平面法向量的应用

平面法向量的应用

近几年高考立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用传统的几何方法解决，又可用向量方法处理，在求异面直线所成角、直线与平面的所成角、二面角的大小以及点到平面的距离时，向量方法都有标准的公式，这些公式对学生的空间想象能力要求相对不高，因此，我们要重视空间向量方法的应用。那么在完成解答的过程中，应该如何正确求出法向量的坐标，以及如何利用法向量解决上述问题就成为我们应该掌握的重要知识。一、平面法向量的概念

向量与平面垂直如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂,

,直于平面，记作a。 ,,

, 平面的法向量如果a，那么向量a叫做平面的法向量。 ,,

一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题。求解平面法向量的常用方法如下:

1. 方程法:

利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，师生容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以。

，，例如;已知向量、是平面内的两个不共线的向量，a,1,2,3，b,(2,1,,1)，求平面ab,

的一个法向量的坐标。 n,

解:设n,(x,y,z)，则由，得 n,an,b

,x，2y，3z,0,n,a,0, 即 ,,2x，y,z,0,n,b,0,,

5,x,x，3y,,3,,573z,1不妨设，得，取 n,(,,,1),,72x，y,133,,y,,3, 2(矢量积公式

yzxzxy111111axyz,(,,)bxyz,(,,)，，， ab，,,(,,)111222yzxzxy222222

yz11其中行列式，法向量取与向量共线的即可。 ,,yzyzab，1221yz22

1

,a,(1,2,3), 用这一方法解答上面的例如，先把平面内的两个向量坐标对齐

写 ,,b,(2,1,,1),

2，(,1),1，3,,5蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算就是向量的xab，

1，(,1),2，3,,7坐标，蒙住第二列，把前后两列看成一个二阶行列式，计算，取的,7相反数作为的坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算y7ab，

作为坐标，所以，可以取，它与前面方1，1,2，2,,3a，

b,(,5,7,,3)n,(,5,7,,3)z

57程法求得的是共线向量。 n,(,,,1)33

矢量积公式属于高等数学中空间解析几何的内容，学生难以在现有的知识基础上真正理解，但由于这是一个死板的公式，操作步骤清晰，学生容易记住，开始觉得不习惯，多练几次后，具有速度快、结果准的优点，不妨一试。

3(双0速算法

如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平面平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现2个0，就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。

例如:已知向量、是平面内的两个不共线的向量，，，a,(1,2,0)b,(3,0,4)ab, 求平面的一个法向量的坐标。 n,

先找一个与向量垂直的向量，因为•，故可先取的、坐标ya,(1,2,0)xa,0nnn

,123，2，4z,0分别为、，坐标待定，即;又因为•，即，所以

nz,,(2,1,)zb,0n

33z,,;取。 n,(2,,1,,)22

3a,(1,2,0)b,(3,0,4) n,(2,,1,,)2n,(2,,1,z)n,(2,,1,z)

这是两个0分别出现在两个向量的坐标的情况，对齐坐标写，第一步可以看成数字调换、变号，第二步属简单数字计算，熟练后一目了然。

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、是平面内的两个不共线的向量，又如已知向量a,(1,0,0)b,(2,1,,2)ab, 求平面的一个法向量的坐标。 n,

a,(1,0,0)b,(2,1,,2) n,(0,2,1)

n,(0,y,z)n,(0,y,z)

这是两个0分别出现在同一个向量的坐标的情况。

”的的情形比较多，这一方法受到学生的广泛欢迎。由于考题中出现“双0 nn, 有时为了需要，也求法向量上的单位法向量，则。 nn00n上面介绍了求法向量的坐标的方法，为了能方便地运用平面法向量解题，下面我们来研究一些应用平面法向量的三个引理，以此为工具，就可以顺利地解决立体几何问题。二、平面法向量的三个常用公式

公式1 设向量是平面的单位法向量，点B是平面外一定点，点A是内任意一n,,,0

dABn,,点，则点B到平面的距离。 ,0

证明:如图1，过B作BO垂直平面于O，在 ,B

AB平面上任取一点A，则，ABO为与的夹 ,nn 角，设为。 ,O A ,BOd, 在RtABO,中，，

图 1

ABnABn,,

得。 dABABABncos,,,,,,,,0nABn,

利用公式1求点到平面的距离比用传统的几何方法求距离简单得多，它省去了作图、证明等推理论证，直接通过向量运算得到正确的结果。

公式2 设AB是平面的斜线，BO是平面的垂线，AB与平面所成的

角，,BAO,, ,,,

ABn,

AB，,ABO,向量与的夹角(见图1)，则。(证略) sincos,,,,n

ABn,公式3 如图2，设向量与分别是二面角 nn12

,,,,,l,中的两个半平面，的法向量， ,n 1

n则向量与的夹角,,nn,的大小就是 nn1212 2

, 所求二面角或其补角的大小。(证略) 图 2

由于法向量的多样性，二面角的两个半平面的法向量与的夹角可能等于所求二面角nn12

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的平面角，也可能等于二面角的平面角的补角，如何来确定两法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角呢,一靠经验:通过题目估计它是钝角还是锐角，同类相等，异类互补;二用半平面旋转法:把二面角的一个半平面绕棱按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合l

时，若两个半平面的法向量的方向相同，则相等，若方向相反，则互补。

以上介绍了平面的法向量及其几个公式，以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能，平面法向量接题将在数学解题中起到越来越大的作用。

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