高考理科数学模拟试卷(含答案)

高考理科数学模拟试卷（含答案）
本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项：
1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
5.考试结束后,只将答题卡交回.
第Ⅰ卷 (选择题,共60分)
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合2
{1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A
B =
(A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数1
1i
z =
+,则||z =
(A)
2
(B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2
()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)2
4. 已知单位向量12,e e 的夹角为
2π
3
,则122e e -=
(A)3 (B)7
5. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是
(B)
3 (C)10 (D)10
9
6. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
7. 如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是
(A)6?i ≤ (B)5?i ≤ (C)4?i ≤ (D)3?i ≤
8. 已知,a b 为两条不同直线,,,αβγ为三个不同平面,下列命题：①若///,,/ααγβ则//βγ；②若//,//,a a αβ则//αβ；③若,,αγγβ⊥⊥则αβ⊥；④若,,a b αα⊥⊥则//a b .其中正确命题序号为 (A)②③
(B)②③④
(C)①④
(D)①②③
9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为 (A)99
(B)131
(C)139
(D)141
10. 已知πlog e,a =π
ln ,e
b =2e ln ,π
c =则
(A)a b c << (B)b c a <<
(C)b a c <<
(D)c b a <<
11. 过正方形1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ,使得l 与直线11,B C C D 所成的角均为
60︒,则这样的直线l 的条数为
(A)1 (B)2 (C) 3 (D) 4
12. 已知P 是椭圆2
214
x y +=上一动点,(2,1),(2,1)A B -,则cos ,PA PB 的最大值是
第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上. 13.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且111,1(2),n n a a S n -==+≥则4a =
14. 已知实数,x y 满足线性约束条件117x y x y ≥⎧⎪
≥-⎨⎪+≤⎩
,则目标函数2z x y =+的最大值是
15. 如图是一种圆内接六边形ABCDEF ,其中BC CD DE EF FA ====且.AB BC ⊥则在圆内随机取一点,则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是
16. 若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与三次函数3
y x =的图象恰
好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知2.tan sin a b
A B
= (1)求角A 的大小； (2)若2,a b =
=求ABC ∆的面积.
18.(本小题满分12分)
成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分,最低分20分).根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”,奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”,奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为 “中”,奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分
频率分布直方图如下图：
(1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打分检查得分的中位数；
(2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“优”、“良”、
“中”、“差”的班级中抽取10个班级,再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核,记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为X ,求X 的分布列与数学期望()E X .
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥M ABCD -中,2,2.,,3AB AM AD MB MD AB AD =====⊥ (1)证明：AB ⊥平面ADM ； (2)若//CD AB 且2
3
CD AB =
,E 为线段BM 上一点,且2BE EM =,求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值.
20.(本小题满分12分)
已知函数22
e (),(e,).ln x x
f x x x x
++=
∈+∞ (1)证明：当(e,)x ∈+∞时,3e
ln e
x x x ->
+； (2)若存在*
0[,1)()x n n n N ∈+∈使得对任意的(e,)x ∈+∞都有0()()f x f x ≥成立. 求n 的值.(其中e 2.71828=是自然对数的底数).
21.(本小题满分12分)
已知点P 是抛物线2
1:2
C y x =上的一点,其焦点为点,F 且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆:O 22
1x y +=于不同的两点,A B .
(1)若点(2,2),P 求||AB 的值；
(2)设点M 为弦AB 的中点,焦点F 关于圆心O 的对称点为,F '求||F M '的取值范围.
请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为233x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数,0πα≤≤).
在以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线l 的极坐标方程是π
6
θ=.
(1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)若射线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求||||OA OB ⋅的值.
23.(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲
已知0,0,a b >>且24,a b +=函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为.m (1)求m 的值；
(2)若2
2
a m
b tab +≥恒成立,求实数t 的最大值.
参考答案及评分意见
第Ⅰ卷 (选择题,共60分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.B ；
2.A ；
3.C ；
4.D ；
5.A ；
6.A ；
7.B ；
8.C ；
9.D ； 10.B ； 11.C ； 12.A.
第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.8； 14.15；
； 16.3
e (1,e ).
三、解答题(共70分)
17. 解：(1)由正弦定理知
sin sin a b A B =,又2,tan sin a b A B =所以2.sin tan a a
A A
=
于是1cos ,2A =因为0π,A <<所以π
.3
A =
6分
(2)
因为π
2,,3
a b A ===
22
π222cos ,3
c c =+-⨯⨯即2230.c c --=又0,c >所以 3.c =
故ABC ∆
的面积为11πsin 23sin 223bc A =⨯⨯⨯=
12分
18.解：(1)得分[20,40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40,60)的频率为0.010200.2⨯=； 得分[80,100]的频率为0.015200.3⨯=；
所以得分[60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4.-++=
设班级得分的中位数为x 分,于是60
0.10.20.40.520
x -++
⨯=,解得70.x = 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分.
5分 (2)由(1)知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3,0.4,0.2,0.1.又班级总数为40.于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12,16,8,4．
分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3,4,2,1. 由题意可得X 的所有可能取值为1,2,3,4,5,6.
