福建省福州外国语学校2017届高三适应性考试(三)数学(文)试题 含答案

高三数学（文科）
第Ⅰ卷(共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1.若复数满足(34)|43|i z i -⋅=+，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．4-
B ．45
C ．4
D ．45
-
2.设集合{}||1|3P x x =+≤，1|(),(2,1)3
x
Q y y x ⎧⎫
==∈-⎨⎬⎩
⎭
，则P
Q =（ ）
A ．1(4,)9
-
B ．1(,2]9
C ．1(,2]3
D ．1(,2)3
3.已知命题p ：1
x ∀，2
x R ∈，2121(()())()0f x f x x x --≥，则p ⌝是( ）
A ．1x ∃,2
x
R ∈，2121(()())()0f x f x x x --≤
B ．1
x ∀，2
x R ∈，2121(()())()0f x f x x x --≤
C ．1x ∃,2
x
R ∈，2121(()())()0f x f x x x --<
D ．1
x ∀，2
x
R ∈,2121(()())()0f x f x x x --<
4.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED ，则sin CED ∠=( ） A ．3
10
10
B ．
1010
C ．
510
D ．
515
5。

在一组样本数据1
1
(,)x y ，()22,x y ，…，(),n n x y (2n ≥，1x ，2x ,…，n
x 不全
相等）的散点图中，若所有样本点(,)i
i
x y （1,2,,i n =…）
都在直线112
y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A ．1- B ．0
C ．12
D ．1
6.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入x 的取值范围
是（ ） A ．(4,10]
B ．(2,)+∞
C ．(2,4]
D ．(4,)+∞
7.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为（ ） A ．22
514+B ．16214+C ．8214+D ．814
8。

设x ，y 满足约束条件30,
0,
20,x y a x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩
若目标函数z x y =+的最大值为2，
则实数a 的值为（ ） A ．2
B ．1
C ．1-
D ．2-
9.已知等差数列{}n
a 的公差0d ≠,且1
a ，3
a ，13
a 成等比数列，若1
1a =，n S 为
数列{}n
a 的前n 项和，则216
3
n
n S
a ++的最小值为( ）
A ．4
B ．3
C ．232
D ．2
10.过双曲线22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的右焦点F
作直线b y a
=-x 的垂线，垂足
为A ，交双曲线的左支于B 点，若2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ) A 3B ．2 C 5D 711.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是:设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a
和d c
（a ，b ，c ，*d N ∈）,则b d a c
++是x 的更为精确的不足
近似值或过剩近似值．我们知道 3.14159π=…，若令314910
15
π<<，则第一
次用“调日法"后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105
π<<，若
每次都取最简分数,那么第四次用“调日法"后可得π的近似分数为
（ ） A ．227
B ．6320
C ．7825
D ．10935
12。

已知a ，b 是实数,1和1-是函数3
2()f x x ax bx =++的两个极值点,设
()(())h x f f x c =-，其中(2,2)c ∈-，函数()y h x =的零点个数（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
第Ⅱ卷（共90分)
二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上） 13。

若函数()||f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞，则a = ．
14。

△ABC 的三个内交为A ，B ，C ，
7tan()12π
=-，则2cos sin 2B C +的最大值为 ．
15。

在平行四边形ABCD 中，0AC CB ⋅=,2
2
240BC
AC +-=，若将其沿AC 折成
二面角D AC B --,则三棱锥D AC B --的外接球的表面积为 ．
16.设函数32,ln ,x x x e
y a x x e
⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点P ，Q ,使得△POQ 是以O 为直
角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点）,且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

)
17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c ,
且2
2()(2a
b c bc --=，
2
sin sin cos 2
C A B =．
（1）求角B 的大小；
（2）若等差数列{}n
a 的公差不为零，且1
cos 21a B =，且2
a 、4
a 、8
a 成等比
数列，求14n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
18.如图，在三棱柱111
ABC A B C -中，已知AB ⊥侧面11
BB C C ，1AB BC ==1
2BB =，
13
BCC π
∠=
．
(1）求证：1
C B ⊥平面ABC ；
（2）求点B 到平面11
AB C 的距离．
19。

