【优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习精品课件:4.4 平面向量应用举例(共33张PPT)
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1 2
������������
=0.
(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 EF 为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求������������ ·������������的最小值.
考点一
考点二 考点三 考点四 思想方法
第四章
4.4 平面向量应用举例
(1)设 P(x,y),则 Q(8,y).
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线、 相似等问题 垂直问题
夹角问题
共线向量定理
数量积的运算 性质 数量积的定义
a∥b⇔ a=λb(b≠0) ⇔ x1y2-x2y1=0
其中 a=(x1,y1),b=(x2,y2)
a⊥b⇔ a·b=0 ⇔ x1x2+y1y2=0
a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 a,b 为非零向量
由������������=2������������得(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1).故
.
由������������·������������=4,得(x,y)·(1,2)=4,即 x+2y-4=0. x+2y-4=0
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第四章
4.4 平面向量应用举例
考点一 向量在平面几何中的应用
-1100-
【例 1】 在△ABC 中,(������������ + ������������)·������������=|������������|2,则△ABC 的形状一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3.在△ABC 中,已知向量������������与������������满足
������������ |������������|
+
������������ |������������|
·������������ =0
且 ������������
|������������|
·|������������������������|
考点一
考点二 考点三 考点四 思想方法
答案
第四章
4.4 平面向量应用举例
-19-
方法提炼
本题是平面向量与解析几何的综合性问题,涉及向量数量积的基本运 算,数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中的最值等问题,该题 的难点是向量条件的转化与应用,破解此问题应从向量的坐标运算入手,这 也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法.在解题过程中应该注意结 合向量的有关运算技巧,先化简后运算.
4.4 平面向量应用举例 第四章
6-6-
基础自测
1.若不重合的四点 P,A,B,C,满足������������ + ������������ + ������������=0,������������ + ������������=m������������,则实数 m 的值为(B)
A.2
B.3
答案:与该直线平行和垂直的向量均有无数个,其中向量 n=(A,B) 与该直线垂直,向量 a=(-B,A)与该直线平行.
4.4 平面向量应用举例 第四章
5-5-
2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成和向 量的减法和加法相似,可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,是力 F 与位移 s 的数量积,即 W=F·s=|F||s|cosθ(θ 为 F 与 s 的夹角).
=(-������������ − ������������)·(������������ − ������������)
=(-������������)2-������������2 = ������������2-1,
P 是椭圆������2 + ������2=1 上的任意一点,
16 12
设
P(x0,y0),则有���1���602
考点一
考点二 考点三 考点四 思想方法
第四章
4.4 平面向量应用举例
-20-
举一反三 3 已知圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 及点 A(1,1),M 是圆 C 上的任意
一点,点 N 在线段 MA 的延长线上,且������������=2������������,求点 N 的轨迹方程.
设 M(x0,y0),N(x,y).
=
12,则
△ABC 为(A)
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形
4.4 平面向量应用举例 第四章
9-9-
4.在平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足������������ ·������������=4,则
点 P 的轨迹方程是
考点一
考点二 考点三 考点四 思想方法
答案
第四章
4.4 平面向量应用举例
-16-
考点三 平面向量与解析几何的综合问题
【例 3】 已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动点,作
PQ⊥l,垂足为 Q,且
������������
+
1 2
������������
·
������������ -
方法一:由已知条件 F1+F2+F3=0,则 F3=-F1-F2,������32 = ������12 + ������22+2|F1||F2|·cos 60°=28.因此,|F3|=2 7.
方法二:如图,|������1������2|2=|F1|2+|F2|2-2|F1||F2|·cos 60°=12,则
上运动了 20 m,问 F、摩擦力 f 所做的功分别为多少?
关闭
设木块的位移为 s,则 F·s=|F||s|cos 30°=50×20× 3=500 3 J,
2
F 在竖直方向上的分力大小为 |F|sin 30°=50×1=25 N,
2
所以摩擦力 f 的大小为|f|=(80-25)×0.02=1.1 N, 所以 f·s=|f||s|cos 180°=1.1×20×(-1)=-22 J. 所以 F,f 所做的功分别为 500 3 J,-22 J.
