实际问题与二元一次方程组(原卷版)

8.3 实际问题与二元一次方程组
【题型一】利用二元一次方程组解决方案问题
【典题】 （2022秋·安徽宣城·七年级统考期末）某医疗器械厂计划用600
万元资金采购一批口罩生产机器，
常见利用方程解决实际问题等量关系：
销售中盈亏问题：
1）成本价：俗称进价，是商家进货时的价格；
2）标价：商家出售时标注的价格；
3）打折：打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售。

如：打9折，就是按标价的90℅出售。

4）利润=售价－进价，利润>0时盈利，利润<0时亏损。

5）利润率=利润
成本×100%=售价−成本成本×100%。

顺逆流问题：
船在顺水中的速度= 船在静水中的速度 + 水流速度
船在逆水中的速度= 船在静水中的速度 - 水流速度
船顺水的行程 = 船逆水的行程
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
数字问题：
一个两位数，十位数字是a ，个位数字是b ，那么这个数可表示为10a+b
一个三位数，百位数字是x, 十位数字是y ，个位数字是z ，那么这个数可表示为100x+10y+z
工程、效率问题：
工程问题中要善于把握什么是总工作量，总工作量可以看成“1”；
工程问题中的等量关系一般是各部分完成的工作量之和等于总工作量“1”。

工作量=工作时间×工作效率
球赛积分问题：
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
行程问题：
路程=速度*时间
相遇问题：甲路程+乙路程=两地距离
追及问题：快者的行程-慢者的行程=初始距离
钟表问题：
整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。

分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度
其中甲型机器每台的售价为10万元，乙型机器每台的售价为45万元．若购买甲型机器的数量是乙型机器数量的5倍还多3台，则甲、乙两种机器分别购入多少台？
巩固练习
1．（↓）（2022秋·陕西咸阳·七年级校考期末）为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球．已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元．
(1)A型篮球和B型篮球的标价各是多少？
(2)该体育用品店推出了以下优惠方案：
方案一：所有商品按标价的九折销售；
方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费．
学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算？请说明理由．
2．（↓↓）（2022春·四川绵阳·七年级校联考期中）面对当前疫情形势，某工厂迅速反应，研发出两种新型口罩和消毒液．已知1平方米甲型布料可以制成20个A型口罩和10个B型口罩．1平方米乙型布料可以制成10个A型口罩和20个B型口罩，现需要制作1500个A型口罩和1800个B型口罩．为了支援某灾区，现有消毒液19吨．计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆，一次运完，甲型车一次满载2吨，乙型车一次满载3吨，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)恰好需要甲，乙布料各多少平方米？
(2)在运送消毒液时，请你设计所有可能的租车方案．
【题型二】利用二元一次方程组解决行程问题
【典题】（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）甲乙二人分别从相距20千米的A，B两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发半小时，那么在乙出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米，求甲乙二人每小时各走多少千米？
巩固练习
1．（↓↓）（2022春·河南南阳·七年级统考期中）A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B 地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍．
(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？
2．（↓）（2022春·吉林四平·七年级统考期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡路每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡路每小时走5千米，那么从甲地到乙地需0.9小时，从乙地到甲地需0.7小时。

