关于二阶欧拉方程的求解

（其中 # ! ， # " 为任意常数） ( 参考文献
［!］同济大学应用数学系 + 高等数学 （下册） （第五版） ］ ［ ,］ 高等教育出版社， + 北京： "))" + ［"］华中理工大学数学系 + 高等数学 （下册） ［,］ 高等教育出版社， + 北京： !--. + ［/］罗亚平， 陈仲 + 微分方程 ［,］ 南京大学出版社， + 南京： !-0. + ［1］复旦大学数学系 + 常微分方程 ［,］ 上海科学技术出版社， + 上海： !-0. + ［2］东北师范大学数学系微分方程教研室 + 常微分方程 ［,］ 高等教育出版社， + 北京： !-0" +
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（ $$）当 ! "， （#） 的共轭复特征根 # &! ’ $ " 是方程 时， 方程 （"） 的通解为 " # " ! $!$ " （ （ （ &［ ($) +,( "*) & ） ’ &） %& $ "*) & ） & "
定理r2为方程2的两个特征根i当r1r2是方程2的互不相等的实特征r1r21fxdx1coslnxfxdx1sinlnxfiii当r1r2是方程2的相等的实特征根证明i当r1r2是方程2的互不相等的实特征根时将方程1的通解6进行分部积分xdxdxr1r2xdxdxr1r21fxdx1fxdxr1r2ii当r1r1r2coslnxisinlnxcoslnxisinlnx将其代入7式整理可得方程1的通解为1coslnxfxdx1sinlnxf3r2所以由定理2c1xxecoslnx的通解
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摘要： 欧拉方程一般都是用 “变量代换” 法求解的， 但其过程一般都比较繁琐 + 直接用初等积分法给出了 求二阶欧拉方程的通解的一般公式， 此方法简单且适用范围广 + 关键词： 二阶欧拉方程；通解；简单求法 中图分类号： ,%(& + % 文献标识码： 文章编号： （!""#） %""%).#’& "*)"*#%)"#
若 !"， （ #） 的 两 个 特 征 根， !# 为 方 程
（ $）当 ! " ! ! # 是方程 （ #） 的互不相等的实特征 的通解为 根时， 方程 （"） " # " % !" $ !#
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# 结语
在定理 # 中， 若令 （ 则得到二阶齐次欧 ’ &） & 1， 拉方程 （#） 的通解 ! 推论 方程 （#） 的通解为
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万方数据
-0# 计算， 给出如下更加直接的结论 ! 定理 ! 则：
四川师范大学学报 （自然科学版）
#- 卷
（ $$$） 的证明和 （ $） 类似 （略） ! 例 " 求程 & # "+ $ # &", * # " # & 0 / & 的通解 ( 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方 特征根为 ! " # #， 所以 程为 ! # $ 0 ! * # # 1， ! # # "， 由定理 #， 原方程的通解为 " # &# & $ 0 &0 / & % & $ & & $ # &0 /& % & #
（ $$$）当 ! " & ! # 是方程 （ #） 的相等的实特征根 时， 方程 （"） 的通解为
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证明 （ $）当 ! " ! ! # 是方程 （#） 的互不相等的 实特征根时， 将方程 （ "） 的通解 （ -） 进行分部积分， 得
作了解） ， 而且只对欧拉方程作了简单介绍 + 比如， 对于二阶欧拉方程 ， （%） ! ! "# $ %!"& $ ’" ( （ ) !） （其中 % ， （ 为已知实函数） ， 包 ’ 为已知实常数， ) !）
［# * &］ 在内， 在对方程 （%） 求 括很多 《微分方程》 教材
解时都是通过 “变量代换” ! ( / 或 + ( 01 ! ， 将其转化为以 + 为自变量的常系数线性微分方程，
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定理 " 若 . % ， （!） 的两个特征根， 则 . ! 为方程 的通解为 方程 （%）
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证明
（!） 的两个特征根， 于 因为 . % ， . ! 为方程 !"& - . ! " ( / ，
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收稿日期： !""# $ "% $ %& 作者简介： 胡劲松 （%’(#)） ， 男， 讲师
.! / ， " ( ! ! 解之， 得方程 （%） 的通解为 "& % " ( !.! !.% - .! -［ ! - .% - %（ ) !） 3 !］ 3! ,
（#）
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由定理 % 知， 只需通过两不定积分 （当 （*） 式中 的积分可积时） 即可求得方程 （%） 的通解 + 为了方便
!""# 年 %% 月 第 !* 卷 第 * 期
四川师范大学学报 （自然科学版） （>8C6780 :<;/1</） 4567180 59 :;<=681 >57?80 @1;A/7B;CD
>5A+ ， !""# E50+ !*， >5+ *
关于二阶欧拉方程的求解
胡劲松
（西华大学 计算机科学与工程系，四川 成都 *%""#’）
是方程 （%） 等价于方程 （2） ， 令 代入方程 （2） 并整理， 得
（!） 和
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.% （ ) !） ， / ( ! !
" 相关定义
为了使方程 （ %） 降阶为一阶线性微分方程， 不 妨设 % ( % - . % - . ! ，’ ( . % . ! ， 则方程 （%） 变为 ， ! ! "# $（% - . % - . !） !"& $ . % . ! " ( （ ) !）
+
#
具体求解方法
进而求其解的 , 但其求解过程一般都比较繁琐， 且 还要受到方程 （%） 接来对二阶非 齐次欧 拉 方 程 （%）求 通 解， 此 方 法 简 单， 且不受 （ 所 以 适 用 范 围 较 广 , 而 且， 当 ) ! ）的 形 式 限 制， （ 此方法就是对二阶齐次欧拉方程 ) ! ）( " 时， ! "# $ %!"& $ ’" ( " 求通解 +
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（ $$） 当 ! "， （#） 的共轭复特征 # #!) $ " 是方程 再由欧拉公式有 根时， !" $ !# # # "$， $ $ *) & !* " !/" &!" # & # & # ! （ （ ］ ， &［ +,( "*) & ）* $($) "*) & ）
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$ $ *) & !$ " !/ $ " &!# # & # & # ! （ （ ］ &［ +,( ( "*) & ）$ $($) "*) & ） 将其代入 （.） 式， 整理可得方程 （"） 的通解为
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! 引言
众所周知， 变系数的线性微分方程 （除了一阶 的以外） ， 一般来说都是不容易求解的 + 所以 很 多
［%， !］ 都将这一内容作为选讲 （或只 《高等数学》 教材
即 （ !"& - . ! " ） ， （2） ! & - .（ ) !） % !"& - . ! " ）( （ 根据韦达定理， 由 （#） 式可知 . % ， . ! 是一元二次代数 方程 . ! $（ % - %） . $ ’ ( " 的两个根 + 定义 " 以 . 为未知数的一元二次代数方程 称为二阶齐次欧拉方程 （!） 的特征方程 , 其特征 （&） 方程 （&） 的二根 . % 和 . ! 称为方程 （!） 的特征根 , （&）
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第D期
胡劲松：关于二阶欧拉方程的求解
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% % #! $ ! & #" $ " ， （% （"） 的不等的实特征根） ! ! % " 是方程 !#$% ! （ &’ $ ） #! $ （ ， "&’ $ ）& #" $ %(’ " ! " （"） 的共轭复特征根） !’ ( （ " 是方程 % % # $ ! & # $ ! &’ $ ， " ! （ % ! " % " 是方程 （"） 的相等的实特征根）