重庆重庆市第八中学校立体几何多选题试题含答案

重庆重庆市第八中学校立体几何多选题试题含答案
一、立体几何多选题
1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AA ===，90ACB ∠=︒，D ，E ，F
分别为AC ，1AA ，AB 的中点．则下列结论正确的是（ ）
A ．1AC 与EF 相交
B ．11//B
C 平面DEF C ．EF 与1AC 所成的角为90︒
D ．点1B 到平面DEF 的距离为
32
2
【答案】BCD 【分析】
利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断． 【详解】
对选项A ，由图知1AC ⊂平面11ACC A ，EF 平面11ACC A E =，且1.E AC ∉由异面直
线的定义可知1AC 与EF 异面，故A 错误；
对于选项B ，在直三棱柱111ABC A B C -中，11B C //BC ．
D ，F 分别是AC ，AB 的中点， //∴FD BC ，11B C ∴ //FD ．
又
11B C ⊄平面DEF ，DF ⊂平面DEF ，
11B C ∴ //平面.DEF 故B 正确；
对于选项C ，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则(0C ，
0，0)，(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(2A ，0，2)，1(0B ，2，2)，1(0C ，0，2)，(1D ，0，0)，(2E ，0，1)，(1F ，1，0)．
(1EF ∴=-，
1，1)-，1(2AC =-，0，2)． 1·2020EF AC =+-=，1EF AC ∴⊥，1EF AC ∴⊥． EF 与1AC 所成的角为90︒，故C 正确；
对于选项D ，设向量(n x =，y ，)z 是平面DEF 的一个法向量． (1DE =，
0，1)，(0DF =，1，0)， ∴由n DE n DF ⎧⊥⎨
⊥⎩，
，
，即·0·
0n DE n DF ⎧=⎨
=⎩，
，，得00.
x z y +=⎧⎨
=⎩，
取1x =，则1z =-，(1
n ∴=，0，1)-， 设点1B 到平面DEF 的距离为d ． 又
1(1DB =-，
2，2)，
1·102
DB n d n
-+
∴=
=
=
， ∴点1B 到平面DEF 的距离为2
，故D 正确．
故选：BCD 【点睛】
本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题．
2．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上（不含端点）且BE BF =，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A 、C 两点重合于点1A ，则下列结论正确的有（ ）．
A ．1A D EF ⊥
B ．当1
2
BE BF BC ==
时，三棱锥1A F DE -6π C ．当14BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -的体积为2173 D ．当14BE BF BC ==时，点1A 到平面DEF 的距离为177
【答案】ACD 【分析】
A 选项：证明1A D ⊥面1A EF ，得1A D EF ⊥；
B 选项：当1
22
BE BF BC ==
=时，三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，利用分隔补形法求三棱锥1A EFD -的外接球体积； C 选项：利用等体积法求三棱锥1A EFD -的体积； D 选项：利用等体积法求出点1A 到平面DEF 的距离. 【详解】 A 选项：
正方形ABCD
,AD AE DC FC ∴⊥⊥
由折叠的性质可知：1111,A D A E A D A F ⊥⊥ 又
111A E A F A ⋂=
1A D ∴⊥面1A EF
又
EF ⊂面
1A EF ，
1A D EF ∴⊥；故A 正确.
