专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(一)_真题(含答案与解析)-交互

专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(一) (总分93, 做题时间90分钟)
一、填空题
1.
求下列函数的定义域.
．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:x＞0，y＞0．
2.
求下列函数的定义域.
u=ln(x2-y-1)．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:y＜x2-1
3.
求下列函数的定义域.
．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:x≥0，y≥1，x2+1≥y．
4.
求下列函数的定义域.
．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:r2＜x2+y2≤R2．
5.
设，则=______．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
6.
设，则=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:-2，先求出f(x，y)=x-
7.
设，则=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
8.
设，则=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:-e．
9.
设函数，则=______，=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
10.
设函数，则=______．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
11.
函数z=ln(1+x2-y2)的全微分dz=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
12.
函数z=x2-2xy+y2的全微分=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:-2dx+2dy
13.
=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
14.
若积分区域D是由x=0，x=1，y=0，y=1围成的矩形区域，则=______ SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
15.
交换二次积分次序=______．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
16.
设区域D={(x，y)|x2+y2≤4}，则=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:π
17.
平面上一块半径为2的圆形薄板，其密度函数为1，则这块薄板的质量为______．
SSS_FILL
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:4π．
二、解答题
求下列各函数对x，y的偏导数：
SSS_TEXT_QUSTI
1.
z=e x2+y；
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
2xe x2+y，e x2+y；
SSS_TEXT_QUSTI
2.
；
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
；
SSS_TEXT_QUSTI
3.
z=ln(ln x+ln y)；
该题您未回答:х该问题分值: 1答案:
；
SSS_TEXT_QUSTI
4.
；
该题您未回答:х该问题分值: 1答案:
；
SSS_TEXT_QUSTI
5.
z=sin(x+2y)+2xy；
该题您未回答:х该问题分值: 1答案:
cos(x+2y)+2y，2cos(x+2y)+2x；
SSS_TEXT_QUSTI
6.
z=(xy)μ(其中μ为非零常数)．
该题您未回答:х该问题分值: 1答案:
μy(xy)μ-1，μx(xy)μ-1．
求下列函数的二阶偏导数：
SSS_TEXT_QUSTI
7.
z=sin xy；
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
．
SSS_TEXT_QUSTI
8.
z=ln(x2+xy+y2)．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
9.
设函数z=ln(1-x+y)+x2y，求．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
10.
设z=x2y-xy2，x=ucos v，y＝usinv，求．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
=(2xy-y2)cos v+(x2-2xy)sin v＝3u2sin vcos v(cos v-sin v)．同样地，有．SSS_TEXT_QUSTI
11.
设z＝arctan xy，y=e x，求．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
．(注意：在本题中，不同于．)
SSS_TEXT_QUSTI
12.
设，x=u-2v，y=2u+v，求．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
13.
设z=(2x+y)(2x+y)，求．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
14.
设z=f(x2+y2，e xy)，其中f(u，v)有连续偏导数，求．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
设z=f(u，v)，u=x2+y2，v=e xy，则由复合函数求偏导法则得
SSS_TEXT_QUSTI
15.
设，其中φ有连续偏导数，证明．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
因为，其中φ有连续偏导数，令u=xy，所以有，，将之代入即可证得．
求下列各式确定的隐函数y=f(x)的导数：
SSS_TEXT_QUSTI
16.
cos y-e x+2xy=0；
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
17.
．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
求下列各式确定的隐函数z=f(x，y)的偏导数：
SSS_TEXT_QUSTI
18.
x2+y2+z2-3xyz=0；
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
19.
．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
20.
设z=arctan(xy)+2x2+y，求dz．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
求下列各函数的全微分dz：
SSS_TEXT_QUSTI
21.
；
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
22.
z=ln(3x-2y+3)；
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
；
SSS_TEXT_QUSTI
23.
z=e xy(x2+y2)；
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
令u=xy，v=x2+y2，dz=e xy(x2+y2)[(3x2y+y3)dx+(3y2x+x3)dy]；
SSS_TEXT_QUSTI
24.
z=arctan xy；
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
25.
z=xe-xy+sin(xy)；
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
dz=[e-xy(1-xy)+ycos(xy)]dx+[-x2e-xy+xcos(xy)]dy；
SSS_TEXT_QUSTI
26.
z=sin(x+y)-x2+y2．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
dz=[cos(x+y)-2z]dx+[cos(x+y)+2y]dy．
SSS_TEXT_QUSTI
27.
设，求
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
28.
设z=f(2x+3y，e xy)，其中f(u，v)有连续偏导数，求dz．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
今u=2x+3y，υ＝e xy，
SSS_TEXT_QUSTI
29.
设z=z(x，y)是由方程yz+x2+z=0确定，求dz．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
设
SSS_TEXT_QUSTI
30.
设z=f(x，y)，由方程x2+y2+z2-4z=0确定，求在点(1，-)；(，0)；(0，)处的全微分．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
，
(1)当x=1，时，由原方程得z=1或z=3．
①当z=1时，
②当z=3时，
(2)当，y=0时，由原方程得z=1或z=3．
①当z=1时，
②当z=3时，
(3)当x=0，时，由原方程得z=1或z=3．
①当z=1时，
②当z=3时，
SSS_TEXT_QUSTI
31.
