业动量和角动量习题和答案

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冲量:⎰=2
1
t
t
dt
F
I
为作用于物体上的力和作用时间之积
求解方法:
Ⅰ、若为恒力,则t
F
I∆
=
[C]1.(基础训练3)如图3-12所示,圆锥摆的摆球质量为m,速率为
v,圆
半径为R,当摆球在轨道上运动半周时,摆球所受重力冲量的大小为
(A) 2m v.(B) 2
2)
/
(
)
2(v
v R
mg

+
(C) v
/
Rmg
π. (D) 0.
Ⅱ、若为变力,则①已知力的表达式,利用定义式⎰=2
1
t
t
dt
F
I
②已知动量的变化,利用动量定理⎰-
=
=2
1
1
2
t
t
v
m
v
m
dt
F
I
1、(自测提高6)质量为m的小球自高为y
处沿水平方向以速率v
抛出,与地面碰撞后跳起的最大高度为
2
1
y
,水平速率为
2
1
v
,如图
3-17.(1)地面对小球的竖直冲量的大小为(1+(2)地面
对小球的水平冲量的大小为
1
2
m v。

度为h处自由下落到倾角为30°的光滑固定斜面上。

设碰撞是完全弹性
的,则小球对斜面的冲量的大小为,方向为垂直斜面向下。

⎰-
=
=2
1
1
2
t
t
v
m
v
m
dt
F
I
1.(自测提高7)一物体质量M=2 kg,在合外力(32)
F t i
=+
(SI)的作用下,从静止开
y
2
1
y
始运动,式中i 为方向一定的单位矢量, 则当t=1 s 时物体的速度1v
=2(/)i m s 。

【解法】用动量定理计算。

110
()0Fdt mv mv =∆=-⎰
[D ]2.(自测提高4)用一根细线吊一重物,重物质量为5 kg ,重物下面再系一根同样的细线,细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ,则
(A)下面的线先断. (B)上面的线先断. (C)两根线一起断. (D)两根线都不断. 3.(基础训练15)质量为m 的小球与桌面相碰撞,碰撞前、后小球的速率都是v ,入射方向和出射方向与桌面法线的夹角都是α,如图所示。

若小球与桌面作用的时间为∆t ,求小球对桌面的平均冲力。

【解法】由动量定理0
()()t N mg dt mv ∆+=∆⎰
N 为桌面对小球的作用力,mg
为小球所受重力。

沿y 轴方向的分量形式为
()()cos (cos )2cos t N mg dt N mg t mv mv mv ααα
∆-=-∆=--=⎰
t
mv mg t
mv N ∆≅
+∆=α
α
cos 2cos 2
小球对桌面的平均冲力为
t
mv N N ∆-
=-=α
cos 2'
4.(自测提高12)如图3-23示,有两个长方形的物体A 和B 紧靠着静止放在光滑的水平桌面上,已知m A =2 kg ,
m B =3 kg .现有一质量m =100 g 的子弹以速率v 0=800 m/s 水平射入长方体A ,经t = 0.01 s ,又射入长方体B ,最后停留在长方体B 内未射出.设子弹射入A 时所受的摩擦力为F= 3×103 N ,求: (1) 子弹在射入A 的过程中,B 受到A 的作用力的大小.(2) 当子弹留在B 中时,A 和B 的速度大小.
【解法】从0t =s 到0.01t =s 对A 、B 用动量定理
()0A B F t m m v ∆=+-
代入题给数据得子弹出A 入B 瞬时A 、B 共同速度大小为v =6m/s 。

从0t =s 到0.01t =s 对子弹用动量定理,
10F t m v m v -∆=-
代入题给数据得子弹出A 入B 瞬时速度大小为1v =500m/s 。

(1)从0t =s 到0.01t =s 对B 用动量定理,
0B f t m v ∆=-
代入题给数据得子弹在射入A 的过程中,B 受到A 的作用力的大小
1800f N =。

(2)子弹出A 入B 瞬时A 、B 共同速度大小即为子弹留在B 中时,A 的速度大小
即 6/A v v m s ==。

用动量守恒定律可求得子弹留在B 中,子弹和B 的共同速度大小
1()B B m v m v m m V +=+
代入题给数据得子弹和B 的共同速度大小为V =22m/s 。

即 22/B v V m s ==。

4.(自测提高14)一质量为m 的匀质链条,长为L ,手持其上端,使下端离桌面的高度为h 。

现使链条自静止释放落于桌面,试计算链条落到桌面上的长度为l 时,桌面对链条的作用力。

[提示:可参考物理课本例题。

]
【解法】取x 轴向下为正, 设t 时刻,落在桌面上的部分链条长为l m ,则有l m m l l L
λ==
(m L
λ=
为链条的质量线密度)
此时在空中的链条的速度大小v =
在d t 时间内,有dm vdt λ=链条元落在桌面上.根据动量定理
()()0l m g f dt vdt v λ-=-
()2
32l m l h g
vdt m f m g v lg v dt
L
L
λλ+=+
=
+=
方向向上。

♫动量守恒定律:
如果系统所受合外力的矢量和为零,则系统内各物体的动量矢量和保持不变。

2021012211v m v m v m v m
+=+
写出分量形式为:

==n
i ix F 10
∑==n
i ix
i
C v
m 1

==n
i iy F 1
∑==n
i iy
i
C v
m 1
说明:有时虽然系统所受合外力不为零,但内力远大于外力,这时可忽略外力作用,近似认为系统的动量是守恒的。

如碰撞和打击这一类问题即是这样处理的。

[A] 1.(基础训练2)一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上, 将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上,如图.如果此后木块能静止 于斜面上,则斜面将
(A) 保持静止 (B) 向右加速运动. (C) 向右匀速运动(D) 向左加速运动.
【解法】假设斜面以V 向右运动。

由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ,而
0v =,得0V =。

2.(基础训练8)静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船.第一只船在左边,其上站一质量为
m 的人,该人以水平向右速度v
从第一只船上跳到其右边的第二只船上,然后又以同样的速率v 水平向左地跳回到第一只船上.此后 (1) 第一只船运动的速度为v
1=0
2m v
m m -+。

(2) 第二只船运动的速度为v
2=0
2m v m。

(水的阻力不计,所有速度都相对地面而言)
【解法】
提示:第一跳 01
0m v m v '+= 02()m v m m v '=+
第二跳 010
1()m v m v m m v '-+=+
0202()m m v m v m v '+=-+
3.(自测提高8)两球质量分别为m 1=2.0 g ,m 2=5.0 g ,在光滑的水平桌面上运动.用
直角坐标OXY 描述其运动,两者速度分别为v
cm/s ,)0.50.3(v 2j i += cm/s .若碰撞后
与x 轴的夹角α=35.5︒. (基础训练14)=19.6 m 处炸裂成质量相等的
两块.其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上.设此处与发射点的距离S 1=
1000 m ,问另一块落地点与发射地点间的距离是多少?(空气阻力不计,g =9.8 m/s 2
) 【解法】因第一块爆炸后落在其正下方的地面上,说明它的速度方向是沿竖直方向的. 利用 2
t g t h '+
'=2
11v , 式中t '为第一块在爆炸后落到地面的时间. 可解得v 1
=14.7 m/s ,竖直向下.取y 轴正向向上, 有v 1y =-14.7 m/s
设炮弹到最高点时(v y =0),经历的时间为t ,则有
S 1 = v x t (1) h=
2
2
1gt (2)
由(1)及(2)得 t =2 s , v x =500 m/s 以2v
表示爆炸后第二块的速度,由爆炸前后的动量守恒得 x v v m m x =221 (3)
0==+
y
y m m m v
v v 1y 22
12
1 (4)
解出 v 2x =2v x =1000 m/s , v 2y =-v 1y =14.7 m/s
再由斜抛公式 x 2= S 1 +v 2x t 2 (5) y 2=h +v 2y t 2-2
2gt 21
(6)
落地时 y 2 =0,可得 t 2 =4 s , t 2=-1 s (舍去) 故 x 2=5000 m
♫质点对定点的角动量: v m r p r L ⨯=⨯=
大小:=
L αsin rmv 方向:(右手法则)与v r
⨯同向
力矩:F r M
⨯=
角动量定理:对同一参考点O ,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。

12d 2
1
L L t M t t
-=⎰
角动量守恒的条件:质点所受相对于参考点的力矩的矢量和等于零。

[B ]1. (自测提高2)质量为20 g 的子弹,以400 m/s 的速率沿图入一原来静止的质量为980 g 的摆球中,摆线长度不可伸缩.子弹射入后开始与摆球一起运动的速
率为
(A) 2 m/s . (B) 4 m/s . (C) 7 m/s . (D) 8 m/s .
【解法】对摆线顶部所在点角动量守恒。

2sin 30()m v l M m lV ︒=+;其中m 为子弹质量,M 为摆球质量,l 为
摆线长度。

2.(基础训练11)将一质量为m 的小球,系于轻绳的一端,绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住.先使小球以角速度ω1在桌面上做半径为r 1的圆周运动,然后缓慢将绳下拉,使半径缩小为r 2,在此过程中小球的动能增量是2
22111
22
1(
1)2
r m r r
ω-。

附加题:1.(自测提高13)有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处,砂子经一竖直的静止漏斗落到皮带上,皮带以恒定的速率v 水平地运动.忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响,试问:
(1) 若每秒有质量为q m =d M /d t 的砂子落到皮带上,要维持皮带以恒定速率v 运动,需要多大的功率?
(2) 若q m =20 kg/s ,v =1.5 m/s ,水平牵引力多大?所需功率多大? 【解法】
(1) 设t 时刻落到皮带上的砂子质量为M ,速率为v ,t+d t 时刻,皮带上的砂子质量为M+d M ,速率也是v ,根据动量定理,皮带作用在砂子上的力F 的
冲量为: v v v ⋅=⋅+-+=M M M M M t F d )0d ()d (d
∴ m q t M F ⋅==v v /d d
由牛顿第三定律,此力的大小等于砂子对皮带的作用力大小F ',即F '=F .由于皮带匀速运动,所需的水平牵引力大小为F ″= F ',因而, F " =F ,F "与v 同向,所需供给的功率为:
22
/d m
P F M t v q =⋅=⋅= v v v d M d t =v d
(2) 当q m =d M/d t=20 kg/s ,v =1.5 m/s 时,水平牵引力大小
F "=v q m =30 N
所需功率为 P=v 2q m =45 W。

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