B 选项：当1
22
BE BF BC ==
=时，112,22A E A F EF ===在1A EF 中，222
11A E A F EF +=，则11A E A F ⊥
由A 选项可知，1111,A D A E A D A F ⊥⊥
∴三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，
把三棱锥1A EFD -22222426++=，
三棱锥1A EFD -6，体积为3
3
4468633
R ππ
π==，
故B 错误
C 选项：当1
14
BE BF BC ==
=
时，113,A E A F EF ===在1A EF
中，2
2
2
2
2
2
111
11338cos 2233
9
A E A F EF EA F A E A F
+-
+-∠==
=⋅⨯⨯，
1sin 9
EA F ∠=
则111111sin 332292
A EF
S
A E A F EA F =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=
1111
1
143
3A EFD D A EF A EF V V S
A D --∴==⋅⋅==故C 正确；
D 选项：设点1A 到平面EFD 的距离为h ，则
在EFD △
中，2
22
2
2
2
5524cos 2255
25
DE DF EF EDF DE DF +-
+-∠==
=
⋅⨯⨯， 7sin 25
EDF ∠=
则1177sin 5522252
EFD
S
DE DF EDF =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=
11
173
323
A EFD DEF
V S
h h -∴=⋅⋅=⨯⨯=
即7
h =
故D 正确； 故选：ACD 【点睛】
方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．
3．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（ ）
A ．AM 与D
B ''所成角的余弦值为
1010
B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B
C
D ''''-的截面面积为92
C ．四面体A C B
D ''的内切球的表面积为
3
π D ．正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动并且使
MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是椭圆 【答案】AB 【分析】
构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角cos ,||||
AM D B AM D B AM D B ''
⋅''<>=
''为
AM 与D B ''所成角的余弦值判断A 的正误；同样设(,,0)P x y 结合向量夹角的坐标表示，
22215
5
43
x y =
++⨯P 的轨迹知D 的正误；由立方体的截面为梯形，分别求,,,MN AD AM D N ''，进而得到梯形的高即可求面积，判断B 的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r ，进而求内切球表面积，判断C 的正误. 【详解】
A ：构建如下图所示的空间直角坐标系：
则有：(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D ''， ∴(1,2,0),(2,2,0)AM D B ''==-，
10
cos ,10||||58
AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>=
==''⨯，故正确.
B ：若N 为C
C '的中点，连接MN ，则有//MN A
D '，如下图示，
∴梯形AMND’为过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B C D ''''-的截面， 而2,2,5MN AD AM D N ''=
===32
2
， ∴梯形的面积为132932222
S =
⨯=，故正确. C ：如下图知：四面体A C BD ''的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，
∴118
848323
V =-⨯⨯⨯=
，而四面体的棱长都为22，有表面积为142222sin 8323
S π
=⨯⨯⨯⨯=，
∴若其内切圆半径为r ，则有1
8833
3r ⨯⋅=
，即33
r =，所以内切球的表面积为2443
r π
π=
.故错误. D ：正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动且
MAC PAC ''∠=∠，即P 的轨迹为面A B C D ''''截以AM 、AP 为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK ，
构建如下空间直角坐标系，232(0,0,2),(2),(0,22,0)22
A M C '-
，若(,,0)P x y ，则232
(,,0),(0,22,2),(,,2)22
AM AC AP x y '=-
=-=-，
∴15
cos ||||512
AM
AC MAC AM AC '⋅'∠=
=='⨯，
2222cos ||||
43
AP AC y PAC AP AC x y '
⋅+'∠=
='++⨯，即
222215
5
43
y x y +=
++⨯，整理得22(102)9216(0)y x y +-=>，即轨迹为双曲线的一支，故错误.
故选：AB 【点睛】
关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.
4．如图，直三棱柱11,ABC A B C -，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动
点，则（ ）
A ．FM 与BD 一定是异面直线
B ．三棱锥D MEF -的体积为定值
14
C ．直线11B C 与B
D 所成角为
2
π D ．若D 为1AA 中点，则四棱锥1D BB FE -的外接球体积为55
6
π 【答案】CD 【分析】
A 当特殊情况M 与
B 重合有FM 与BD 相交且共面；B 根据线面垂直、面面垂直判定可证面1BEFB ⊥面11AC
C A ，可知EMF
S
、D 到面1BEFB 的距离，可求D EMF V -；C 根据线面
垂直的判定及性质即可确定11B C 与BD 所成角；D 由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误. 【详解】
A ：当M 与
B 重合时，FM 与BD 相交且共面，错误； B ：由题意知：BE A
C ⊥，AC EF ⊥且BE
EF E =，则AC ⊥面1BEFB ，又AC ⊂
面11ACC A ，面1BEFB ⋂面11ACC A EF =，所以面1BEFB ⊥面11ACC A ，又
11
21122
EMF
S
EF BE =⋅⋅=⨯⨯=，D 到面1BEFB 的距离为1h =，所以1
1
33
D EMF EMF
V h S
-=⋅⋅=，错误； C ：由AB BC ⊥，1BC B B ⊥，1B B
AB B =，所以BC ⊥面11ABB A ，又11//BC B C ，即
11B C ⊥面11ABB A ，而BD ⊂面11ABB A ，则11BD B C ⊥，正确；
D ：由B 中，面1BEFB ⊥面11ACC A ，即面DEF ⊥面1BEFB ，则D 到面1BEFB 的距离为
1h =，又D 为1AA 中点，若1,BF EB 交点为O ，G 为EF 中点，连接,,OG GD OD ，则OG GD ⊥，故225
OD OG GD =+=，由矩形的性质知：152
OB OE OF OB ====
，
令四棱锥1D BB FE -的外接球半径为R ，则5
R =
，所以四棱锥1D BB FE -的外接球体
积为354356
V R ππ=
=，正确. 故选：CD. 【点睛】
关键点点睛：利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积.
