二次函数中的面积计算问题

(D)
二次函数中的面积计算问题
[典型例题]
例. 如图，二次函数2
y x bx c =++图象与x 轴交于A,B 两点(A 在B
M ，MAB ∆为直角三角形, 图象的对称轴为直线2-=x ，点P 是抛物线上位于A PAC
的面积的最大值为（ C ） A ．
274 B ．11
2 C ． 27
8
D ．3 二次函数中面积问题常见类型：
一、选择填空中简单应用 二、不规则三角形面积运用S= 三、运用
四、运用相似三角形
五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形
例1. 如图1，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点， 且AE=BF=CG=DH, 设小正方形EFGH
的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是 （ B ）
例2. 解答下列问题：
如图1，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式；
（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB
；
（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S ，若存在，求出
P 点的坐标；若不存在，请说明理由.
2我们可得出一种计算
.掌握这个公式后，思路直接，
y 1＝a (x －1)2
＋4(a ≠0)．把A (3，0)代入解析式求得a ＝－1，
1＝－(x －1)2＋4，即y 1＝－x
2
＋2x ＋3． 设直线AB 的解析式为y 2＝kx ＋b ，
由y 1＝－x
2
＋2x ＋3求得B 点的坐标为(0，3)．把A (3，0)，B (0，3)代入y 2＝kx ＋b ，解得k ＝－
1，b ＝3．
∴直线AB 的解析式为y 2＝－x ＋3． （2）∵C (1，4)，∴当x ＝1时，y 1＝4，y 2＝2．
∴△CAB 的铅垂高CD ＝4－2＝2． S △CAB ＝
2
1
×3×2＝3(平方单位)． （3）解：存在．
图2
设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ． 则h ＝y 1－y 2＝(－x
2＋2x ＋3)－(－x ＋3)＝－x
2
＋3x
由S △P AB ＝89S △CAB 得：21×3×(－x
2＋3x )＝8
9
×3．
整理得4x
2
－12x ＋9＝0，解得x ＝
2
3
． 把x ＝
23代入y 1＝－x
2＋2x ＋3，得y 1＝4
15
． ∴P 点的坐标为(
23，4
15
)． 例3. （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的顶点坐标分别为A （0，2），O （0，0），B （4，0），把△AOB 绕点O 逆时针方向旋转90°得到△COD （点A 转到点C 的位置），抛物线y ＝ax
2
＋bx ＋c (a ≠0)经
过C 、D 、B 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为P ，求△P AB 的面积；
（3）抛物线上是否存在点M ，使△MBC 的面积等于△P AB 的面积？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和△
由于点M 是抛物线上的一个不确定点，点M 答案:（1）由题意知C （－2，0），D （0，4）．
∵抛物线经过B （4，0），C （－
2x ＋2)(x －
4) 将D （0，4）代入上式，解得a ∴该抛物线的解析式为y ＝－2
1(x ＋2)(x －4)
即y ＝－2
1x 2
＋x ＋4． （2）∵y ＝－21x
2＋x ＋4＝－21(x －1)2＋2
9
． ∴抛物线的顶点P 的坐标为（1，29）． 过点P 作PE ⊥y 轴于点E ，如图．
则S △P AB ＝S 四边形PEOB －
S △AOB －
S △PEA
＝21×(1＋4)×29－21×4×2－2
1×(29
－2)×1＝6．
（3）假设存在这样的点M ，其坐标为M （x ，y ）．
则S △MBC
＝2
1
| y
|×6＝S △P AB ＝6
即2
1
| y
|×6＝6，∴y ＝±2． 当y ＝2时，－
21(x －1)2
＋29＝2，解得x ＝51±； 当y ＝－2时，－
21(x －1)2
＋2
9＝－2，解得x ＝131±．
∴存在点M ，使△MBC 的面积等于△P AB 的面积，其坐标为：
M 1（51＋，2），M 2（51－，2），M 3（131＋，－2），M 4（131－，－2）．
例4．如图，抛物线与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C （0，4），其中x 1，x 2是方程x
2
－2x －8＝0的两个根．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；
（3）探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）解方程x
2
－2x －8＝0，得x 1＝－2，x 2＝4．
