人教B版高中数学必修五第二章单元检测(B).docx

第二章 数 列(B) (时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在等差数列{a n }中，a 3＝2，则{a n }的前5项和为( ) A ．6 B ．10 C ．16 D ．32
2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 4．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1 D ．a 5＝1
5．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝5
4
，则数列{a n }的通项公式为( )
A ．a n ＝24－n
B ．a n ＝2n －4
C ．a n ＝2n －3
D ．a n ＝23－
n
6．已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( )
A ．8
B ．12
C ．16
D ．24
7．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 10－1
2
a 12的值为( )
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13 8．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中
项为5
4
，则S 5等于( )
A ．35
B ．33
C ．31
D ．29
9．已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和．若S 16>0，且S 17<0，则当S n 最大时n 的值为( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．16
10．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为1
2
的等比数列，则|m
－n |等于( )
A ．1 B.3
2
C.52
D.92 11．将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组：{2,4}，{6,8,10,12}，{14,16,18,20,22,24}，….则2 010位于第( )组． A ．30 B ．31 C ．32 D ．33
12．a 1，a 2，a 3，a 4是各项不为零的等差数列且公差d ≠0，若将此数列删去某一项得到
的数列(按原来的顺序)是等比数列，则a 1
d
的值为( )
A ．－4或1
B ．1
C ．4
D ．4或－1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝－1，公和为1，那么这个数列的前2 011项和S 2 011＝________.
14．等差数列{a n }中，a 10<0，且a 11>|a 10|，S n 为数列{a n }的前n 项和，则使S n >0的n 的最小值为__________．
15．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为________．(lg 2≈0.301 0)
16．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则它的通项公式是________________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13
)n ＋
1(n ∈N ＋)．
(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；
(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．
18．(12分)已知点(1,2)是函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象上一点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )－1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝log a a n ＋1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .
19．(12分)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知13S 3，14S 4的等比中项为15S 5；13S 3，1
4
S 4
的等差中项为1，求数列{a n }的通项公式．
20．(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －2n (n －1)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)设数列{1a n a n ＋1
}的前n 项和为T n ，求证：15≤T n <1
4.
21．(12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1＝3，a 2＋b 2＝8，T 3－S 3＝15. (1)求{a n }，{b n }的通项公式；
(2)若数列{c n }满足a 1c n ＋a 2c n －1＋…＋a n －1c 2＋a n c 1＝2n ＋
1－n －2对任意n ∈N ＋都成立，求证：数列{c n }是等比数列．
22．(12分)甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不
同，甲超市前n 年的总销售额为a
2
(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售
额多a ⎝⎛⎭⎫23n －1
万元．
(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？
第二章 数 列(B)
答案
1．B [S 5＝
a 1＋a 5
2
＝5a 3＝10.] 2．B [∵3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2.∴3(S 3－S 2)＝a 4－a 3，∴3a 3＝a 4－a 3. ∴a 4＝4a 3.∴q ＝4.]
3．C [当项数n 为偶数时，由S 偶－S 奇＝n
2d 知30－15＝5d ，∴d ＝3.]
4．B [T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)(a 2a 4)a 3＝a 53＝1.∴a 3＝1.] 5．A [q 3＝a 4＋a 6a 1＋a 3＝18
，∴q ＝1
2.
∵a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝54a 1＝10，∴a 1＝8.∴a n ＝a 1·q n －1＝8·(12)n －1＝24－
n .]
6．C [∵S 10＝6，S 5＝2，S 10＝3S 5.∴q ≠1.
∴⎩⎨⎧
S 5＝
a 11－q
51－q S
10＝
a 1
1－q
101－q
∴S 10
S 5
＝1＋q 5＝3，q 5＝2. ∴a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)q 15＝S 5·q 15＝2×23＝16.] 7．C [a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝(a 4＋a 12)＋(a 6＋a 10)＋a 8＝5a 8＝120，a 8＝24. ∴a 10－12a 12＝12(2a 10－a 12)＝12[2(a 1＋9d )－(a 1＋11d )]＝12(a 1＋7d )＝1
2a 8＝12.]
8．C [设公比为q (q ≠0)，则由a 2a 3＝2a 1知
a 1q 3＝2，∴a 4＝2. 又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝1
4.
∴a 1＝16，q ＝1
2
.
∴S 5＝
a 11－q 5
1－q
＝
16[1－
1
2
5
]
1－12
＝31.]
9．A [∵S 16＝a 1＋a 16
2
＝8(a 8＋a 9)>0，
∴a 8＋a 9>0. ∵S 17＝
a 1＋a 17
2
＝17a 9<0.
∴a 9<0，∴a 8>0.
故当n ＝8时，S n 最大．]
10．B [易知这四个根依次为：1
2，1,2,4.
不妨设1
2，4为x 2－mx ＋2＝0的根，
1,2为x 2－nx ＋2＝0的根． ∴m ＝12＋4＝9
2，n ＝1＋2＝3，
∴|m －n |＝|92－3|＝32
.]
11．C [∵前n 组偶数总的个数为：2＋4＋6＋…＋2n ＝＋2n n 2
＝n 2
＋n .