5．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）
A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形
B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4
π
C ．当1PM =时，截面的面积为52
D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V 【答案】BCD 【分析】
点M 是侧棱PC 上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可. 【详解】
A 选项中，如图，连接BD ，当M 是PC 中点时，2MC =，
由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形，所以
DM PC ⊥,BM BC ⊥，又DM ，BM 在面MBD 内，且相交，所以PC ⊥平面PBD ，三角形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是三角形，点M 向下移动时，2MC <，如图，仍是三角形；
若点M 由中点位置向上移动，2MC >，在平面PDC 内作EM PC ⊥，交PD 于E ，
在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ，平面MEF 交平面PAD 于EG ，交PAB 于FH ，即交平面ABCD 于GH ，则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是五边形； 故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误；
B 选项中，因为截面总与P
C 垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABC
D 所成的锐角为定值，
不妨取M 是中点，连接AC ，BD ，MB ，MD ，设AC ，BD 交点是N ，连接PN ，由题意知，四边形ABCD 是边长为4的菱形，BD AC ⊥，因为MB =MD ，所以MN BD ⊥，故MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角，过点M 作MQ AC ⊥，垂足Q.在三角形PAC 中，MN =2，2，故在直角三角形MNQ 中，2cos 2
NQ MNC MN ∠==，故4MNC π
∠=，故B 正确；
C 选项中，当PM =1时，M 是PC 中点，如图，五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，依题意，直角三角形PME 中，2cos PM PE EPM
==∠，故E 为PD 的中点，同理，F 是PB 的中点，则EF 是三角形PBD 的中位线，1222EF BD =
=G ，H 分别在,AD AB
的中点上，证明如下，当G ，H ，也是中点时，1//,2
GH BD GH BD =，有//,22GH EF GH EF ==，四边形EFHG 是平行四边形.依题意，三角形PAC 中4,42PA PC AC ===，故PA PC ⊥，故PC GE ⊥，易见，正四棱锥中BD ⊥平面PAC ，故BD PC ⊥，GH PC ∴⊥，因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内，且相交，所以PC ⊥平面EFHG ，故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ，有GH ⊥面平面PAC ，GH GM ⊥，根据对称性有GH GE ⊥，四边形EFHG 是矩形.
即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，平面图如下:
依题意，22GH EF ==2EG FG ==，三角形高为()()22321h =
-=， 面积是122122
⨯=，四边形面积是22242=，故截面面积是52 故C 正确；
D 选项中，若PM =2，看B 选项中的图可知，21124
M BCD P BCD P ABCD V V V V ---===，故剩余部分134
P ABCD V V -=
，所以123=V V ，故D 正确. 故选：BCD.
【点睛】 本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题.