∴A （4，0），B （－2，0）．∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，∴可设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)（a ≠0）
又∵抛物线与y 轴交于点C （0，4），∴a ×2×(－4)＝4，
∴a ＝－
2
1
． ∴抛物线的解析式为y ＝－
21(x ＋2)(x －4)，即y ＝－2
1
（2）设点P 的坐标为（m ，0），过点E 作EG ⊥x 轴于点G
∵A （4，0），B （－2，0），∴AB ＝6，
BP ＝m ＋2． ∵PE ∥AC ，∴△BPE ∽△BAC ． ∴
CO EG ＝AB BP ，∴4EG ＝
62m ＋，∴EG ＝3
4
m 2＋ ∴S △CPE ＝S △CBP －S △BPE
＝21BP ·CO －21
BP ·EG ＝
21(m ＋2)(4－3
4m 2＋) ＝－3
1
(m －1)2＋3
又∵－2≤m ≤4，∴当m ＝1时，S △CPE 有最大值3． 此时点P 的坐标为（1，0）
（3）存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形，点Q 的坐标为：
Q 1(1，1)，Q 2(1，11)，Q 3(1，
11－)，Q 4(1，194＋)，Q 5(1，194－) 设点Q 的坐标为（1，n ）．
∵B （－2，0），C （0，4），∴BC 2
＝(－2)2
＋42
＝20．①当QB ＝QC 时，则QB 2
＝QC 2．
即(－2－1)2
＋y 2
＝(－1)2
＋(4－y )2
，∴y ＝1． ∴Q 1(1，1)
②当BC ＝BQ 时，则BQ 2
＝BC 2
． 即(－2－1)2
＋y 2
＝20，∴y ＝11 ．
∴Q 2(1，11)，Q 3(1，11－)． ③当QC ＝BC 时，则QC 2
＝BC 2
． 即12
＋(4－y )2
＝20，∴y ＝194±． ∴Q 4(1，
194＋)，Q 5(1，194－)． 例5．如图1，抛物线y ＝x
2
－2x ＋k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3）．（图2、图3为解答备用
图）
（1）k ＝_____________，点A 的坐标为_____________，点B 的坐标为_____________； （2）设抛物线y ＝x
2
－2x ＋k 的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；
（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不
存在，请说明理由；
（4）在抛物线y ＝x
2
－2x ＋k 上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．
解：（1）－3，（
（2
∵y 1)2
－4
S
COM
＋
S ＝2×
1×3＋21×3×1＋2
×3×4
＝9
说明：也可过点M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转化为求 一个梯形与两个直角三角形面积的和． （3）设D （m ，m
2
－2m －3），连结OD ，如图2．
则0＜m ＜3，m
2
－2m －3＜0．
S 四边形ABDC
＝S △AOC ＋
S △COD
＋
S △DOB
＝21×1×3＋21×3×m ＋21×3×[－(m
2－2m －3)]＝－23m
2＋29
m ＝－23(m －23)2＋8
75
． 当m ＝23时，四边形ABDC 的面积最大． 此时m
2－2m －3＝(23)2－2×23－3＝－415
．
∴存在点D （23，－4
15），使四边形ABDC 的面积最大． （4）有两种情况：
如图3，过点B 作BQ 1⊥BC ，交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ，连接Q 1C ．
∵在Rt △COB 中，OB ＝OC ＝3，∴∠CBO ＝45°，∴∠EBO ＝45°，OB ＝OE ＝3． ∴点E 的坐标为（0，3）．
∴直线BE 的解析式为y ＝－x ＋3．
令－x ＋3＝x
2
－2x －3，解得⎩⎨⎧521
1 ＝－＝y x ，⎩⎨⎧032
2 ＝＝y x
图1 图2 图3
图1
图2 图3
∴点Q 1的坐标为（－2，5）．
如图4，过点C 作CF ⊥CB ，交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ， 连接BQ 2．
∵∠CBO ＝45°，∴∠CFB ＝45°，∴OF ＝OC ＝3． ∴点F 的坐标为（－3，0）．
∴直线CF 的解析式为y ＝－x －3．
令－x －3＝x
2
－2x －3，解得⎩⎨⎧4111＝－＝y x ，⎩⎨⎧302
2＝－＝y x
∴点Q 2的坐标为（1，－4）．
综上所述，在抛物线y ＝x
2
－2x －3上，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形的点Q 有两个，分别是：Q 1（－2，5）和Q 2（1，－4）．
[精选练习]
1.如图，AB 为半圆的直径，点P 为AB 上一动点，动点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动到点B ，运动时间为t ，分别以AP 与PB 为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图像大致为（ ） 2．如图，已知A 、B 是反比例函数k