请问从甲地到乙地上坡路与平路各是多少千米？
【题型三】利用二元一次方程组解决工程问题
【典题】（2022春·甘肃金昌·七年级校考期中）甲、乙共同加工420个零件需12小时，已知甲3小时与乙4小时加工的零件数相等，问甲、乙每小时各加工多少个零件？
巩固练习
1．（↓）（2022春·河北唐山·七年级统考期末）3月12日是我国的植树节．这一天，某校七年级共有240名学生参加义务植树活动．如果平均每人每天挖树坑6个或栽树10课，那么，怎样安排学生才能使这一天挖出的树坑全部栽上树苗？（要求列方程组解答）
2．（↓）（2022春·河南南阳·七年级统考期末）甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，乙由于体力消耗较大，每小时比原来少加工1件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了15件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？【题型四】利用二元一次方程组解决分配问题
【典题】（2022春·广东东莞·七年级统考期中）学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大客车或30座小客车，若租用1辆大客车、2辆小客车共需租车费1000元；若租用2辆大客车、1辆小客车共需租车费1100元．
(1)求每辆大、小客车的租车费各是多少元？
(2)怎样租车，正好坐满？写出所有的可能性．（请列方程解答）．
巩固练习
1（↓）（2022秋·安徽·七年级统考期末）某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车．
(1)装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？
(2)第三次安排大、小货车共12辆向甲地运输208吨蔬菜，若要使得每辆车都装满，则大货车和小货车分别需要多少辆？
2．（↓）（2022春·浙江金华·七年级校联考期中）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
(1)若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？
(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．
【题型五】利用二元一次方程组解决销售利润问题
【典题】（2022春·海南海口·七年级校考期中）为了丰富同学们的课外生活，体育委员到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，若购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需80元，小强一共用了530元购买了7副同样的羽毛球拍和6副同样的乒乓球拍，问羽毛球拍和乒乓球拍各多少元一副？
巩固练习
1．（↓）（2022春·河北秦皇岛·七年级校考期中）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两
(1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
【题型六】利用二元一次方程组解决和差倍分问题
【典题】（2022春·黑龙江鸡西·七年级校考期中）一个学生有中国邮票和外国邮票共200张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少10张，这个学生有中国邮票和外国邮票各多少张？
巩固练习
1．（↓）（2022春·山东烟台·七年级统考期末）某工艺品店购进A，B两种工艺品，已知这两种工艺品的单价之和为200元，购进2个A种工艺品和3个B种工艺品需花费520元．求A，B两种工艺品的单价．22．（↓）（2022春·浙江温州·七年级统考期末）某班级学生打算购入多肉植物为教室增添绿色气息．该班学生在市场上了解到甲、乙两种多肉的价格和大小都比较合适，现有如下信息：
(1)求甲、乙两种多肉每个分别是多少元？
(2)若该班同学购买多肉共花费120元，设甲、乙两种多肉分别购买m个，n个（m1
n≥）．
≥，1
①用含m的代数式表示n．
②若m，n均为偶数，求出所有满足条件的购买方案，并指出哪种购买方案总数量最多．
【题型七】利用二元一次方程组解决几何
【典题】（2022秋·上海·七年级校考期中）如图，图①是一个长为2n、宽为2m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形．
(1)图②中拼成的大正方形的面积为；
(2)图②中的阴影部分的面积为；
(3)若已知图②中拼成的大正方形的周长为28，阴影部分的周长为20，则图①中平均分成的每个小长方形
巩固练习
1．（↓）（2022秋·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校联考期中）学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小华、小雨分别用这些正方形设计出了图1，图2两种图案，根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？
2．（↓）（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）聪聪手中有一块长方形的硬纸片，其中长比宽多10cm，长方形的周长是100cm．
(1)求长方形硬纸片的面积；
(2)现在聪聪想用这块长方形硬纸片沿着边裁出一块长与宽的比为5∶4，面积为2
520cm的新纸片作为他用，聪聪不知道能否裁得出来，正在发愁．明明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意明明的说法吗？聪聪能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【题型八】利用二元一次方程组解决古代
【典题】（2022春·吉林长春·七年级统考期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中第八卷有这样一个问题：今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？意思是：甲、乙都有钱不知多少，若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱．问甲、乙各有几文钱？
巩固练习
1（↓↓）（2022春·湖南常德·七年级统考期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用24两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
2．（ ）（2022秋·安徽滁州·七年级统考期末）《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是其最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛三、羊一，直金七两；牛二、羊三，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有3头牛、1只羊，值金7两；2头牛、3只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”。