带电粒子在复合场中的运动压轴难题知识点及练习题

带电粒子在复合场中的运动压轴难题知识点及练习题

一、带电粒子在复合场中的运动压轴题

1．如图甲所示，间距为d 、垂直于纸面的两平行板P 、Q 间存在匀强磁场．取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。t =0时刻，一质量为m 、带电荷量为+q 的粒子（不计重力），以初速度0v 由Q 板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区．当0B 和B T 取某些特定值时，可使0t =时刻入射的粒子经t ∆时间恰能垂直打在P 板上（不考虑粒子反弹）。上述0m q d v 、、、为已知量。

（1）若B 1

2

t T ∆= ，求0B ； （2）若B 3

2

t T ∆=，求粒子在磁场中运动时加速度的大小； （3）若0

04mv B qd

=

，为使粒子仍能垂直打在P 板上，求B T 。 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科综合能力测试物理（山东卷带解析)

【答案】（1）0mv qd （2）20

3v d

（3）03d v π 或01arcsin 242d v π⎛⎫+ ⎪⎝⎭

【解析】 【分析】 【详解】

（1）设粒子做匀速圆周运动的半径1R ，由牛顿第二定律得

2

001

mv qv B R = ……①

据题意由几何关系得

1R d = ……②

联立①②式得

0mv B qd

=

……③ （2）设粒子做圆周运动的半径为2R ，加速度大小为a ，由圆周运动公式得

202

v a R

= ……④

据题意由几何关系得

23R d = ……⑤

联立④⑤式得

20

3v a d

= ……⑥ （3）设粒子做圆周运动的半径为R ，周期为T ，由圆周运动公式得

2R

T v π=

……⑦ 由牛顿第二定律得

20

00mv qv B R

= ……⑧ 由题意知0

04mv B qd

=

，代入⑧式得 4d R = ……⑨

粒子运动轨迹如图所示，1O 、2O 为圆心，1O 、2O 连线与水平方向夹角为θ，在每个B T 内，只有A 、B 两个位置才有可能垂直击中P 板，且均要求02

π

θ<<

，由题意可知

B 222

T T π

θθ+= ……⑩ 设经历完整B T 的个数为n （0n =，1，2，3．．．．．．） 若在B 点击中P 板，据题意由几何关系得

2(sin )R R R n d θ++= ……⑪

当n =0时，无解； 当n =1时联立⑨⑪式得

6

π

θ=

或（1

sin 2

θ=

）……⑫ 联立⑦⑨⑩⑫式得

B 0

3d

T v π=

……⑬

当2n ≥时，不满足090θ︒<<的要求；

若在B 点击中P 板，据题意由几何关系得

2sin 2(sin )R R R R n d θθ+++=……⑭

当0n =时无解

当1n =时，联立⑨⑭式得

1

arcsin 4θ= 或（1sin 4

θ=）……⑰

联立⑦⑧⑨⑩⑰式得

B 01arcsin 2

42d T v π

⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ……⑱

当2n ≥时，不满足090θ︒<<的要求。 【点睛】

2．如图，ABD 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB 段是水平的，BD 段为半径R =0.25m 的半圆,两段轨道相切于B 点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小

E =5.0×103V/m 。一不带电的绝缘小球甲，以速度v 0沿水平轨道向右运动，与静止在B 点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为m =1.0×10-2kg ，乙所带电荷量q =2.0×10-5C ，g 取10m/s 2。(水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移)

（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D ，求乙球在B 点被碰后的瞬时速度大小；

（2）在满足1的条件下，求甲的速度v 0；

（3）甲仍以中的速度v 0向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B 点的距离范围。

【来源】四川省资阳市高中（2018届)2015级高三课改实验班12月月考理综物理试题 【答案】（1）5m/s ；（2）5m/s ；（3）

32m 23m 2

x '≤<。

【解析】 【分析】 【详解】

（1）对球乙从B 运动到D 的过程运用动能定理可得

22112222

D B mg R q

E R mv mv --=

- 乙恰能通过轨道的最高点D ，根据牛顿第二定律可得

2

D

v mg qE m

R

+=

联立并代入题给数据可得

B v =5m/s

（2）设向右为正方向，对两球发生弹性碰撞的过程运用动量守恒定律可得

00

B mv mv mv '=+ 根据机械能守恒可得

22200111222

B mv mv mv '=+

联立解得

0v '=，05v =m/s （3）设甲的质量为M ，碰撞后甲、乙的速度分别为M v 、m v ，根据动量守恒和机械能守恒定律有

0M m Mv Mv mv =+

2220111

222

M m Mv Mv mv =+ 联立得

2m Mv v M m

=

+ 分析可知：当M =m 时，v m 取最小值v 0；当M ≫m 时，v m 取最大值2v 0 可得B 球被撞后的速度范围为

002m v v v <<

设乙球过D 点的速度为D

v '，由动能定理得 2211

2222

D m mg R q

E R mv mv --=

'- 联立以上两个方程可得

s<s D

v '> 设乙在水平轨道上的落点到B 点的距离为x '，则有