根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区 2.5PM 的年平均浓度不得超过35微克/立方米， 2.5PM 的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天 2.5PM 的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
组别
2.5PM 浓度
(微克/立方米）
频数(天） 频率
第一组 (0,25] 3 0.15 第二组 (25,50] 12 0。

6 第三组 (50,75] 3 0.15 第四组
(75,100)
2
0.1
（1）从样本中 2.5PM 的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天 2.5PM 的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
(2）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想,从 2.5PM 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．
20。

在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为1
2,右焦
点(1,0)F 。

（1)求椭圆C 的方程；
(2)点P 在椭圆C 上,且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：2
22x y b +=相切于
点M ，且OP OQ ⊥,求点Q 的纵坐标t 的值．
21.已知函数1()(2)ln 2f x a x ax x
=-++．
（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性;
(2）若对任意的(3,2)a ∈--，1
x ,[]21,3x ∈恒有12
(ln3)2ln3|()()|m a f x f x +->-成立，
求实数m 的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22。

选修4—1:几何证明选讲
如图,AB 是圆O 的直径,弦CD AB ⊥于点M ，E 是CD 延长线上一点，10AB =，
8CD =,34ED OM
=，EF 切圆O 于F ，BF 交CD 于G ．
（1)求证：△EFG 为等腰三角形； （2）求线段MG 的长．
23.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标中，已知圆C 的圆心(3,)6
C π，半径3r =．
（1）求圆C 的极坐标方程;
（2)若点Q 在圆C 上运动,点P 在OQ 的延长线上,且||:||3:2OQ OP =，求动点
P 的轨迹方程．
24。

选修4—5:不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-,x R ∈． (1）解不等式()1f x x <+;
（2）若对于x ，y R ∈,有1|1|3
x y --≤,1|21|6
y +≤，求证:()1f x <．
福州市外国语学校2017届高三适应性考试（三)高三数学(文科）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
B C C B D A C A A C A B
二、填空题
13。

3- 14.32
15。

4π 16。

1
(0,
]1
e + 三、解答题
17.解:(1）由2
2
()(23)a b c bc --=-，2
2
2
3a b c bc --=-,所以2223
cos 22
b c a A bc +-==
,
解得23
C π=，∴6
B π=．
（2）设{}n
a 的公差为d ，由已知得11
2cos a
A
=
=，且2428a a a =,∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++．
又0d ≠，∴2d =，∴2n
a n =．
∴
14111
(1)1
n n a a n n n n +==-
++， ∴11111111(1)()()()122334111
n
n S
n n n n =-+-+-++-=-=+++…．
18.解：(1）因为11
AB BB C C ⊥，1
BC ⊂侧面11
BB C C ，故1
AB BC ⊥， 在△1
BCC 中，1BC =,1
12CC
BB ==，160BCC ∠=︒，
由余弦定理得：2
2211112cos BC BC CC BC CC BCC =+-⋅∠2212212cos
33
π
=+-⨯⨯⨯= ，
∴1
3BC
22211BC BC CC +=,所以1BC BC ⊥，
而BC
AB B =，
∴1
C B ⊥平面ABC ． （2
）∵11
1111132A B BC V BC B C AB -=⨯⨯⨯⨯=
,
又1
AB ==
12AC ==，111B C =,
∴11
111
12
AB C S
AC BC ∆=
⨯=， 设点B 到平面11
AB C 的距离为h ，
∴11
1111133B AB C AB C V
S h h -∆=⨯=⨯⨯=
，
∴h =
B 到平面11AB C
的距离为． 19.解：（1）设 2.5PM 的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为1
A ，2
A ，3
A ，
2.5PM 的
24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为1
B ，2
B ．
所以5天任取2天的情况有：1
2
A A ,13
A A ，11
A B ，1
2
A B ，2
3
A A ，2
1
A B ，
2
2
A B ,31
A B ,3
2
A B ，12B B 共
10种．
其中符合条件的有：11
A B ,1
2
A B ,2
1
A B ，2
2
A B ，31
A B ，3
2
A B 共6种． 所以所求的概率63
105
P =
=． (2）去年该居民区 2.5PM 年平均浓度为：
12.50.1537.50.662.50.1587.50.142.5⨯+⨯+⨯+⨯=(微克/立方米)．
因为42.535>，所以去年该居民区 2.5PM 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．
20.解:（1)1
,
21,c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩
∴1c =,2a =,
∴b =22143x y +=．
（2）①当PM x ⊥
轴时，P
，)Q t ，
由0OP OQ ⋅=,
解得t =．
②当PM 不垂直于x 轴时,设0
(,)P x y ，PQ 方程为0
0()y y
k x x -=-，即
000kx y kx y --+=,
∵PQ 与圆O 相切,
∴=
∴220
0()33kx
y k -=+,
∴222200
00233kx y
k x y k =+--，
又Q 0
0(,)t y
kx t k -+，所以由0OP OQ ⋅=，得00000
()
x y kx t x ky -=+， ∴222
00200()()x y kx t x ky -=+220002220000()2x kx y x k y kx y -=++22022222220000(33)
33
x k x k y k x y k +=
+++-- 22022222
00(33)
123(1)(1)(3)33
4
x k k x k x k +==+++---，
∴t =±．
综上：t =±．
21。

