数学分析-单调有界定理及其应用

对第三列, 第四列, 第五列, 得到数 x2 , x3 , x4 ,
和相应的正整数 N1 N 2 N 3 . 过程一直进行下去会得 数a A. x1 x2 x3 x4 . 下证a A. x1 x2 x3 x4 就是数列 {an }的极限.
对 0, 取m N * , s.t . 10 m , 那么对所有的 n Nm , an的整数部分和前 m位上的数码与 a是一样的. 因此 :
可知{ank }也有上界. 从而......
例4 研究下面两数列的极限
1 1 1 1 sn 1 , 1! 2! 3! n!
解： sn显然单调递增，且
1 xn 1 n
n
1 1 1 1 1 sn 1 1 1 2 2 3 1 2 3 4 1 2 n 1 1 1 1 1 2 n1 3 2 2 2
由此得到: a I n .
n1

a的唯一性易知.
x n yn , 例 6 x n1 xn yn , yn1 2 x1 a 0, y1 b 0
n
n
k
1 1 1 1 2 1 1 (1 ) (1 )(1 ) 2! n 3! n n 1 1 2 n1 (1 )(1 )(1 ) n! n n n 1 1 1 1 1 s. 2! 3! n!
x n 1 1 1 n 1 n ( 2) (1 )(1 ) (1 ) xn n1 n1 n
a1 a2 a3 an bn b3 b2 b1
由区间的包含关系可知, 左端点组成的
数列{an }递增, 右端点组成的数列 {bn }递减.
并且 {an }有上界b1 , {bn }有下界a1 .
由单调有界定理知下面两个极限存在 :
lim an a, lim bn b.
n n
由于an bn ( n N* ),
|a| 在 x n 1 x n 两边令n , 得到x x 0 0. n1 a n 所以{ xn }为无穷小, 从而 也是无穷小. n!
1 1 * ( 1 ) 设 a 1 , n N , 求证{an }发散. 例3 n 2 n 1 1 ( 2)设an 1 , n N * , 1, 求证{an }收敛. 2 n , 则发散. 证明: (1) 易见{an }严格递增, 若有无界子列
2 4 8 2k 1 1 k 1 2 4 8 (2 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 k 1 1 2 4 8 (2 ) 2 k 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 k 1 1 1 1 2 2 1 . 1 2 1 1 1 2 表明{an }的子列{a2n 1 }是有上界的, 而由{an }递增,
§1.4单调有界定理 及其应用
一、 单调有界定理
定义4.1 (单调数列定义) 若数列 {an }满足：
an an1 (an an1 ), n 1,2,3,
则称{an }是单调递增（递减）数 列. 若数列{an }满足：
an an1 (an an1 ), n 1,2,3,
1 1 1 k 1 1 , ( k 0,1, ) 2 2 2 2
k个
可见{an }无界, 进而得{an }发散.
由于 (2){an }严格递增, 只须证有收敛子列即可
a 2 k 1
1 1 1 1 1 1 1 3 4 7 8 15 2 1 1 k 1 k ( 2 1) (2 )
*
（1）I1 I 2 I 3 I n I n1
(2)区间长度| I n | bn an 0 (n ),
则存在唯一一点 满足 I n
n1
即
lim an lim bn
n n
[ [ [ ... [ ... ] ... ] ] ]
则称 {an } 是严格单调递增（递减）数列.
观察下面单调递增的有界数列
y
a
an
O
n
定理4.1
单调有界数列必有极限.
证明
不妨设{an }递增, 有上界,
将各项an用十进制数表示： a1 A1 . p1 p2 p3 , A Z,
a2 A2 .q1q2q3 , a3 A3 .r1 r2 r3 , .
lim x n 存在.
n
2 xn1 3 xn , x n1 3 x n ,
2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n n
1 13 1 13 (舍去) 解得 A , A 2 2 1 13 lim x n . n 2
再令 m 得 e s, e s
(4) 总结 :
1 1 1 lim 1 e ; n 1! 2! n!
1 lim e n lim 1 e . n n n
n
e 2.7182818 — —自然对数之底.
Hale Waihona Puke Baidu
| an a | .