y x
=
（k ＞0，x ＜0）图象上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C 。

动点P 从坐标原点O 出发，沿O →A →B →C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C 。

过P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N 。

设四边形OMPN 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为
3. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，
设CD 的长
为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是
4.如图，两条抛物线y 1=-
21χ2+1、y 2=2
1
χ2-1 与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为
5．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．
（1）求点B 的坐标；
（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
(第3题)
A
B
C
D
（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．
6.如图，抛物线y ＝－x
2
＋bx ＋c 与x
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y 轴于存在，求出点Q （3）在（1标及△PBC
7．如图，已知抛物线y ＝ax
2
＋bx －4（1）求此抛物线的解析式． （2）若平行于y 轴的直线x ＝m （0P ，求线段MN 的长（用含m （3）在（2）的条件下，连接OM 、的
值，若不存在，请说明理由．
8．已知二次函数y ＝x
2＋ax ＋a －2．
（1）求证：不论a （2）设a ＜0，当此函数图象与x （3）若此二次函数图象与x 轴交于A 在，求出P 9．已知：t 1，t 2是方程t
2
＋2t －24＝0，0），B （0，t 2）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设点P （x ，y □OP AQ 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当□OP AQ 的面积为24时，是否存在这样的点P ，使□OP AQ 为正方形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．
10．如图，已知抛物线y ＝ax
2
＋bx ＋c 与x C ．其中点A 在x 轴的负半轴上，
点C 在y 轴的负半轴上，线段OA 、OC 5x ＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是
直线x ＝1．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的解析式； （3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A DE ∥BC 交AC 于点E ，连结CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m m 的取值范围．S 是否存在最大值？若
存在，求出最大值并求此时D 11．如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠A ＝90°，AD ＝6厘米，DC ＝P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以D t 秒．
（1）求边BC 的长； （2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分；
（3）连结PQ ，设△PBQ 的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，
求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？
12．如图①，已知抛物线y ＝ax
2
＋bx ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．
13．如图，已知抛物线y
OM ∥AD ．过顶点D 平行于x （1
（2）若动点P 从点t （s ）．问：
当t （3）若OC ＝OB 2个长度单位的速度沿OC t
（s ），连接PQ
14．如图，△OAB （1）求点E （2）求过A 、O （3）若点P 是（S ，求S
的最大值．
15点P ，与x （1（2）如图1D 的坐标；若不
（3）如图2，点M P 向点O 运
动，过点M 1在动点M 的运
动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒. 求S 关于t 的函数关系式.