关闭
∵(������������ + ������������)·������������=(������������ + ������������)·(������������ − ������������)=|������������|2-|������������|2=|������������|2,
C.4
D.5
4.4 平面向量应用举例 第四章
7-7-
2.在△ABC 中,∠C=90°,且 CA=CB=3,点 M 满足������������=2������������,则������������ ·������������等于
(B)
A.2
B.3
C.4
D.6
4.4 平面向量应用举例 第四章
8-8-
由 ������������ + 1 ������������ · ������������- 1 ������������ =0,
2
2
得|������������|2-1 |������������|2=0,
4
即(x-2)2+y2-1(x-8)2=0,
4
化简得������2 + ������2=1.
4.4 平面向量应用举例
ห้องสมุดไป่ตู้ 第四章
4.4 平面向量应用举例
-2-
考纲要求 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
4.4 平面向量应用举例 第四章
3-3-
1.向量在平面几何中的应用 (1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决 平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题. (2)用向量解决常见平面几何问题的技巧.
中的要素抽象为数学中的向量知识,最后通过向量的运算解决实际问题.
考点一
考点二 考点三 考点四 思想方法
第四章
4.4 平面向量应用举例
-15-
举一反三 2 如图所示,已知力 F 与水平方向的夹角为 30°(斜向上),F
的大小为 50 N,F 拉着一个重 80 N 的木块在摩擦因数 μ=0.02 的水平平面
|������F1|2+|������1������2|2=|������������2|2,即∠OF1F2 为直角,|F3|=2
������12 +
|F 1 F 2 |
2
=2
2
7.
考点一
考点二 考点三 考点四 思想方法
答案
第四章
4.4 平面向量应用举例
-14-
方法提炼 向量在物理中应用时,要注意和相关的物理背景联系起来,把物理背景
16 12
所以点 P 在椭圆上,其方程为������2 + ������2=1.
16 12
考点一
考点二 考点三 考点四 思想方法
-17答案
第四章
4.4 平面向量应用举例
-18-
(2)因为������������·������������=(������������ − ������������)·(������������ − ������������)
+
������02 12
=1,即������02
=16-4������02
3
.
又 N(0,1),
所以������������2 = ������02+(y0-1)2=-13 ������02-2y0+17=-13(y0+3)2+20.
因为 y0∈[-2 3,2 3],
所以当 y0=2 3时,������������2取得最小值(2 3-1)2=13-4 3(此时 x0=0), 故������������·������������的最小值为 12-4 3.
∴|������������ |2=|������������ |2+|������������ |2, C∴△ABC 为直角三角形.
考点一
考点二 考点三 考点四 思想方法
关闭
解析 答案
第四章
4.4 平面向量应用举例
-11-
方法提炼
对于此类问题,一般需要灵活运用向量的运算法则、运算律,将已知条 件等价变形,从而得到结论.
如图,∵������������ + ������������ + ������������=0, O∴,N������,P������ 依+ 次���������是���=△-������A������B. C 的( )
A依.重向心量、加外法心的、平垂行心四边形法则,知|������������|=2|������������|,故 N 为重心. B∵.���重���������心·、������������外=心������、������·内���心���������, ∴(������C������.外− 心������������、)·重������心������、=垂���������心���·������������=0.
特别地,有的问题还需要依据几何图形选取适当的基底(基底中的向量 尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,然后计算或证明.
考点一
考点二 考点三 考点四 思想方法
第四章
4.4 平面向量应用举例
-12-
举一反三 1 已知点 O,N,P 在△ABC 所在的平面内,且
|������������|=|������������|=|������������|,������������ + ������������ + ������������=0,������������ ·������������ = ������������ ·������������ = ������������ ·������������,则点 关闭
D同.外理心���������、���·重���������心���=、0,内���������心���·������������=0.
∴点 P 为△ABC 的垂心.
关闭
C 由|������������|=|������������|=|������������|,知 O 为△ABC 的外心.
考点一
cosθ=
������·������ |������||������|
(θ 为向量 a,b 的夹角)
(3)用向量方法解决平面几何问题的步骤.
平面几何问题
向量问题 解决向量问题 解决几何问题.
4.4 平面向量应用举例 第四章
4-4-
想一想你能根据直线 Ax+By+C=0 的方程中的参数 A,B,C 快 速写出与此直线平行和垂直的向量吗?
考点二 考点三 考点四 思想方法
解析 答案
第四章
4.4 平面向量应用举例
-13-
考点二 平面向量在物理计算题中的应用
【例 2】 质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡
状态,已知 F1,F2 成 60°角,且 F1,F2 的大小分别为 2 和 4,求 F3 的大小.
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