北师大版七年级数学下册第4章《变量之间的关系》单元测试试卷及答案(3)-新

北师大版七年级数学下册第4章《变量之间的关系》单元测试试
卷及答案（3）
（本检测题满分：100分 时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.(2012•海南中考)一个三角形的两边长分别为 3 cm 和7 cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3 cm B.4 cm C ．7 cm D ．11 cm
2.
如图所示，分别表示△ABC
的三边长，则下面与△一定全等的三角形是（ ）
A B
C D
3.如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ） A.△ACE ≌△BCD B.△BGC ≌△AFC C.△DCG ≌△ECF D.△ADB ≌△CEA
4.已知两个直角三角形全等，其中一个直角三角形的面积为3，斜边为4，则另一个直角三角形斜边上的高为（ ）
A. B. C. D.6
5.已知一个三角形三边长分别是4，9，12，作最长边上的高，作出的图形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. （2013•陕西中考）如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，若连接AC 、BD 相交于点O ，则图中全等三角形共有（ ）
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
7.已知：如图所示，AC =CD ，∠B =∠E =90°，AC ⊥CD ，则不正确的结论是（ ） A ．∠A 与∠D 互为余角 B ．∠A =∠2
第7题图
第2题图
第3题图
C ．△ABC ≌△CE
D D ．∠1=∠2
8.如图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD ）关于BD 所在的直线对称，AC 与BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列判断不正确的是（ ） A ．△ABD ≌△CBD
B ．△AB
C ≌△ADC
C ．△AOB ≌△COB
D ．△AOD ≌△COD
9.如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC 、∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于O 点，且BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于点E ．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD ≌△CBE ；②△BAD ≌
△BCD ；③△BDA ≌△CEA ；④△BOE ≌△COD ；⑤△ACE ≌△BCE ，上述结论一定正确的是（ ） A.①②③ B.②③④ C.①③⑤ D.①③④
10.如图所示，两个全等的等边三角形的边长为1 m ，一个微型机器人由A 点开始按ABCDBEA 的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2 010 m 停下，则这个微型机器人停在（ ） A ．点A 处
B ．点B 处
C ．点C 处
D ．点
E 处
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.（2012•哈尔滨中考）一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是 . 12.如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ．则下面结论中①DA 平分∠EDF ；②AE =AF ，DE =DF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有： .
第12题图
A
B
C
D E F 第13题图
A
E
B
D
C
13.如图，点E 是CD 上的一点，Rt △ACD ≌Rt △EBC ，则下结论：①AC =BC ，②AD ∥BE ，③ ∠ACB =90°，④AD +DE =BE ，成立的有 个．
14.如图所示，点A 、B 分别在∠COD 的边上，AD 与BC 相交于点E ，若△OAD ≌△OBC ， ∠O =65°，∠C =20°，则∠OAD = .
15.如图所示，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，∠1=25°，∠2=30°，则∠
3= .
16.如图所示，要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使BC =CD ，过D 作BF 的垂线DE ，与AC 的延长线交于点E ，若测得DE 的长为25 ，则河宽AB 为 . 17.如图所示，点B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BC =EF ，∠1 （填“是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，可以是 （只需写出一个） ．
第9题图
第15题图
第10题图
B A
C D
E
18.如图所示，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，若BC= 15 cm，则△DEB
的周长为 cm．
三、解答题（共46分）
19.（6分）如图所示，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）求∠AEO的度数．
20.（8分）如图，点F、B、E、C在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．
提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．
21.（6分）（2013•陕西中考）如图，∠AOB=90°，OA=OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC ⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．
求证：AC=OD．
22.（8分）认真阅读下面关于三角形内外角平分线的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+
1
2
A
∠，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴，
∴
1
12().
2
ABC ACB
∠
+∠=∠+∠
又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴
11
12(180)90.
22
A A
∠+∠=-∠=-∠
∴∠BOC=180°（∠1∠2）=180°（90°∠）=90
°
1
2
A
∠.