二次函数中的面积计算问题参
考答案
3. 2
5
2x y
4. 8 1.D 2.A
5.解：（1）
如图1，过点B 作BM ⊥x 轴于M ．
由旋转性质知OB
＝OA ＝2．
∵∠AOB ＝120°，∴∠BOM
＝60°．
∴
OM
＝
＝2×
2
1
＝1，BM ＝OB ·sin60°＝2OB ·cos60°×
2
3
＝3． ∴点B 的坐标为(1，3)．
（2）设经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式为y ＝ax 2
＋bx ＋c ∵抛物线过原点，∴c ＝0．
O P
C B A
x
y
图1
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-3024b a b a 解得⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧==3323
3b a ∴所求抛物线的解析式为y ＝33x
2＋3
3
2x ． （3）存在．
如图2，连接AB ，交抛物线的对称轴于点C ，连接OC ．
∵OB 的长为定值，∴要使△BOC 的周长最小，必须BC ＋OC 的长最小． ∵点A 与点O 关于抛物线的对称轴对称，∴OC ＝AC ． ∴BC ＋OC ＝BC ＋AC ＝AB ．
由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时BC ＋OC 最小，点C 的位置即为所求． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋m ，将A (－2，0)，B (1
⎪⎩⎪⎨
⎧=+=+
-302m k m k 解得⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧==3
3233
m k
∴直线AB 的解析式为y ＝
33x ＋3
32． 抛物线的对称轴为直线x ＝3
3233
2⨯
-＝－1，即x ＝－1将x ＝－1代入直线AB 的解析式，得y ＝33×(－1)＋332＝
3
3
． ∴点C 的坐标为(－1，3
3
)． （4）△P AB 有最大面积．
如图3，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点D ． ∵S △P AB
＝S △P AD ＋S △PBD
＝
2
1
(y D －y P )(x B －x A ) ＝2
1
[(33x ＋332)－(33x
2＋332x )](1＋2＝－
23x
2－2
3x ＋3 ＝－23(x ＋2
1)2＋
83
9 ∴当x ＝－2
1
时，△P AB 的面积有最大值，最大值为839．
此时y P ＝
33×(－21)2＋332×(－2
1
)＝－
43． ∴此时P 点的坐标为(－
2
1，－
43)．
6.解：（1）将A (1，0)，B (－3，0)代入y ＝－x
2
＋bx ＋c 得
⎩⎨
⎧03901＝＋－－＝＋＋－c b c b 解得⎩⎨⎧3
2
＝＝－c b ∴该抛物线的解析式为y ＝－x
2
－2x ＋3．
（2）存在．
该抛物线的对称轴为x ＝－
)
(－－122
⨯＝－1
∵抛物线交x 轴于A 、B 两点，∴A 、B 两点关于抛物线的对称轴x ＝－1对称．
由轴对称的性质可知，直线BC 与x ＝－1的交点即为所求的Q 点，此时△QAC 的周长最小，如图1． 将x ＝0代入y ＝－x
2
－2x ＋3，得y ＝3．
∴点C 的坐标为(0，3)．
设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b 1， 将B (－3，0)，C (0，3)代入，得 ⎩⎨
⎧3031
1＝＝＋－b b k 解得⎩⎨⎧31
1＝＝b k ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3． 联立⎩⎨⎧31＋＝＝－x x y 解得⎩
⎨⎧21
＝＝－y x
∴点Q 的坐标为(－1，2)． （3）存在．
设P 点的坐标为（x ，－x
2
－2x ＋3）
（－3＜x ＜0），如图2． ∵S △PBC
＝S 四边形PBOC