211
21441010111111132422
112021
1(1),(2),(3,145945)C C C C C C P X P X P C C C X C C C +=======+== 24321111231010213042
24(4),(5),(6)41
151515.C C C C P X P X P X C C C C C ========+=
9分 所以X
459451512(
)123456515.455
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==
所以X 的数学期望19
().5
E X = 12分 19.解：(1)因为2AB AM ==,MB =所以222
.AM AB MB +=于是.AB AM ⊥
又,AB AD ⊥且,AM AD A AM =⊂平面,ADM AD ⊂平面ADM ,
所以AB ⊥平面.ADM
5分
(2)因为2,23AM AD MD ===所以120.MAD ∠=︒如图所示,在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ,又由(1)知AB ⊥平面ADM ,于是分别以,AM AB 所在直线为,y z 轴建 立空间直角坐标系.A xyz -
于是4(3,1,0),(3,1,),(0,0,2),(0,2,0).3D C B M --
因为2BE EM =,于是42
(0,,).33
E 所以
72
(3,,),(0,2,2),(3,1,2).33
EC BM BD =-=-=--
设平面BDM 的法向量为,n 于是0
0BM n BD n ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
即220
.320
y z x y z -=⎧⎪--=取1z =得(3,1,1).n = 设直线EC 与平面BDM 所成角为θ,则4
13sin cos ,.54553
EC n EC n EC n
θ⋅==
=
=⨯ 所以直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为1
.5
12分
20.解：(1)令3e ()ln ,(e,).e x g x x x x -=-∈+∞+则2
22
14e (e)()0.(e)(e)x g x x x x x -'=-=>++
于是()g x 在(e,)+∞单调递增,所以()(e)0,g x g >=
即3e
ln ,(e,).e
x
x x x ->∈+∞+ 5分 (2)22222222
(21)ln (e )(ln 1)(e )ln (e )
().(ln )(ln )x x x x x x x x x x f x x x x x +-+++--++'=
= 令2222
()(e )ln (e ),(e,).h x x x x x x =--++∈+∞当(e,)x ∈+∞时,由(1)知3e ln .e x x x ->
+
则222223e 4e 1()(e )
(e )2(4e 1)2(),e 2
x h x x x x x x x x x -+>--++=-+=-+ (i)当
4e 1
[,)2x +∈+∞时,于是()0h x
>,从而()0.f x '> 故()f x 在4e 1[,)2++∞严格单调递增.其中4e 1
5.936562+=
9分 (ii)当(e,5]x ∈时,
则2222222222
()(e )ln 5(e )2(e )(e )3e h x x x x x x x x x ≤--++<--++=-- 2203e 0.≤-<(用到了223e x x --在
(e,5]单调递增与2e 7>)
于是()0f x '<,故()f x 在(e,5]严格单调递减.
11分
综上所述,()f x 在(e,5]严格单调递减,在4e 1
[,)2
++∞严格单调递增. 因为4e 1
6,2
+<所以0[5,6).x ∈所以 5.n =
12分
21.解：设点00(,)P x y ,其中2001.2
y x =
因为,y x '=所以切线l 的斜率为0,x 于是切线2001:.2
l y x x x =-
(1)因为(2,2),P 于是切线:2 2.l y x =-故圆心O 到切线l
的距离为d =
于是||5AB ===
5分
(2)联立222
00
1
12
x y y x x x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得223
40001(1)10.4x x x x x +-+-= 设1122(,),(,),(,).A x y B x y M x y 则301220,1
x x x x +=+322
40
001()4(1)(1)0.4x x x ∆=--+-> 又2
00,x ≥
于是2
002x ≤<+
于是322
00120022
001,.22(1)22(1)
x x x x x y x x x x x +===-=-++ 又C 的焦点1(0,),
F 于是1
(0,
).F '-
故||F M
'===
9分
令20
1,t x =+
则13
t ≤<+于是||F M
'==
因为3
t t
+在单调递减,在+单调递增.
又当1t =时,1||2F M '=
；当t =时
,||F M '
=； 当3t =+时,11
||.
2
F M
'=
> 所以||F M '的取值范围为1
).
2
12分 22.解：(1)消去参数α得22
(2)3(0)x y y -+=≥将cos ,sin x y ρθρθ==代入得 22(cos 2)(sin )3,ρθρθ-+=即24cos 10.ρρθ-+=
所以曲线C 的极坐标方程为2
π4cos 10(0).
3ρρθθ-+=≤≤ 5分
(2)法1：将π
6
θ=代入2
π4cos 10(0)3ρρθθ-+=≤≤得210ρ-+=,
设12ππ(,),(,),66
A B ρρ则12 1.ρρ=于是12|||| 1.OA OB ρρ⋅==
10分
法2：π3θ=
与曲线C 相切于点,M π
||2sin 1,3
OM == 由切割线定理知2
|||||| 1.OA OB OM ⋅==
10分
23.解：(1)3, (,),2()2, [,],23, (,).a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧
--+∈-∞-⎪⎪
⎪
=++-=++∈-⎨⎪
+-∈+∞⎪⎪⎩
.
当(,)2a
x ∈-∞-时,函数()f x 单调递减；当(,)x b ∈+∞时,函数()f x 单调递增.
所以m 只能在[,]2a b -上取到.当[,]2a
x b ∈-时,函数()f x 单调递增.
所以2() 2.222a a a b
m f a b +=-=-++=
=
5分
(2)因为22
a m
b tab +≥恒成立,且0,0a b >>,
所以22a mb t ab +≤恒成立即min
a b mb t a ⎛⎫
≤+ ⎪⎝⎭.
由(1)知2m =,
于是a b a mb +≥== 当且仅当
2a
a
b =
时等号成立即1)0,2(20.a b =>=> 所以t ≤,故实数t 的最大值为
10分。