解：（1)2
2
21
(21)(1)'()2a x ax f x a x
x x --+=-+=
，令'()0f x =，得112x =,21
x a
=-， 当2a =-时，'()0f x ≤，函数()f x 在定义域(0,)+∞内单调递减；
当20a -<<时,在区间1(0,)2
，1(,)a
-+∞上'()0f x <，()f x 单调递减，在区间11(,)
2
a
-上'()0f x >，()f x 单调递增；
当2a <-时，在区间1(0,)a
-，1(,)2
+∞上'()0f x <,()f x 单调递减,在区间11(,)2
a -上
'()0f x >，()f x 单调递增．
（2)由（1)知当(3,2)a ∈--时,函数()f x 在区间[]1,3单调递减； 所以当[]1,3x ∈时，max
()(1)12f x f a ==+，min 1
()(3)(2)ln 363
f x f a a ==-++．
问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--，恒有1(ln 3)2ln 312(2)ln 363
m a a a a +->+----成
立,
学必求其心得，业必贵于专精 即243am a >-，因为0a <，所以min 2(4)3m a <-， ∴实数m 的取值范围为13(,]3
-∞-． 22.（1）证明：连接AF ，OF ，则A ,F ，G ，M 共圆， ∴FGE BAF ∠=∠，∵EF OF ⊥,∴EFG BAF ∠⊥∠， ∴EFG FGE ∠=∠，∴EF EG =，∴△EFG 为等腰三角形．
（2）解：由10AB =，8CD =,可得3OM =， ∴4
43ED OM ==,248EF ED EC =⋅=，∴EF EG == 连接AD ，则BAD BFD ∠=∠， ∴
8MG EM EG =-=-
23。

解：（1）设(,)M ρθ为圆C 上任一点，OM 的中点为N ， ∵O 在圆C 上,∴△OCM 为等腰三角形，由垂径定理可得||||cos()6ON OC π
θ=-，为所求圆C 的极坐标方程． （2)设点P 的极坐标为(,)ρθ，因为P 在OQ 的延长线上，且||:||3:2OQ OP =， 所以点Q 的坐标为3(,)5
ρθ， 由于点Q 在圆上,所以36cos()56πρθ=-， 故点P 的轨迹方程为10cos()6
πρθ=-． 24.（1）解：()1f x x <+,即1211x x -<-<+，解得02x <<．
（2）证明：()|21||2(1)(21)|f x x x y y =-=--++1152|21||21|21366x y y ≤--++≤⨯+=<．。