的大小.
18.（本小题满分13分）
已知函数3215()132
f x x x a x =-+-． (I)当6a =时，求函数()f x 在(0+)∞，上的单调区间；
(Ⅱ)求证：当0a <时，函数()f x 既有极大值又有极小值．
19.（本小题满分13分）
已知椭圆C ()01:22
22>>=+b a b
y a x 的左右顶点分别为A,B ，左焦点为F,O 为原点，点P 为椭圆C 上不同于A,B 的任一点，若直线PA 与PB 的斜率之积为43-
，且椭圆C 经过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛23,1 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若P 点不在坐标轴上，直线PA ，PB 交y 轴与M,N 两点；若直线OT 与过点M,N 的圆相切，切点为T,问切线长OT 是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由。

20.（本小题满分14分）
定义：给定整数i ，如果非空集合A 满足如下3个条件：
①;*⊆N A ②{}
;1≠A ③,,*
∈∀N y x 若,A y x ∈+则.A i xy ∈-
则称集合A 为“减i 集” （Ⅰ）{
}2,1=P 是否为“减0集”?是否为“减1集”? （Ⅱ）证明：不存在“减2集”；
（Ⅲ）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有的“减1集”；如果不存在，请说明理由.。