2022年人教版中考数学考点复习第四章提分小专题四-相似模型
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1.点P在线段AB上（同侧型）
2.点P在线段AB的延长线上（异侧型）
提示：有边相等证全等，无边相等证相似.
典例精讲
5.（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B
=90°，求证：AD·BC=AP·BP.
解：（1）∵∠DPC =∠A =∠B=90°，
∴∠ADP +∠APD=90°，∠BPC +∠APD=90°.
∴∠DPC +∠BPC =∠A +∠ADP.
∵∠DPC =∠A =∠B =α，
∴∠ADP =∠BPC，
∴△ADP∽△BPC ，
∴
=
.∴AD·BC
= AP·BP.
（3）如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度
的速度，由点A出发，沿边AB向B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的
运动时间为t秒，当DC=4BC时，求t的值.
解：（3）∵DC =4BC，AD = BD=5，
∴DC=4，BC=1.
∵∠DPC =∠A，AD = BD，
∴∠A =∠B，
由（2）知△ADP∽△BPC，
∴AD·BC = AP·BP.
∴5×1=t（6-t）.
解得t1=1，t2=5.
∴t的值为1或5.
∴∠ADP =∠BPC.∴△ADP∽△BPC ，
∴
=
.∴AD·BC=AP·BP.
（2）如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B =α
时，（1）中结论是否还成立？说明理由.
解：（2）结论AD·BC=AP·BP依然成立.
理由如下：
∵∠BPD=∠DPC +∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，
（2）如图2，点Q是AE边上一点，若∠BQE =∠ABE，则BQ的长为 .
3. 如图，▱ABCD的边长AD=3，AB=2，∠BAD=120°，E为AB的中点，F
在边BC上，且 BF=2FC.AF与DE交于点G，则AG的长为
解析：分别延长DE，CB交于点H，
易证△ADE≌△BHE（如图析1），
典例精讲
1.（教材改编）如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=8cm，BC=7.2cm，已
知点D从点A出发以1cm/s的速度向终点B运动，点E从点C出发以1.5cm/s
的速度向终点A运动，且D，E两点同时出发，谁先到达终点，运动即都
停止，运动时间为t秒.（1）如图1，在运动过程中，是否存在某一时刻，
则BH=AD=3，
∵BF=2FC，∴BF=2=AB，
又∵∠BAD =120°，∴∠ABC=60°，
∴△ABF是等边三角形，则AF=2，
由AD∥BC易证△ADG∽△FHG（如图析2），
∴
=
=
，求得AG= .
.
提分训练
4. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BF与EC，ED
△
∴
△
=
=
=
.
=
=
，
（2）如图2，若∠AED =∠B，求出此时t的值及DE的长.
解：（2）由∠AED =∠B，∠A =∠A，
得△ADE∽△ACB，
∴
=
=
.∴
解得t=4.
∴
=
.
∴DE= BC=3.6cm
提分小专题四 相似模型
本节提分小专题复习思路：
本专题重点复习利用平行线分线段成比例、相似三角形的性质与判定、添加辅
助线构造相似基本模型 来解决中考试题中有关求线段长、线段比值等问题.
模型一“A”字型
模型特征：两个三角形若有“一个公共角 + 一对等角”，则出现“A”字型相似，
基本图形有以下三种.
提示：若题中未明确相似三角形的对应顶点，则需要分类讨论.
△
使得 = ？若存在，求出此时t及
的值；若不存在，请说明理由.
△
解:（1）存在. ∵运动时间为t秒，
பைடு நூலகம்
∴AD=t，AE=8-1.5t， 假设 = 成立，
则
−.
，解得t= （0<t≤4）.∴
=
∵∠A =∠A，∴△ADE∽△ABC.
分别交于点M，N，已知AB=4，BC=6，则MN的长为
点拨：如图析，过点E作AD的平行线，交BF于点P，
∵△EPM∽△CBM，∴MP= .
∵△EPN∽△DFN，∴NP= ，∴MN= .
.
模型三 “K”字型
模型特征：同一直线上出现三个相等的角，与87页“一线三等角”型相似.基本图
形有以下几种，其中最常考查的是“一线三垂直”.
=
−.
.
模型二 “8”字型
模型特征：两个三角形若有“一对对顶角 + 一对等角”，则出现“8”字型相似，
基本图形有以下两种：
典例精讲
2. 如图1，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=15，∠BAD的平分线交
BC于点E，交DC的延长线于点F， BG⊥AE于点G，BG=8.