探究2：如图2，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
探究3：如图3，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？
第18题图
第22题图
图3
图2E
A
B
C
O D
A
B
图1
C
A
B
23.（6分）如图所示，武汉有三个车站A 、B 、C 是三角形的三个顶点，一辆公共汽车从B 站前往到C 站．
（1）当汽车运动到点D 时，刚好BD =CD ，连接线段AD ，AD 这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC 中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
（2）汽车继续向前运动，当运动到点E 时，发现∠BAE =∠CAE ，那么AE 这条线段是什么线段呢？在△ABC 中，这样的线段又有几条呢？
（3）汽车继续向前运动，当运动到点F 时，发现∠AFB =∠AFC =90°，则AF 是什么线段？这样的线段在△ABC 中有几条？
E D 第23 题图
F C
B
A
第24题图
A
B
C
24.（6分） 如图，在△ABC 中，AB ⊥BC ，BE ⊥AC 于点E ，点F 在线段BE 上，∠1=∠2，点D 在线段EC 上，请你从以下两个条件中选择一个作为条件，证明△AFD ≌△AFB ． （1）DF ∥BC ； （2）BF =DF ．
25.（6分）已知一直角边和这条直角边的对角，求作直角三角形(用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)．
参考答案
1.C 解析：设第三边长为x ，则由三角形三边关系定理，得7-3＜x ＜7+3，即4＜x ＜10．
因此，本题的第三边应满足4＜x ＜10，把各项代入不等式符合的即为答案．3，4，11都不符合不等式4＜x ＜10，只有7符合不等式，故答案为7 cm ．故选C ．
2. B 解析：A.与△有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；
B.与△有两边及其夹角相等，二者全等；
C.与△有两边相等，但夹角不相等，二者不全等；
D.与△有两角相等，但夹边不对应相等，二者不全等．
故选B．
3. D 解析：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE（SAS），故A成立.
∵△BCD≌△ACE，∴∠DBC=∠CAE.
∵∠BCA=∠ECD=60°，∴∠ACD=60°.
在△BGC和△AFC中，∴△BGC≌△AFC，故B成立.
∵△BCD≌△ACE（ASA），∴∠CDB=∠CEA，
在△DCG和△ECF中，∴△DCG≌△ECF（ASA），
故C成立.故选D．
4. C 解析：设面积为3的直角三角形斜边上的高为h，则×4h=3，∴h=.
∵两个直角三角形全等，∴另一个直角三角形斜边上的高也为．故选C．
5.C 解析：∵ 42+92=97＜122，∴三角形为钝角三角形，∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作最长边的垂线，垂足在最长边上．
故选C．
点评：本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部，当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部，当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部．
6.C 解析：∵在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，AC=AC,∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA.
∵在△ABO和△ADO中,AB＝AD,∠BAO＝∠DAO,AO＝AO,∴△ABO≌△ADO（SAS）.
∵在△BOC和△DOC中，BC＝DC，∠BCO＝∠DCO，CO＝CO，∴△BOC≌△DOC（SAS）.
7. D 解析：∵AC⊥CD，∴∠1+∠2=90°，故D选项错误．故选D．
∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∴∠A=∠2.
在△ABC和△CED中，
∴△ABC≌△CED，故B、C选项正确.
∵∠2+∠D=90°，
∴∠A+∠D=90°，故A选项正确.
8. B 解析：∵四边形ABCD关于BD所在直线对称，
∴△ABD≌△CBD，△AOB≌△COB，△AOD≌△COD，故A、C、D正确；
∵AB≠AD，∴△ABC和△ADC不全等，故B不正确．故选B．
9. D 解析：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE．
∴①△BCD≌△CBE（ASA）；
由①可得BD = CE, CD=BE.∵∠=∠ACE,BD=CE,AB=AC，∴③△BDA≌△CEA（SAS）；
又∠EOB=∠DOC，∠=∠DCO,BE=CD,∴④△BOE≌△COD（AAS）．故选D.
10.解析：∵两个全等的等边三角形的边长为1 m，
∴机器人由A点开始按ABCDBEA的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为6 m.
∵ 2 010÷6=335，即正好行走了335圈，回到出发点，
∴行走2 010 m停下，则这个微型机器人停在A点．
故选A．
11. 16或17 解析：（1）当等腰三角形的腰为5，底为6时，周长为5+5+6=16．
（2）当等腰三角形的腰为6，底为5时，周长为5+6+6=17．
故这个等腰三角形的周长是16或17．
故答案为：16或17．
12.①②③④解析：∵在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，已知DE⊥AB，DF⊥AC，可证△ADE≌△ADF（AAS）.
故有∠EDA=∠FDA，AE=AF，DE=DF，①②正确；
AD是△ABC的角平分线，在AD上可任意设一点M，可证△BDM≌△CDM，∴BM=CM，∴AD上的点到B、C两点距离相等，③正确；
根据图形的对称性可知，图中共有3对全等三角形，④正确．故填①②③④．
13. 1 解析：∵ Rt△ACD≌Rt△EBC，∴AC=BE.
∵在Rt△BEC中，BE＜BC，∴AC＜BC，∴①错误；
∵∠CAD=∠CEB=∠BED=90°，∠D＜∠CAD，∴∠D≠∠BED，
∴AD和BE不平行，∴②错误；
∵ Rt△ACD≌Rt△EBC，∴∠ACD=∠CBE，∠D=∠BCE.
∵∠CAD=90°，∴∠ACD+∠D=90°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCE=90°，∴③正确；
∵ Rt△ACD≌Rt△EBC，∴AD=CE，CD=BC，CD=CE+DE=AD+DE=BC.