6．如图，矩形ABCD 中， 22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（点1A 不落在底面BCDE 内），若M 在线段1A C 上（点M 与1A ，C 不重合），则在ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使1DE A C ⊥
B ．存在点M ，使得BM ⊥平面1A D
C 成立
C ．存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立
D ．四棱锥1A BCD
E -体积最大值为24 【答案】CD
【分析】
利用反证法可得A 、B 错误，取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，可证明//MB 平面1A DE ，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，利用公式可求得此时体积为
24
. 【详解】
如图（1），取DE 的中点为F ，连接1,A F CF ，
则45CDF ∠=︒，22DF =，故212254222222
CF =+-⨯⨯=，
故222DC DF CF ≠+即2CFD π∠≠． 若1CA DE ⊥，因为11,A D A E DF FE ==，故1A F DE ⊥，而111A F A C A ⋂=， 故DE ⊥平面1A FC ，因为CF ⊂平面1A FC ，故DE CF ⊥，矛盾，故A 错． 若BM ⊥平面1A DC ，因为DC ⊂平面1A DC ，故BM DC ⊥，
因为DC CB ⊥，BM CB B ⋂=，故CD ⊥平面1A CB ，
因为1
AC ⊂平面1A CB ，故1CD A C ⊥，但1A D CD <，矛盾，故B 错． 当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，
由前述证明可知1A F DE ⊥，而平面1A DE 平面BCDE DE =，
1A F ⊂平面1A DE ，故1A F ⊥平面BCDE ，
因为1A DE △为等腰直角三角形，111A D A E ==，故122A F =
， 又四边形BCDE 的面积为13211122⨯-
⨯⨯=， 故此时体积为13223224
⨯⨯=，故D 正确． 对于C ，如图（2），取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，
则1//,2IM CD IM CD =
，而1//,2
BE CD BE CD =， 故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形， 故//IE BM ，因为IE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，故//MB 平面1A DE ， 故C 正确．
故选：CD.
【点睛】
本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.
7．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）
A ．若1233AD AC A
B =
+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++ C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =
D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN =
【答案】ABC
【分析】
作出四面体P ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.
【详解】
对于A ，1233
AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；
对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，
33PQ QA QB QC PQ ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=,3PA PB PC PQ ∴++=
即111333
PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确； 对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，
()0PA BC PC AC CB ∴++=,0PA BC PC AC PC CB ∴++=
0PA BC PC AC PC BC ∴+-=,()0PA PC BC PC AC ∴-+=
0CA BC PC AC ∴+=,0AC CB PC AC ∴+=
()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；
对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122
MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+
22211122222222222222222
=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 2MN ∴=，故D 错误.
故选：ABC
【点睛】
用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
8．如图，线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//EF AB ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且2AB =，1EF AD ==，则下述正确的是（ ）
A ．//OF 平面BCE
B ．BF ⊥平面ADF
C ．点A 到平面CDFE 21
D ．三棱锥C BEF -5π
【答案】ABC
【分析】
由1EF OB ==，//EF OB ，易证//OF 平面BCE ，A 正确；
B ， 由所矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直， 易证AD ⊥平面ABEF ，所以AD BF ⊥，由线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，易证故B 正确.
C ，由C DAF A CDF V V --=可求点A 到平面CDFE 的距离为7
，C 正确. D ，确定线段DB 的中点M 是三棱锥C BEF -外接球心，进一步可求其体积，可判断D 错误.
【详解】
解：1EF OB ==，//EF OB ，四边形OFEB 为平行四边形，所以//OF BE ， OF ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//OF 平面BCE ，故A 正确. 线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，
矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，平面ABCD
平面ABEF AB =，AD ⊂平
面 ABCD ，所以AD ⊥平面ABEF ，BF ⊂平面ABEF ，所以AD BF ⊥
AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD AF A =，
所以BF ⊥平面ADF ，故B 正确.
1OF OE EF ===，OFE △是正三角形，所以1EF BE AF ===，
//DA BC ，所以BC ⊥平面ABEF ，BC BF ⊥，
BF =2CF ==，
DF ===
2AB CD ==，CDF 是等腰三角形，CDF 的边DF 上的高
2==，
1
222
CDF S =⨯=△， //DA BC ，AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ，
//BC
平面ADF ，点C 到平面ADF 的距离为BF =
111122
DAF S =⨯⨯=△，C DAF A CDF V V --=， 设点A 到平面CDFE 的距离为h ，
11
33ADF CFD S FB S h ⨯⨯=⨯⨯△△，1113232
h ⨯=⨯，
所以h =，故C 正确. 取DB 的中点M ，则//MO AD ，12
MO =，所以MO ⊥平面CDFE ，
所以21512ME MF MB MC ⎛⎫====+= ⎪⎝⎭
所以M 是三棱锥C BEF -5， 三棱锥C BEF -外接球的体积为334455533V r ππ==⨯=⎝⎭
，故D 错误， 故选：ABC.
【点睛】
综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题.。