例1 证明数列 xn 3 3 3 ( n重根
式)的极限存在. 证 显然 xn1 xn ,
xn 是有界的;
xn 是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, x k 1 3 x k 3 3 3,
证明：令an 1
1 1 ln(1 n), 2 n
1 n 2 1 1 an1 an ln ln( 1 ) n1 n1 n1 n1
1 1 0, n1 n1
单调
1 n 1 n 1 由不等式（ 1 ） e (1 ) n n 1 1 1 左得：n ln(1 ) 1,即ln(1 ) n n n 1 1 1 右得： 1 ( n 1) ln(1 ),即ln(1 ) n n n1
A 2 3 A,
例2
| a |n * 解 : 令x n , n N . n! |a| xn . 则当n | a | 时, xn1 xn n1 因此 { xn }是从某一项开始递减的 数列, 且有下界0.
所以极限 x lim xn 存在.
n
a n 求数列 的极限, a为任意给定的实数. n!
下证之 : 对k N * , 有
1 1 1 1 1 1 1 a 2k 1 2 3 4 5 8 9 16 1 1 k 1 k 2 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 8 8 16 16 1 1 k k 2 2
n
n
n
1 1 lim an lim(1 ln(1 n))存在. n n 2 n
记为 , 称为欧拉常数 .
0.5772156649
欧拉常数是有理数还是无理数还是个开放问题
二、 闭区间套定理
定理4.2 设I n [an , bn ], n N , 为一列闭区间, 满足
由极限的不等式性质 a b.
因此有不等式 a n a b bn ( n N* ).
由此式可得 :
0 b a bn an | I n | 由 | I n | 0 (n )可知, a b.
此时a n a bn 对n N*成立, 即a I n ( n N * ).
1 1 1 即 ln(1 ) n1 n n
1 ln(1 n) (ln(k 1) ln k ) ln(1 ) k k 1 k 1
1 1 1 1 . 2 3 n1 k 1 k 1
1 1 1 1 1 所以 an 1 ( ) 2 n 2 3 n1 1 1 1. 有界 n1
| an a | 10 m .
即 lim an A. x1 x2 x3 .
n
推论4.1 (1)若单调数列的一个子列收敛,则这个数列收敛；
(2)若单调数列的一个子列趋向去穷 ,则此数列发散； (3)一个单调数列要么极限存在,要么趋向无穷；
(4)单调数列收敛的充分必要条件是数列有界
lim sn s.
n
n! 1 1 k 1 1 k 1 1 1 Cn n n n k!( n k )! k! n
k
k
1 k 1 (1) en 1 C n n n k 0
1 n 2n n 1 1 (1 )( 2 ) (1 ) 1 2 n 1 n 2n 1 n 1 ( n 1)
2
n
由（ 1 x )n 1 nx 伯努利不等式，上式
n 3n 3n 2 3 1 2 n 3n 3n 1
(1)若单调数列的一个子列收敛,则这个数列收敛；
ank a 证明：不妨设an单增，且有lim k
0, K , k K , 有 ank a
取N nK 1 , 对n N ,由单调性知， nk
anK 1 an ank 即 anK 1 a an a ank a
3 2
所以xn递增.
1 n lim en lim(1 ) 存在， n n n 即 lim en e, 且 e s .
n
( 3)
对n m,
1 1 1 1 1 m 1 en 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n m! n n 固定m, 令n ，得 1 1 1 e 1 sm 1! 2! m!
i
pi , qi , ri {0,1,2,,9}, i 1,2,3,
由于{an }有界、递增， 可知{ An }在某一行 考察{ Ai }, N 0达到最大值A， 并不随行的增加而改变.
再考察第二列 p1 , q1 , r1 ,， 设x1是在第N 0行后本列 出现的最大的数 , 设出现在第N 1行, 易见N 1 N 0 .
2 n2 5 例5 求 lim(1 2 ) n n 2 n2 5 解： lim(1 2 ) n n
2 5 2 lim(1 2 ) lim(1 2 ) n n n n
例6
n2 2
2 e .
2
1 1 1 证明： lim(1 ln(1 n))存在. n 2 3 n