（1）△CEF的周长为 16 .
2.点P在线段AB的延长线上（异侧型）
提示：有边相等证全等，无边相等证相似.
典例精讲
5.（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B
=90°，求证：AD·BC=AP·BP.
解：（1）∵∠DPC =∠A =∠B=90°，
∴∠ADP +∠APD=90°，∠BPC +∠APD=90°.
∴∠DPC +∠BPC =∠A +∠ADP.
∵∠DPC =∠A =∠B =α，
∴∠ADP =∠BPC，
∴△ADP∽△BPC ，
∴
=
.∴AD·BC
= AP·BP.
（3）如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度
的速度，由点A出发，沿边AB向B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的
运动时间为t秒，当DC=4BC时，求t的值.
解：（3）∵DC =4BC，AD = BD=5，
∴DC=4，BC=1.
∵∠DPC =∠A，AD = BD，
∴∠A =∠B，
由（2）知△ADP∽△BPC，
∴AD·BC = AP·BP.
∴5×1=t（6-t）.
解得t1=1，t2=5.
∴t的值为1或5.
∴∠ADP =∠BPC.∴△ADP∽△BPC ，
∴
=
.∴AD·BC=AP·BP.
（2）如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B =α
时，（1）中结论是否还成立？说明理由.
解：（2）结论AD·BC=AP·BP依然成立.
理由如下：
∵∠BPD=∠DPC +∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，
（2）如图2，点Q是AE边上一点，若∠BQE =∠ABE，则BQ的长为 .
3. 如图，▱ABCD的边长AD=3，AB=2，∠BAD=120°，E为AB的中点，F
在边BC上，且 BF=2FC.AF与DE交于点G，则AG的长为
解析：分别延长DE，CB交于点H，
易证△ADE≌△BHE（如图析1），
典例精讲
1.（教材改编）如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=8cm，BC=7.2cm，已
知点D从点A出发以1cm/s的速度向终点B运动，点E从点C出发以1.5cm/s
的速度向终点A运动，且D，E两点同时出发，谁先到达终点，运动即都
停止，运动时间为t秒.（1）如图1，在运动过程中，是否存在某一时刻，
则BH=AD=3，
∵BF=2FC，∴BF=2=AB，
又∵∠BAD =120°，∴∠ABC=60°，
∴△ABF是等边三角形，则AF=2，
由AD∥BC易证△ADG∽△FHG（如图析2），
∴
=
=
，求得AG= .
.
提分训练
4. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BF与EC，ED
△
∴
△
=
=
=
.
=
=
，
（2）如图2，若∠AED =∠B，求出此时t的值及DE的长.
解：（2）由∠AED =∠B，∠A =∠A，
得△ADE∽△ACB，
∴
=
=
.∴
解得t=4.
∴
=
.
∴DE= BC=3.6cm
提分小专题四 相似模型
本节提分小专题复习思路：
本专题重点复习利用平行线分线段成比例、相似三角形的性质与判定、添加辅
助线构造相似基本模型 来解决中考试题中有关求线段长、线段比值等问题.
模型一“A”字型
模型特征：两个三角形若有“一个公共角 + 一对等角”，则出现“A”字型相似，
基本图形有以下三种.
提示：若题中未明确相似三角形的对应顶点，则需要分类讨论.
△
使得 = ？若存在，求出此时t及
的值；若不存在，请说明理由.
△
解:（1）存在. ∵运动时间为t秒，
பைடு நூலகம்
∴AD=t，AE=8-1.5t， 假设 = 成立，
则
−.
，解得t= （0<t≤4）.∴
=
∵∠A =∠A，∴△ADE∽△ABC.
分别交于点M，N，已知AB=4，BC=6，则MN的长为
点拨：如图析，过点E作AD的平行线，交BF于点P，
∵△EPM∽△CBM，∴MP= .
∵△EPN∽△DFN，∴NP= ，∴MN= .
.
模型三 “K”字型
模型特征：同一直线上出现三个相等的角，与87页“一线三等角”型相似.基本图
形有以下几种，其中最常考查的是“一线三垂直”.
=
−.
.
模型二 “8”字型
模型特征：两个三角形若有“一对对顶角 + 一对等角”，则出现“8”字型相似，
基本图形有以下两种：
典例精讲
2. 如图1，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=15，∠BAD的平分线交
BC于点E，交DC的延长线于点F， BG⊥AE于点G，BG=8.
（1）△CEF的周长为 16 .