－S △BOC
＝S 四边形PBOC
－21×3×3＝S 四边形PBOC －2
9
当S 四边形PBOC 有最大值时，S △PBC 就最大．
∵S 四边形PBOC
＝S Rt △PBE ＋S 直角梯形PEOC
＝21BE ·PE ＋2
1
(PE ＋OC )·OE ＝
21(x ＋3)(－x
2－2x ＋3)＋2
1
(－x
2－2x ＋
＝－23(x ＋23)2＋29＋8
27
当x ＝－
23时，S 四边形PBOC 最大值为29＋8
27． ∴S △PBC 最大值＝29＋827－29＝827
．
当x ＝－
23时，－x
2
－2x ＋3＝－(－23)2－2×(－23)＋∴点P 的坐标为(－23，4
15
)
7.解：（1）由题意知A （－1，－1），B （4，4），代入y ＝ax
2
＋bx －4，得
⎩⎨⎧4441614 ＝＋＝－－－－b a b a 解得⎩
⎨
⎧21
－ ＝＝b a ∴所求抛物线的解析式为y ＝x
2
－2x －4 ················· 3分
由x ＝m 和y ＝x ，得交点N （m ，m ） 同理可得M （m ，m
2
－2m －4），P （m ，0）
∴PN ＝| m |，MP ＝| m
2
－2m －4|
∵0＜m ＜5＋1
∴MN ＝MP ＋PN ＝m －m
2＋2m ＋4＝－m
2
＋3m ＋4
（3）过B 作BC ⊥MN 于C
则BC ＝4－m ，OP ＝m
∴S
＝S △MON
＋S △BMN
＝21MN ·OP ＋21MN ·BC ＝2
1
MN (OP ＋BC )
＝2(－m
2
＋3m ＋4)
＝－2(m －23)2＋2
25
∵－2＜0
∴当m ＝
2
3
时，S 有最大值 8.解： （1）∵△＝a
2
－4(a －2)＝(a －2)2
＋4＞0
∴不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点． （2）设x 1、x 2是y ＝x
2
＋ax ＋a －2＝0的两个根
则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝a －2．
∵此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13，∴(x 1－x 2)2
＝13．
即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝13．∴(－a )2
－4(a －2)＝13，整理得(a ＋1)(a －5)＝0，解得a ＝－1或a ＝5． ∵a ＜0，∴a ＝－1．
∴此二次函数的解析式为y ＝x
2
－x －3．
（3）设点P 的坐标为（x p ，y p ）
∵函数图象与x 轴的两个交点的距离为13，∴AB ＝13． ∴S △P AB ＝
2
1
AB ·|y p |＝2133，即
213·|y p |＝
2
13
3． ∴|y p |＝3，∴y p ＝±3．
当y p ＝3时，x p 2
－x p －3＝3，解得x p ＝－2或x p ＝3； 当y p ＝－3时，x p 2
－x p －3＝－3，解得x p ＝0或x p ＝1．
综上所述，在函数图象上存在点P ，使得△P AB 的面积为
2
13
3，P 点坐标为： P 1（－2，3），P 2（3，3），P 3（0，－3）或P 4（1，－3）．
9.解：（1）由t
2
＋2t －24＝0，解得t 1＝－6，t 2＝4．
∵t 1＜t 2，∴A （－6，0），B （0，4）． ∵抛物线y ＝
3
2x
2
＋bx ＋c 的图象经过点A ，B 两点
∴⎩⎨⎧4062 ＝＝＋4－c c b 解得⎪⎩
⎪⎨⎧
4
314 ＝＝c b
∴这个抛物线的解析式为y ＝32x
2＋3
14
x ＋4．
（2）∵点P （x ，y ）在抛物线上，且位于第三象限，∴y ＜0，即－y ＞0．
又∵S ＝2S △APO ＝2×2
1
×|
OA |·|
y
|＝| OA |·| y |＝6| y
| ∴S ＝－6y 分 ＝－6(
32x
2＋314x ＋4)＝－4(x
2＋7x ＋6)＝－4(x ＋2
7)2
＋25 令y ＝0，则
32x
2＋3
14