∴第n 组的最后一个偶数为2＋[(n 2＋n )－1]×2＝2n (n ＋1)．
令n ＝30，则2n (n ＋1)＝1 860； 令n ＝31，则2n (n ＋1)＝1 984； 令n ＝32，则2n (n ＋1)＝2 112. ∴2 010位于第32组．]
12．A [若删去a 1，则a 2a 4＝a 23，
即(a 1＋d )(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2，化简，得d ＝0，不合题意； 若删去a 2，则a 1a 4＝a 23， 即a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2，化简，得a 1
d ＝－4；
若删去a 3，则a 1a 4＝a 22，
即a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋d )2，化简，得a 1
d
＝1；
若删去a 4，则a 1a 3＝a 22，
即a 1(a 1＋2d )＝(a 1＋d )2，化简，得d ＝0，不合题意．故选A.] 13．1 004
解析 a 1＝－1，a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝2，…，
∴a 2 011＝－1，∴S 2 011＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2 009＋a 2 010)＋a 2 011＝1 005×1＋(－1)＝1 004. 14．20
解析 ∵S 19＝a 1＋a 19
2
＝19a 10<0；
S 20＝
a 1＋a 20
2
＝10(a 10＋a 11)>0.
∴当n ≤19时，S n <0；当n ≥20时，S n >0. 故使S n >0的n 的最小值是20. 15．14
解析 设原杂质数为1，各次过滤杂质数成等比数列，且a 1＝1，公比q ＝1－20%， ∴a n ＋1＝(1－20%)n ，由题意可知： (1－20%)n <5%，即0.8n <0.05. 两边取对数得n lg 0.8<lg 0.05， ∵lg 0.8<0，∴n >lg 0.05
lg 0.8
，
即n >lg 5－2lg 8－1＝1－lg 2－23lg 2－1＝－lg 2－13lg 2－1≈－0.301 0－13×0.301 0－1
≈13.41，取n ＝14.
16．a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2 n
＝6n －
n
解析 当n ＝1时，
a 1＝S 1＝3－2＋1＝2. 当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5. 则当n ＝1时，6×1－5＝1≠a 1，
∴a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2 n
＝6n －
n
.
17．解 (1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13)n ＋
1(n ∈N ＋)，
又a 1＝13，故a n ＝(1
3)n (n ∈N ＋)．
从而S n ＝
13×[1－13
n
]
1－
13
＝12[1－(1
3
)n ](n ∈N ＋)． (2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝13
27
.
从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列得 13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋4
9
)t ，解得t ＝2. 18．解 (1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x 得a ＝2， 所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝f (n )－1＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －
1，
对n ＝1时也适合，∴a n ＝2n －
1.
(2)由a ＝2，b n ＝log a a n ＋1得b n ＝n ，
所以a n b n ＝n ·2n －
1.
T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －
1，①
2T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －
1＋n ·2n .②
由①－②得：－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －
1－n ·2n ， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1.
19．解 设等差数列{a n }的首项a 1＝a ，公差为d ，则S n ＝na ＋n
n －2
d ，依题意，
有
⎩⎨⎧
13⎝
⎛
⎭⎫3a ＋3×22d ×14⎝⎛⎭⎫4a ＋4×32d ＝125⎝⎛⎭⎫5a ＋5×42d
2，13⎝⎛⎭⎫3a ＋3×22d ＋14⎝⎛⎭⎫
4a ＋4×32d ＝1×2，
整理得⎩⎪⎨⎪
⎧
3ad ＋5d 2
＝0，2a ＋5
2d ＝2， ∴a ＝1，d ＝0或a ＝4，d ＝－12
5.
∴a n ＝1或a n ＝325－12
5
n ，
经检验，a n ＝1和a n ＝325－12
5
n 均合题意．
∴所求等差数列的通项公式为a n ＝1或a n ＝325－12
5n .
20．解 (1)由S n ＝na n －2n (n －1)得 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －4n ， 即a n ＋1－a n ＝4.
∴数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴a n ＝4n －3.
(2)T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1
a n a n ＋1
＝
11×5＋15×9＋19×13＋…＋1
4n －
n ＋
＝14(1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n －3－14n ＋1) ＝14(1－14n ＋1)<14. 又易知T n 单调递增， 故T n ≥T 1＝15，得15≤T n <14
.
21．(1)解 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q (q >0)．
由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
d ＋3q ＝7，
q ＋q 2
－d ＝5，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
d ＝1，q ＝2.∴a n ＝n .b n ＝3×2n －
1.
(2)证明 由c n ＋2c n －1＋…＋(n －1)c 2＋nc 1＝2n ＋
1－n －2，
知c n －1＋2c n －2＋…＋(n －2)c 2＋(n －1)c 1＝2n －(n －1)－2(n ≥2)．
两式相减：c n ＋c n －1＋…＋c 2＋c 1＝2n －1(n ≥2)，
∴c n －1＋c n －2＋…＋c 2＋c 1＝2n －
1－1(n ≥3)，
∴c n ＝2n －
1(n ≥3)．
当n ＝1,2时，c 1＝1，c 2＝2，适合上式．
∴c n ＝2n －
1(n ∈N ＋)，即{c n }是等比数列．
22．解 (1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n . 则有：a 1＝a ，n ≥2时：
a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a
2
[(n －1)2－(n －1)＋2]＝(n －1)a .
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a ， n ＝1，n －a ， n ≥2.
b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝a ＋a ⎝⎛⎭⎫23＋a ⎝⎛⎭⎫232＋…＋a ⎝⎛⎭
⎫23n －1 ＝⎣⎡⎦
⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a ，(n ∈N ＋)． (2)易知b n <3a ，所以乙超市将被甲超市收购， 由b n <12a n 得：⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a <12(n －1)a . ∴n ＋4⎝⎛⎭⎫23n －1
>7，∴n ≥7.
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。