2022秋高中数学第一章空间向量与立体几何-空间向量基本定理课后提能训练新人教A版选择性必修第一册

第一章　1.2　
A级——基础过关练
1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )
A．2a B．2b
C．2a＋3b D．2a＋5c
【答案】D
【解析】由于{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c不共面，在四个选项中，只有2a＋5c与p，q不共面，因此，2a＋5c与p，q能构成一组基底．故选D．2．如图，设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则(x，y，z)为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由已知OG＝OG1＝(OA＋AG1)＝[OA＋(AB＋AC)]＝OA＋[(OB－OA)＋(OC－OA)]＝OA＋OB＋OC，从而x＝y＝z＝．
3．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝( ) A．－　B．－　
C．　D．
【答案】D
【解析】∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝52－6＝19．|a＋b|＝＝＝＝7，因此cos〈a，a＋b〉＝＝＝．
4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设AB＝a，AC＝b，AA1＝c，用a，b，c表示向量MN为( )
A．a＋b－c B．a＋b＋c
C．a－b＋c D．a＋b＋c
【答案】D
【解析】MN＝BN－BM＝BB1＋B1N－BM，因为BM＝2A1M，C1N＝2B1N，BB1＝AA1，所以MN＝AA1＋B1C1－BA1＝AA1＋BC－(AA1－AB)＝AA1＋(AC－AB)－(AA1－AB)＝AA1＋AC＋AB＝a＋b＋c．
5．已知{e1，e2，e3}为空间向量的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值为( )
A．α＝，β＝－1，γ＝－B．α＝－1，β＝，γ＝－
C．α＝－，β＝，γ＝－1D．α＝－1，β＝－，γ＝
【答案】A
【解析】由题意得a，b，c为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α，β，γ)，使得d＝αa＋βb＋γc，∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3．又∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴解得故选A．
6．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，G为BD上一点，BG＝2GD，PA＝a，PB＝b，PC＝c，用基底{a，b，c}表示向量PG＝( )
A．a－b＋c B．a＋b－c
C．－a＋b＋c D．a＋b＋c
【答案】A
【解析】PG＝PB＋BG＝PB＋BD＝PB＋(BA＋BC)＝PB＋(PA－PB＋PC－PB)＝PA －PB＋PC＝a－b＋c．故选A．
7．(多选)(2021年张家口期中)下列说法中正确的是( )
A．空间向量的一个基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3一定都是非零向量
B．在空间向量基本定理中，若a＝0，则λ1＝λ2＝λ3＝0
C．若单位向量e1，e2的夹角为，则e1在e2方向上的投影向量是－e2
D．空间的基底是唯一的
【答案】ABC
【解析】选项A，作为基底的向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此e1，e2，e3一定都是非零向量，故A正确；选项B，a＝0＝0·e1＋0·e2＋0·e3，由在同一基底下向量分解的唯一性，有λ1＝λ2＝λ3＝0，故B正确；选项C，e1在e2方向上的投影向量为e2＝－e2，故C正确；选项D，空间中任何不共面的三个向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D错误．故选ABC．
8．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取PQ＝a，PR ＝b，PS＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则GH＝________(用a，b，c表示)．
【答案】－a＋b＋c
【解析】GH＝PH－PG＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c．
9．已知在四面体ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF＝________．
【答案】3a＋3b－5c
【解析】取BC的中点G，连接EG，FG，则EF＝GF－GE＝CD－BA＝CD＋AB＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c．
10．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，M是PC的中点，问向量PA，MB，MD是否可以组成一个基底，并说明理由．
解：PA，MB，MD不可以组成一个基底．
理由如下：
如图，连接AC，BD相交于点O，连接OM．
因为ABCD是平行四边形，
所以O是AC，BD的中点．
在△BDM中，MO＝(MD＋MB)，
在△PAC中，M是PC的中点，O是AC的中点，
则MO＝PA，即PA＝MD＋MB，即PA与MD，MB共面．所以PA，MB，MD不可以组成一个基底．
B级——能力提升练
11．(多选)(2021年青岛月考)已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是( )
A．OM＝OA＋OB＋OC B．MA＝MB＋MC
C．OM＝OA＋OB＋OC D．6OM＝OA＋2OB＋3OC
【答案】AC
【解析】对于选项ACD，由OM＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)，可得M，A，B，C四点共面，即MA，MB，MC共面，所以选项A中，MA，MB，MC不共面，可以构成基底，选项C中，MA，MB，MC不共面，可以构成基底；选项D中，因为6OM ＝OA＋2OB＋3OC，所以OM＝OA＋OB＋OC，可得M，A，B，C四点共面，即MA，MB，MC共面，无法构成基底，故选项D错误；对于选项B，根据平面向量基本定理，因为MA＝MB＋MC，得MA，MB，MC共面，无法构成基底，故选项B错误．故选AC．
12．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c ＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12，14，10)B．(14，12，10)
C．(10，12，14)D．(12，10，14)
【答案】A
【解析】设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j ＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12，14，10)．故选A．
13．若{a，b，c}是空间向量的一个基底，且存在实数x，y，z使得x a＋y b＋z c＝0，则x，y，z满足的条件是________．
【答案】x＝y＝z＝0
【解析】若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0．
14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若向量AE在以{AA1，AB，AD}为单位正交基底下的坐标为(1，x，y)，则x＝________，y＝________．
【答案】　
【解析】AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(A1B1＋B1C1)＝AA1＋(AB＋AD)＝AA1＋AB＋AD．
15．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示D1B，EF；
(2)若D1F＝x a＋y b＋z c，求实数x，y，z的值．
解：(1)D1B＝D1D＋DB＝－AA1＋AB－AD＝a－b－c，
EF＝EA＋AF＝D1A＋AC
＝－(AA1＋AD)＋(AB＋AD)
＝(a－c)．
(2)D1F＝(D1D＋D1B)
＝D1D＋DB
＝A1A＋(AB－AD)
＝－AA1＋AB－AD
＝－c＋a－b，
所以x＝，y＝－，z＝－1．。