x ＋4＝0，解得x 1＝－6，x 2＝－1． ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（－6，0）、（－1，0） ∴x 的取值范围为－6＜x ＜－1． （3）当S ＝24时，得－4(x ＋
2
7)2
＋25＝24，解得：x 1＝－4，x 2＝－3． 代入抛物线的解析式得：y 1＝y 2＝－4． ∴点P 的坐标为（－3，－4）、（－4，－4）．
当点P 为（－3，－4）时，满足PO ＝P A ，此时，□OP AQ 是菱形．
当点P 为（－4，－4）时，不满足PO ＝P A ，此时，□OP AQ 不是菱形
要使□OP AQ 为正方形，那么，一定有OA ⊥PQ ，OA ＝PQ ，此时，点的坐标为（－3，－3），而（－3，－3）不在抛物线y ＝
32x
2＋3
14
x ＋4上，故不存在这样的点P ，使□OP AQ 为正方形． 10．解：（1）∵OA 、OC 的长是方程x
2
－5x ＋4＝0的两个根，OA ＜OC ．
∴OA ＝1，OC ＝4．
∵点A 在x 轴的负半轴，点C 在y 轴的负半轴 ∴A （－1，0），C （0，－4）．
∵抛物线y ＝ax
2
＋bx ＋c 的对称轴为x ＝1
∴由对称性可得B 点坐标为（3，0）．
∴A 、B 、C 三点的坐标分别是：A （－1，0），B （3，0），C （0，－4）． （2）∵点C （0，－4）在抛物线y ＝ax
2
＋bx ＋c 图象上，∴c ＝－4．
将A （－1，0），B （3，0）代入y ＝ax
2
＋bx －4得
⎩⎨
⎧043904 ＝＋＝－－－b a b a 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧383
4－
＝＝b a ∴此抛物线的解析式为y ＝34x
2－3
8
x －4．
（3）∵BD ＝m ，∴AD ＝4－m ．
在Rt △BOC 中，BC 2＝OB 2＋OC 2＝3
2＋4
2
＝25，∴BC ＝5．
∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ． ∴BC DE ＝AB AD ，即5
DE ＝
44m
－．
∴DE ＝
4
520m
－． 过点E 作EF ⊥AB 于点F ，则sin ∠EDF ＝sin ∠CBA ＝BC
OC ＝54
． ∴
DE
EF ＝54，∴EF ＝54DE ＝54×4520m
－＝4－m ． ∴S
＝S △CDE
＝S △ADC
－S △ADE ＝21(4－m )×4－21
(4－m )(4－m ) ＝－2
1m
2
＋2m
＝－21
(m －2)2＋2（0＜m ＜4）．
∵－2
1
＜0
∴当m ＝2时，S 有最大值2． 此时OD ＝OB －BD ＝3－2＝1． ∴此时D 点坐标为（1，0）．
11.解：（1）如图1，过C 作CE ⊥AB 于点E ，则四边形AECD 为矩形．
∴AE ＝CD ＝4，CE ＝DA ＝6．
又∵i ＝3 :
4，∴EB CE ＝4
3．
∴EB ＝8，AB ＝12．在Rt △CEB 中，由勾股定理得： BC ＝22EB CE ＋＝10． （2）假设PC 与BQ 相互平分．
∵DC ∥AB ，∴四边形PBCQ 是平行四边形（此时Q 在CD ），如图2．∴CQ ＝BP ，即3t －10＝12
－2t ．
解得t ＝
522，即t ＝5
22
秒时，PC 与BQ 相互平分． （3）①当Q 在BC 上，即0≤
t
＜
3
10
时 如图1，过Q 作QF ⊥AB 于点F ，则CE ∥QF ． ∴
CE QF ＝BC BQ ，即6QF ＝103t ，QF ＝5
9t
． ∴S △PBQ
＝
21PB ·QF ＝21(12－2t )·5
9t ＝－59t
2＋
5
54
t ． 即y ＝－
59t
2＋554t ．∵y ＝－59t
2＋554t ＝－59(t －3)2＋5
81 ∴当t ＝3秒时，y 有最大值为5
81
厘米2 ②当Q 在CD 上，即
310≤
t
≤3
14时
图1
图2
S △PBQ
＝
21PB ·CE ＝21
(12－2t )×6 ＝36－6t ．
即y ＝36－6t ．此时y 随t 的增大而减小． 故当t ＝
310秒时，y 有最大值为36－6×3
10