设z=f(x，y)由方程cos2x+cos2y=1+cos2z所确定，求dz．
该题您未回答:х该问题分值: 1
答案:
令F(x，y，z)=cos2x+cos2y-cos2z-1，
．
求下列函数的极值与极值点．
SSS_TEXT_QUSTI
32.
f(x，y)=4x+2y-x2-y2；
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
极大值点为(2，1)，极大值f(2，1)=5；
SSS_TEXT_QUSTI
33.
f(x，y)=e2x(x+y2+2y)；
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
极小值点为(，-1)，极小值；
SSS_TEXT_QUSTI
34.
f(x，y)=y3-x2+6x-12y+5．
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
极大值点为(3，-2)，极大值f(3，-2)=30．
求下列条件极值．
SSS_TEXT_QUSTI
35.
做一个体积为V的无盖的圆柱形桶，试问当桶的高和底面半径各是多少时，可使圆桶所用的材料最省．
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
设圆桶的高为h，底面半径为r，则桶的表面积为S=πr2+2πrh，体积
V=πr2h，要求所用的材料最省，就是求表面积的最小值，且满足V=πr2h．构造拉格朗日函数
F(r,h,λ)=πr2+2πrh+λ(πr2h-V)
可解得．
SSS_TEXT_QUSTI
36.
设生产某种产品的数量Q与所用两种原料A，B的数量x，y间有关系式
Q=Q(x，y)=0.005x2y，欲用150元购买原料，已知A，B原料的单价分别为1元，2元，问购进两种原料各多少时，可使生产的产品数量最多?
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
设购买两种原料分别为x，y，则问题化为条件极值问题：求Q=0.005x2y在条件x+2y=150下的条件极值．可解得x=100，y=25．
SSS_TEXT_QUSTI
37.
计算二重积分，其中D是由直线y=-1，y=1，x=1及x=2围成的平面区域．
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
3
SSS_TEXT_QUSTI
38.
计算二重积分，其中D是由曲线y=x2及y=x所围成的平面区域．
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
．
或．
SSS_TEXT_QUSTI
39.
，其中D是由直线y=x，y=1及y轴所围成的平面区域．
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
．
或
SSS_TEXT_QUSTI
40.
，其中D是由直线x=2，y=x及双曲线xy=1所围成的平面区域．
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
41.
，其中D是由直线y=0，，x=2所围成的平面区域．
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
42.
，其中D是由直线y=x，y=2x，x=2，x=4所围成的平面区域．
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
43.
求，其中D是由直线y=x，y轴，y=1所围成的平面区域．
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
说明如果将此题化为先对y积分后对x积分，其计算量较大．
SSS_TEXT_QUSTI
44.
将二重积分化为二次积分，其中D是由直线x+y=1，x-y=1，x=0所围成的平面区域．
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
或
交换下列二次积分次序．
SSS_TEXT_QUSTI
45.
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
46.
(a＞0为常数)
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
47.
计算二重积分
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
试将下列直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分
SSS_TEXT_QUSTI
48.
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
49.
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
说明首先根据给定的二次积分先画出积分区域，再将积分区域用极坐标表示出来．(1)的积分区域是半径为R，圆心为(R，0)的x轴上方的半圆，用极坐标表示为0≤θ≤，0≤r≤2Rcosθ；(2)的积分区域是以原点为圆心半径为R 的在第一象限内的圆．
计算下列二重积分：
SSS_TEXT_QUSTI
50.
，其中D为x2+y2≤a2，x≥0，y≥0所围成的区域；
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
51.
，其中D为x2+y2≤1，x≥0所围成的区域；
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
52.
，其中D为x2+y2≤4，x2+y2≥1，y≤x，y≥0所围成的区域；
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
53.
，其中D为由x2+y2≤R2，x≥0，y≥0所围成的区域；
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
积分区域D的极坐标表达式为0≤θ≤，0≤r≤R，于是
；
SSS_TEXT_QUSTI
54.
，其中D为以x2+y2=2x为边界的上半圆域．
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
55.
利用重积分求由平面和三个坐标平面所围成的立体的体积(其中a＞0，b＞0，c＞0)．
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
由二重积分的几何意义知，，其中积分区域为x轴、y轴以及直线所围成的平面区域，于是
SSS_TEXT_QUSTI
56.
利用二重积分求由曲线y=x2与y2=x所围成的面积．
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
由二重积分的性质3知，其中积分区域为曲线y=x2与y2=x所围成的平面图形，于是．
SSS_TEXT_QUSTI
57.
求由柱面x2+y2=a2，z=0及平面x+y+z=a所围成的立体的体积．
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
由二重积分的几何意义知．
其中D：x2+y2≤a2，利用极坐标系可得
SSS_TEXT_QUSTI
58.
设有平面三角形薄片，其边界线可由方程x=0，y=x及y=1表示，薄片上的点(x，y)处的密度ρ(x，y)=x2+y2，求该三角形薄片的质量．
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
SSS_TEXT_QUSTI
59.
设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离，求该薄片的质量．
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
先求密度函数为μ(x，y)=，于是有
SSS_TEXT_QUSTI
60.
设f(x)在[0，1]上连续，证明
该题您未回答:х该问题分值: 1.5
答案:
求证由可知积分区域为曲线y=x2，y=1，y轴所围成的平面区域，交换积分次序得
SSS_TEXT_QUSTI
61.
，其中D为x2+(y-1)2≤1与x+y≤2所围成的区域．(提示：此题应在直角坐标系下求，先对x积分，积分区域要分块．)
该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:
在直角坐标系下求二重积分，先对x积分．1。