∵BE＜BC，∴AD+DE＞BE，∴④错误.
14.95°解析：∵△OAD≌△OBC，∴∠OAD=∠OBC．
∵∠OBC=180°-65°-20°=95°．∴∠OAD=95°．
15. 55°解析：∵∠BAC=∠1+∠CAD,∠DAE=∠CAE∠CAD,
又∵∠BAC=∠DAE,∴∠1=∠CAE.在△ABD与△ACE中，
又∵AB=AC，∠1=∠CAE.AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠2=∠ABD.
∵∠3=∠1+∠ABD=∠1+∠2，∠1=25°，∠2=30°，
∴∠3=55°．
16. 25 解析：在△ABC和△EDC中，∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝CD，∠ACB＝
∠ECD，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB=DE=25 ．
17.不是AC=FD 解析：根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角.故填：不是．
添加AC=FD或∠BAC=∠EDF后可分别根据SAS、AAS判定△ABC≌△DEF.
故答案为：AC=FD，答案不唯一．
18. 15 解析：因为CD平分∠ACB，∠A=90°，DE⊥BC，所以∠ACD=∠ECD，CD=CD，
∠DAC=∠DEC，所以△ADC≌△EDC，所以AD=DE，AC=EC，所以△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+AD+BE.又因为AB=AC，所以△DEB的周长=AB+BE=AC+BE=EC+BE=15（cm）. 19.（1）证明：在△AOB和△DOC中，∵∠B＝∠C，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，
∴△AOB≌△DOC（AAS）.
（2）解：∵△AOB≌△DOC，∴AO=DO.
∵E是AD的中点，∴OE⊥AD，∴∠AEO=90°.
20.解：不能；
选择条件：①AB=DE；
∵ BF =CE ，∴ BF +BE =CE +BE ，即EF =BC .
在△ABC 和△DFE 中，AB ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF ，EF ＝BC ，∴ △ABC ≌△DEF （SAS ）． 21. 证明：∵ ∠AOB =90°，∴ ∠AOC +∠BOD =90°.
∵ AC ⊥l ，BD ⊥l ，∴ ∠ACO =∠BDO =90°，∴ ∠A +∠AOC =90°，∴ ∠A =
∠BOD . 在△AOC 和△OBD 中，∠A ＝∠BOD ，∠ACO ＝∠ODB ＝90°，OA ＝OB ， ∴ △AOC ≌△OBD （AAS ），∴ AC =OD ． 22. 分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A 与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC 与∠A 的关系；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC 与∠OCB ，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 解：探究2结论：∠BOC =∠A ，
理由如下：
∵ BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACD 的平分线， ∴ ∠1=∠ABC ，∠2=∠ACD . 又∵ ∠ACD 是△ABC 的一外角， ∴ ∠ACD =∠A +∠ABC ，
∴ ∠2=（∠A +∠ABC ）=∠A +∠1. ∵ ∠2是△BOC 的外角，
∴ ∠BOC =∠2﹣∠1=∠A +∠1﹣∠1=∠A ；
探究3：∠OBC =（∠A +∠ACB ），∠OCB =（∠A +∠ABC ）， ∠BOC =180°﹣∠OBC ﹣∠OCB ，
=180°﹣（∠A +∠ACB ）﹣（∠A +∠ABC ）， =180°﹣∠A ﹣（∠A +∠ABC +∠ACB ）， 结论∠BOC =90°﹣∠A ．
23.
分析：（1）由于BD =CD ，则点
D 是BC 的中点，AD 是中线，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形；
（2）由于∠BAE =∠CAE ，所以AE 是三角形的角平分线； （3）由于∠AFB =∠AFC =90°，则AF 是三角形的高线． 解：（1）AD 是△ABC 中BC 边上的中线，三角形中有三条中线． 此时△ABD 与△ADC 的面积相等．
（2）AE 是△ABC 中∠BAC 的平分线，三角形中角平分线有三条． （3）AF 是△ABC 中BC 边上的高线，此三角形中有三条高线． 24. 解：添加条件：DF ∥BC .
证明：∵ DF ∥BC ，∴ ∠FDE =∠C .
∵ AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴ ∠ABF +∠EBC =∠C +∠EBC =90°， ∴ ∠ABF =∠C ，∴ ∠ABF =∠ADF .
又∵ ∠1=∠2，AF =AF ，∴ △AFD ≌△AFB （AAS ）． 25. 已知：线段和∠,如图（1）所示． 求作:Rt △
使α∠=∠︒=∠=A C a BC ,90,．
作法：（1）作∠的余角∠． （2）作∠MBN ＝∠．
（3）在射线BM 上截取BC ＝．
（4）过点作CA ⊥BM ，交BN 于点，如图（2）．
第22题答图
1
2
O
B
A
∴△ABC就是所求的直角三角形．
N
A
（1）（2）
第25题答图。