＝16厘米2． 综合①②，得y 与t 的函数关系式如下： y ＝⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-+-366554592t t t
∵
581＞16，∴当t ＝3秒时，y 有最大值为581
厘米2． 12解：（1）由题意得⎩
⎨⎧03390
3 ＝＋＝＋＋－b a b a
解得⎩⎨⎧2
1－－＝＝ b a ∴所求抛物线的解析式为y ＝－x
2
－2x ＋3；
（2）存在符合条件的点P ，其坐标为P (－1，10)或P (－1，
10－) 或P (－1，6)或P (－1，35
)；
（3）解法一：
过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E (m ，－m
2
－2m ＋3)（－3＜
a
＜0
则EF ＝－m
2
－2m ＋3，BF ＝m ＋3，OF ＝－m ．
∴S 四边形BOCE
＝S △BEF
＋S 梯形FOCE
＝21BF ·EF
＋2
1
(EF ＋OC )·OF ＝
21(m ＋3)(－m
2－2m ＋3)＋2
1
(－m
2－2m ＋6)(－＝－
23m
2－29m ＋29＝－23(m ＋23)2＋8
63
∴当m ＝－
23时，S 四边形BOCE
最大，且最大值为863． 此时y ＝－(－
23)2－2×(－2
3)＋3＝415
∴此时E 点的坐标为(－
23，4
15
)． 解法二：过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E (x ，y )（－3＜
x
＜0）
则S 四边形BOCE
＝S △BEF
＋S 梯形FOCE
＝21BF ·EF
＋2
1
(EF ＋OC )·OF ＝21(3＋x )· y ＋21
(3＋y )(－x )
＝
23(y －x )＝2
3(－x
2
－3x ＋3) （310≤ t
≤314） （0≤
t
＜310）
＝－
23(x ＋23)2＋8
63 ∴当x ＝－
23时，S 四边形BOCE
最大，且最大值为8
63． 此时y ＝－(－23)2－2×(－2
3)＋3＝415
∴此时E 点的坐标为(－23，415
)．
13解：（1）把A (－2，0)代入y ＝a (x －1)2＋33，得0＝a (－2－1)2
＋33．
∴a ＝－33∴该抛物线的解析式为y ＝－3
3(x －1)2
＋33 即y ＝－
33x
2＋332x ＋3
38． （2）设点D 的坐标为(x D ，y D )，由于D 为抛物线的顶点
∴x D ＝－
)(－
3
32332 ＝1，y D ＝－
33×1
2
＋332×1＋
3
38＝33． ∴点D 的坐标为(1，33)．
如图，过点D 作DN ⊥x 轴于N ，则DN ＝33，AN ＝3，∴AD ＝22333)＋(＝6． ∴∠DAO ＝60°∵OM ∥AD
①当AD ＝OP 时，四边形DAOP 为平行四边形． ∴OP ＝6 ∴t ＝6（s ）
②当DP ⊥OM 时，四边形DAOP 为直角梯形． 过点O 作OE ⊥AD 轴于E ．
在Rt △AOE 中，∵AO ＝2，∠EAO ＝60°，∴AE ＝1． （注：也可通过Rt △AOE ∽Rt △AND 求出AE ＝1） ∵四边形DEOP 为矩形，∴OP ＝DE ＝6－1＝5．
∴t ＝5（s ）③当PD ＝OA 时，四边形DAOP 为等腰梯形，此时OP ＝AD －2AE ＝6－2＝4． ∴t ＝4（s ）
综上所述，当t ＝6s 、5s 、4s 时，四边形DAOP 分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形． （3）∵∠DAO ＝60°，OM ∥AD ，∴∠COB ＝60°．
又∵OC ＝OB ，∴△COB 是等边三角形，∴OB ＝OC ＝AD ＝6． ∵BQ ＝2t ，∴OQ ＝6－2t （0＜t ＜3） 过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ＝2
3
t ． ∴S 四边形BCPQ
＝S △COB
－S △POQ
＝21×6×33－21
×(6－2t )×23t
＝
23(t －2
3)2＋83
63 ∴当t ＝
2
3
（s ）时，S 四边形BCPQ 的最小值为8363．
此时OQ ＝6－2t ＝6－2×
23＝3，OP ＝23，OF ＝43，∴QF ＝3－43＝49
，PF ＝433．
∴PQ ＝22QF PF ＋＝2249433)＋()(
＝2
3
3 14.解：（1）过点A 作AF ⊥x 轴于F ．
则OF ＝OA cos60°＝22
1
⨯＝1，AF ＝OA sin60°＝223⨯＝3．
∴A (1，3)． 代入直线解析式，得m +⨯-133＝3，∴m ＝334
． ∴y ＝33-
x ＋334．令y ＝0，得33-x ＋33
4
＝0，∴x ＝4． ∴E (4，0)．
（2）设过A 、O 、E 三点的抛物线解析式为y ＝ax 2
＋bx ＋c
∵抛物线过原点，∴c ＝0． ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+04163b a b a 解得⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧=-=3343
3
b a ∴所求抛物线的解析式为y ＝33-
x
2＋3
3
4x ． （3）过点P 作PG ⊥x 轴于G ，设P (x 0，y 0)．
S ＝PGE AFGP AOF S S S △梯形△△++
＝
2)4(2)1)(3(230
000y x x y -+
-++ ＝2
1
(3x 0＋3y 0) ＝
21(-3x 02＋35x 0)＝23-(x 025-)2＋38
25
当x 0＝25时，S 最大＝38
25
．
15.解：（1）设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c
由题意得⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++==-0
241242c b a c a b
解得⎪⎩⎪
⎨⎧=-==1281c b a
∴二次函数的解析式为y = x 2－8x +12 ……………………………………………2分 点P 的坐标为（4，－4） …………………………………………………………3分
（2）存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形. 理由如下：
当y =0时，x 2-8x +12=0 ∴x 1=2 ， x 2=6 ∴点B 的坐标为（6，0） 设直线BP 的解析式为y =kx +m
C
y
则⎩⎨
⎧-=+=+4406m k m k 解得⎩⎨⎧-==12
2
m k
∴直线BP 的解析式为y =2x －12
∴直线OD ∥BP ………………………………………4分
∵顶点坐标P （4， －4） ∴ OP =42 设D (x ，2x ) 则BD 2=（2x ）2+(6－x )2
当BD =OP 时，（2x ）2+(6－x )2=32 解得：x 1=
5
2
，x 2=2…………………………………………………………………6分 当x 2=2时，OD =BP =52，四边形OPBD 为平行四边形，舍去
∴当x =
52
时四边形OPBD 为等腰梯形 …………………7分 ∴当D (52，5
4
)时，四边形OPBD 为等腰梯形 ………8分
（3）① 当0＜t ≤2时，
∵运动速度为每秒2个单位长度，运动时间为t 秒， 则MP =2t ∴PH =t ，MH =t ，HN =
21t ∴MN =2
3t ∴S =23t ·t ·21=4
3
t 2 ……………………10分
② 当2＜t ＜4时，P 1G =2t －4，P 1H =t ∵MN ∥OB ∴ EF P 1∆∽MN P 1∆
∴
211)(11H P G P S S MN
P EF P =∆∆ ∴ 2
2)42(4
31t t t S EF P -=∆ ∴ EF P S 1∆=3t 2－12t +12
∴S =
43t 2
－(3t 2－12t +12)= －4
9t 2+12t －12 ∴ 当0＜t ≤2时，S=43
t 2
当2＜t ＜4时，S =－4
9t 2+12t －12 ……………12分
x
P 1 M
A
O B
C
P
N
y
H
x
P 1
M A O
B C
P
N
G H
E F y。